एक नियमित चतुष्फलक के लिए, किनारों पर सभी द्विफलक कोण और शीर्षों पर सभी त्रिफलक कोण बराबर होते हैं
चतुष्फलक के 4 फलक, 4 शीर्ष और 6 किनारे होते हैं।
एक नियमित चतुष्फलक के मूल सूत्र तालिका में दिए गए हैं।
कहां:
एस - एक नियमित टेट्राहेड्रोन का सतह क्षेत्र
वी - वॉल्यूम
एच - ऊंचाई को आधार तक कम किया गया
r - एक चतुष्फलक में अंकित वृत्त की त्रिज्या
आर - परिचालित वृत्त की त्रिज्या
ए - रिब लंबाई
व्यावहारिक उदाहरण
टास्क.एक त्रिभुजाकार पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका प्रत्येक किनारा 3 . के बराबर है
समाधान.
चूँकि त्रिभुजाकार पिरामिड के सभी किनारे समान होते हैं, इसलिए यह नियमित होता है। एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल S = a 2 3 है।
फिर
एस = 3√3
उत्तर: 3√3
टास्क.
एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के सभी किनारे 4 सेमी हैं। पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए 
समाधान.
चूँकि एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में पिरामिड की ऊँचाई को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है, जो कि परिबद्ध वृत्त का केंद्र भी है, तो
एओ = आर = √3 / 3 ए
एओ = 4√3 / 3
अतः पिरामिड OM की ऊँचाई समकोण त्रिभुज AOM से ज्ञात की जा सकती है
एओ 2 + ओएम 2 = एएम 2
ओएम 2 = एएम 2 - एओ 2
ओम 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
ओम 2 = 16 - 16/3
ओम = (32/3)
ओम = 4√2 / 3
पिरामिड का आयतन सूत्र V = 1/3 Sh . द्वारा ज्ञात किया जाता है
इस स्थिति में, आधार का क्षेत्रफल सूत्र S = 3 / 4 a 2 . द्वारा ज्ञात किया जाता है
वी = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
वी = 16√2 / 3
उत्तर: 16√2 / 3 सेमी
ग्रीक से अनुवादित टेट्राहेड्रोन का अर्थ है "टेट्राहेड्रॉन"। इस ज्यामितीय आकार में चार चेहरे, चार कोने और छह किनारे होते हैं। चेहरे त्रिकोण हैं। वास्तव में, टेट्राहेड्रोन प्लेटो के अस्तित्व से बहुत पहले दिखाई देने वाले पॉलीहेड्रॉन का पहला उल्लेख है।
आज हम टेट्राहेड्रोन के तत्वों और गुणों के बारे में बात करेंगे, और इन तत्वों के क्षेत्रफल, आयतन और अन्य मापदंडों को खोजने के सूत्र भी सीखेंगे।
एक चतुष्फलक के तत्व
चतुष्फलक के किसी शीर्ष से मुक्त होकर विपरीत फलक की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु तक गिरा हुआ खंड माध्यिका कहलाता है।
बहुभुज की ऊंचाई विपरीत शीर्ष से सामान्य रेखा है।
एक द्विमध्य एक खंड है जो पसलियों को पार करने के केंद्रों को जोड़ता है।
टेट्राहेड्रोन गुण
1) समानांतर तल जो दो क्रॉसिंग किनारों से गुजरते हैं, वर्णित समानांतर चतुर्भुज बनाते हैं।
2) चतुष्फलक की एक विशिष्ट विशेषता यह है कि आकृति की माध्यिकाएँ और द्विमाध्यिकाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं। यह महत्वपूर्ण है कि उत्तरार्द्ध मध्यिका को 3: 1 के अनुपात में विभाजित करता है, और द्विमाध्यकों को आधे में विभाजित करता है।
3) समतल चतुष्फलक को समान आयतन के दो भागों में विभाजित करता है यदि यह दो प्रतिच्छेदी किनारों के बीच से होकर गुजरता है।
चतुष्फलक के प्रकार
आकृति की प्रजाति विविधता काफी विस्तृत है। एक टेट्राहेड्रोन हो सकता है:
- सही, यानी आधार पर एक समबाहु त्रिभुज;
- समदूरस्थ, जिसमें सभी फलक लंबाई में समान होते हैं;
- ऑर्थोसेन्ट्रिक, जब ऊंचाइयों में प्रतिच्छेदन का एक सामान्य बिंदु होता है;
- आयताकार यदि शीर्ष पर समतल कोण सामान्य हैं;
- आनुपातिक, सभी द्वि ऊंचाई बराबर हैं;
- वायरफ्रेम अगर कोई गोला है जो किनारों को छूता है;
- इनसेंट्रिक, यानी, विपरीत चेहरे के खुदा सर्कल के केंद्र में शीर्ष से गिराए गए खंडों में प्रतिच्छेदन का एक सामान्य बिंदु होता है; इस बिंदु को टेट्राहेड्रोन का गुरुत्वाकर्षण केंद्र कहा जाता है।
आइए हम नियमित टेट्राहेड्रोन पर विस्तार से ध्यान दें, जिसके गुण व्यावहारिक रूप से भिन्न नहीं होते हैं।
नाम के आधार पर, आप समझ सकते हैं कि इसे ऐसा इसलिए कहा जाता है क्योंकि फलक नियमित त्रिभुज होते हैं। इस आकृति के सभी किनारे लंबाई में सर्वांगसम हैं, और किनारे क्षेत्रफल में सर्वांगसम हैं। एक नियमित चतुष्फलक पांच समान बहुफलकों में से एक है।
टेट्राहेड्रोन सूत्र
टेट्राहेड्रोन की ऊंचाई 2/3 की जड़ के गुणनफल और किनारे की लंबाई के बराबर होती है।
टेट्राहेड्रोन का आयतन पिरामिड के आयतन के समान होता है: 2 के वर्गमूल को 12 से विभाजित किया जाता है और घन में किनारे की लंबाई से गुणा किया जाता है।
वृत्तों के क्षेत्रफल और त्रिज्याओं की गणना के लिए शेष सूत्र ऊपर प्रस्तुत किए गए हैं।
एक मनमाना त्रिभुज ABC और एक बिंदु D पर विचार करें जो इस त्रिभुज के तल में नहीं है। आइए इस बिंदु को खण्डों द्वारा त्रिभुज ABC के शीर्षों से जोड़ते हैं। परिणामस्वरूप, हमें त्रिभुज ADC, CDB, ABD प्राप्त होते हैं। चार त्रिभुजों ABC, ADC, CDB और ABD से घिरी सतह को चतुष्फलक कहा जाता है और इसे DABC दर्शाया जाता है।
एक चतुष्फलक का निर्माण करने वाले त्रिभुज इसके फलक कहलाते हैं।
इन त्रिभुजों की भुजाओं को चतुष्फलक का किनारा कहा जाता है। और उनकी चोटियाँ चतुष्फलक की चोटियाँ हैं
चतुष्फलकीय है 4 चेहरे, 6 पसलियांतथा 4 कोने.
ऐसे दो किनारे जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होता है, विपरीत किनारे कहलाते हैं।
अक्सर सुविधा के लिए, चतुष्फलक के चेहरों में से एक को कहा जाता है आधार, और शेष तीन फलक पार्श्व फलक हैं।
इस प्रकार, एक चतुष्फलक सबसे सरल बहुफलक है जिसके फलक चार त्रिभुज हैं।
लेकिन यह भी सच है कि कोई भी मनमाना त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक होता है। तब यह भी सत्य है कि चतुष्फलक कहलाता है एक पिरामिड जिसके आधार पर एक त्रिभुज है।
टेट्राहेड्रोन ऊंचाईएक खंड कहलाता है जो एक शीर्ष को विपरीत फलक पर स्थित एक बिंदु से जोड़ता है और इसके लंबवत होता है।
माध्य चतुष्फलकवह खंड कहलाता है जो शीर्ष को विपरीत फलक की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ता है।
द्विमाध्यीय चतुष्फलकचतुष्फलक के क्रॉसिंग किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड कहलाता है।
चूंकि टेट्राहेड्रोन एक त्रिकोणीय आधार वाला पिरामिड है, इसलिए किसी भी टेट्राहेड्रोन के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है
- एस- किसी भी चेहरे का क्षेत्र,
- एच- ऊंचाई इस किनारे तक गिर गई
नियमित चतुष्फलक एक विशेष प्रकार का चतुष्फलक है
एक समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाओं वाला चतुष्फलक कहलाता है सही।
एक नियमित चतुष्फलक के गुण:
- सभी चेहरे समान हैं।
- एक नियमित चतुष्फलक के सभी तलीय कोण 60° . होते हैं
- चूँकि इसका प्रत्येक शीर्ष तीन नियमित त्रिभुजों का शीर्ष है, प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 180° होता है।
- एक नियमित टेट्राहेड्रोन के किसी भी शीर्ष को विपरीत चेहरे के ऑर्थोसेंटर (त्रिकोण की ऊंचाई के चौराहे बिंदु पर) के लिए प्रक्षेपित किया जाता है।
आइए हमें एक नियमित चतुष्फलक ABCD दिया जाए, जिसके किनारे a के बराबर हों। डीएच इसकी ऊंचाई है।
आइए अतिरिक्त निर्माण करें बीएम - त्रिभुज एबीसी की ऊंचाई और डीएम - त्रिभुज एसीडी की ऊंचाई।
ऊँचाई BM, BM के बराबर और बराबर
एक त्रिभुज BDM पर विचार करें, जहाँ DH, जो चतुष्फलक की ऊँचाई है, इस त्रिभुज की ऊँचाई भी है।
त्रिभुज की ऊँचाई को MB की ओर कम करके सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है
, कहाँ पे
बीएम =, डीएम =, बीडी = ए,
पी = 1/2 (बीएम + बीडी + डीएम) = 
इन मानों को ऊंचाई सूत्र में रखें। हम पाते हैं 
1/2ए निकाल लें। हम पाते हैं
हम वर्गों का सूत्र अंतर लागू करते हैं 
छोटे परिवर्तनों के बाद, हम प्राप्त करते हैं 
किसी भी चतुष्फलक के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है
,
कहाँ पे 
,
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं 
इस प्रकार, एक नियमित चतुष्फलक के लिए आयतन सूत्र है
कहाँ पे ए- चतुष्फलक का किनारा
एक चतुष्फलक के आयतन की गणना करना यदि उसके शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हों
आइए हमें चतुष्फलक के शीर्षों के निर्देशांक दिए जाएं
शीर्ष से सदिश खींचिए।
इनमें से प्रत्येक वैक्टर के निर्देशांक खोजने के लिए, अंत समन्वय से संबंधित प्रारंभ निर्देशांक घटाएं। हम पाते हैं 
नियमित टेट्राहेड्रोन। चार समबाहु त्रिभुजों से मिलकर बना है। इसका प्रत्येक शीर्ष तीन त्रिभुजों का शीर्ष है। इसलिए, प्रत्येक शीर्ष पर समतल कोणों का योग 180° होता है। चावल। एक।
प्रस्तुति "पॉलीहेड्रॉन 2" से चित्र 4"नियमित पॉलीहेड्रॉन" विषय पर ज्यामिति पाठों के लिएआयाम: 445 x 487 पिक्सेल, प्रारूप: jpg। एक ज्यामिति पाठ के लिए एक चित्र मुफ्त में डाउनलोड करने के लिए, छवि पर राइट-क्लिक करें और "छवि को इस रूप में सहेजें ..." पर क्लिक करें। पाठ में चित्र दिखाने के लिए, आप संपूर्ण प्रस्तुति "Polyhedron 2.ppt" को ज़िप-संग्रह में सभी चित्रों के साथ निःशुल्क डाउनलोड कर सकते हैं। संग्रह का आकार 197 केबी है।
प्रस्तुति डाउनलोड करेंनियमित पॉलीहेड्रॉन
"पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण" - यूक्लिड का प्रमाण। प्रमेय का प्रमाण। बीजगणितीय प्रमाण। ज्यामितीय प्रमाण। पाइथागोरस प्रमेय का अर्थ। आकृति में दिखाए गए वर्ग पर विचार करें। और अब पाइथागोरस वर्ने का प्रमेय, जैसा कि उनके दूर के युग में था। प्रमेय का कथन। पाइथागोरस प्रमेय ज्यामिति में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेयों में से एक है।
"नियमित बहुफलक" - नियमित अष्टफलक। नियमित डोडेकाहेड्रॉन। एंटीमनी सोडियम सल्फेट के क्रिस्टल में टेट्राहेड्रोन का आकार होता है। पॉलीहेड्रा नाम। क्रिस्टल नमक(NaCl) घन के आकार के होते हैं। नियमित icosahedron बीस समबाहु त्रिभुजों से बना है। एक नियमित चतुष्फलक चार समबाहु त्रिभुजों से बना होता है।
"ज्यामिति का इतिहास" - छठी शताब्दी ईसा पूर्व। ज्यामिति में कई सूत्र, आकृतियाँ, प्रमेय, समस्याएँ, अभिगृहीत होते हैं। मध्य युग। थेल्स ने समुद्र में एक जहाज की दूरी निर्धारित करने का एक तरीका प्रस्तावित किया। प्राचीन मिस्र। कुल मिलाकर यूक्लिड की रचना राजसी है। थेल्स ने कास्ट शैडो की लंबाई से मिस्र के चेप्स पिरामिड की ऊंचाई की गणना की। कोंगचेवस्की की ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणों का योग 180 ° से कम होता है, इसमें ऐसी कोई आकृति नहीं होती है।
"सदिशों के बीच का कोण" - सीधी रेखाओं D1B और CB1 के मार्गदर्शकों पर विचार करें। सीधी रेखाओं BD और CD1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। सदिशों के बीच के कोण की कोज्या। सदिश DD1 और MN के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। वैक्टर का डॉट उत्पाद। बिंदुओं के बीच की दूरी कैसे पाई जाती है? वैक्टर के बीच का कोण। रेखाओं और तलों के बीच के कोणों की गणना। दिशा वेक्टर एक सीधी रेखा है।
"लोबचेवस्की की ज्यामिति" - आकृति में, अक्षर समानांतर (सीधे खड़े) हैं या नहीं? क्या गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति ही एकमात्र सही है? रीमैनियन ज्यामिति को इसका नाम बी. रीमैन से मिला, जिन्होंने 1854 में इसकी नींव रखी थी। विज्ञान कभी भी स्थिर नहीं रहेगा। क्या आकृति एक सर्पिल या कई वृत्तों को दर्शाती है?
"समद्विबाहु त्रिभुज" - पार्श्व पक्ष। BD माध्यिका है। कद। आधार। समद्विबाहु त्रिकोण। एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई, जो आधार की ओर खींची जाती है, माध्यिका और समद्विभाजक होती है। एबी और बीसी - पार्श्व पक्ष... वी समद्विबाहु त्रिकोणआधार कोण बराबर होते हैं। बीडी ऊंचाई है। BD द्विभाजक है। एक त्रिभुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर हों, समबाहु त्रिभुज कहलाता है।
कुल 15 प्रस्तुतियाँ हैं
अनुभाग: गणित
पाठ की तैयारी और संचालन की योजना:
I. प्रारंभिक चरण:
- त्रिकोणीय पिरामिड के ज्ञात गुणों की पुनरावृत्ति।
- टेट्राहेड्रोन की विशेषताओं के बारे में संभव के बारे में परिकल्पना को आगे रखते हुए, पहले नहीं माना गया।
- इन परिकल्पनाओं पर शोध करने के लिए समूहों का गठन।
- प्रत्येक समूह के लिए कार्यों का वितरण (इच्छा को ध्यान में रखते हुए)।
- असाइनमेंट के लिए जिम्मेदारियों का वितरण।
द्वितीय. मुख्य चरण:
- परिकल्पना का समाधान।
- एक शिक्षक के साथ परामर्श।
- काम का पंजीकरण।
III. अंतिम चरण:
- परिकल्पना की प्रस्तुति और बचाव।
पाठ मकसद:
- छात्रों के ज्ञान और कौशल को सामान्य बनाने और व्यवस्थित करने के लिए; निर्दिष्ट विषय पर अतिरिक्त सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करें; गैर-मानक समस्याओं को हल करने में ज्ञान को लागू करना सिखाना, उनमें सरल घटकों को देखना;
- अतिरिक्त साहित्य के साथ काम करने वाले छात्रों के कौशल का निर्माण करना, विश्लेषण करने की क्षमता में सुधार करना, सामान्यीकरण करना, जो आप पढ़ते हैं उसमें मुख्य चीज ढूंढना, नई चीजों को साबित करना; छात्रों के संचार कौशल विकसित करना;
- ग्राफिक संस्कृति को बढ़ावा देना।
प्रारंभिक चरण (1 पाठ):
- छात्र संदेश "महान पिरामिड के रहस्य"।
- विभिन्न प्रकार के पिरामिडों के बारे में शिक्षक का परिचयात्मक भाषण।
- मुद्दों की चर्चा:
- अनियमित त्रिकोणीय पिरामिडों के संयोजन के लिए मानदंड क्या हैं
- त्रिभुज के लंबकेन्द्र से हमारा क्या तात्पर्य है, और चतुष्फलक का लंबकेन्द्र क्या कहा जा सकता है
- क्या एक आयताकार चतुष्फलक का एक लम्बकेन्द्र होता है?
- कौन सा टेट्राहेड्रोन आइसोहेड्रल कहलाता है इसके क्या गुण हो सकते हैं?
- विभिन्न टेट्राहेड्रा पर विचार करने के परिणामस्वरूप, उनके गुणों की चर्चा करते हुए, अवधारणाओं को स्पष्ट किया जाता है और एक निश्चित संरचना प्रकट होती है:
- एक नियमित चतुष्फलक के गुणों पर विचार कीजिए।
गुण 1-4 स्लाइड 1 का उपयोग करके मौखिक रूप से सिद्ध होते हैं।
गुण 1: सभी किनारे बराबर हैं।
गुण 2: सभी तलीय कोण 60° के होते हैं।
गुण 3: चतुष्फलक के किन्हीं तीन शीर्षों पर समतल कोणों का योग 180° होता है।
गुण 4: यदि चतुष्फलक नियमित है, तो इसके किसी भी शीर्ष को विपरीत फलक के लम्बकेन्द्र में प्रक्षेपित किया जाता है।
दिया गया:
ABCD एक नियमित चतुष्फलक है
एएच - ऊंचाई
साबित करें:
एच - ऑर्थोसेंटर
सबूत:
1) बिंदु H किसी भी बिंदु A, B, C के साथ संपाती हो सकता है। माना H? B, H? C
2) एएच + (एबीसी) => एएच + बीएच, एएच + सीएच, एएच + डीएच,
3) एबीएच, बीसीएच, एडीएच पर विचार करें
एडी - कुल => एबीएच, बीसीएच, एडीएच => बीएच = सीएच = डीएच
एबी = एसी = एडी टी। एच - ऑर्थोसेंटर एबीसी है
क्यू.ई.डी.
- पाठ 1 में, गुण 5-9 को उन परिकल्पनाओं के रूप में तैयार किया गया है जिनके लिए प्रमाण की आवश्यकता होती है।
प्रत्येक समूह को अपना गृहकार्य मिलता है:
किसी एक गुण को सिद्ध कीजिए।
एक प्रस्तुति के साथ एक तर्क तैयार करें।
द्वितीय. मुख्य चरण (एक सप्ताह के भीतर):
- परिकल्पना का समाधान।
- एक शिक्षक के साथ परामर्श।
- काम का पंजीकरण।
III. अंतिम चरण (1-2 पाठ):
प्रस्तुतियों का उपयोग करते हुए परिकल्पना की प्रस्तुति और बचाव।
अंतिम पाठ के लिए सामग्री तैयार करते समय, छात्र ऊंचाई के चौराहे के बिंदु की ख़ासियत के बारे में निष्कर्ष पर आते हैं, हम इसे "अद्भुत" बिंदु कहने के लिए सहमत हैं।
गुण 5: परिबद्ध और उत्कीर्ण गोले के केंद्र मेल खाते हैं।
दिया गया:
डीएबीसी - नियमित टेट्राहेड्रोन
1 - वर्णित गोले का केंद्र
- खुदा हुआ गोले का केंद्र
एन - एबीसी चेहरे के साथ खुदा हुआ गोले की स्पर्शरेखा का बिंदु
सिद्ध करें: 1 =
सबूत:
माना OA = OB = OD = OC परिवृत्त की त्रिज्या है
आइए N + (ABC) को छोड़ दें
AON = CON - आयताकार, टांग के साथ और कर्ण => AN = CN
ओम + (बीसीडी) को छोड़ दें
COM DOM - आयताकार, पैर और कर्ण के साथ => CM = DM
मद 1 से CON COM => ON = OM
ОN + (ABC) => ON, OM उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
प्रमेय सिद्ध होता है।
एक नियमित टेट्राहेड्रोन के लिए, एक गोले के साथ इसकी सापेक्ष स्थिति की संभावना होती है - इसके सभी किनारों के साथ एक निश्चित क्षेत्र को छूना। इस क्षेत्र को कभी-कभी "अर्ध-अंकित" कहा जाता है।
गुण 6: विपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं और इन किनारों के लंबवत को जोड़ने वाले रेखा खंड अर्ध-अंकित गोले की त्रिज्या हैं।
दिया गया:
ABCD एक नियमित चतुष्फलक है;
एएल = बीएल, एके = सीके, एएस = डीएस,
बीपी = सीपी, बीएम = डीएम, सीएन = डीएन।
साबित करें:
LO = OK = OS = OM = ON = OP
सबूत।
चतुष्फलक ABCD - सही => AO = BO = CO = DO
त्रिभुजों AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD पर विचार करें।
एओ = बीओ =>?एओबी - समद्विबाहु =>
OL - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
AO = CO =>? AOC– समद्विबाहु =>
K - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
CO = DO =>?COD– समद्विबाहु =>
ON– माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक AOB => AOC = COD =
BO = DO =>? BOD– समद्विबाहु => BOD = BOC = AOD
OM - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
AO = DO =>? AOD– समद्विबाहु =>
OS - माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
बीओ = सीओ =>?बीओसी- समद्विबाहु =>
OP– माध्यिका, ऊँचाई, समद्विभाजक
एओ = बीओ = सीओ = डीओ
एबी = एसी = एडी = बीसी = बीडी = सीडी
3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - OL, OK, ON, OM, OS, OP त्रिज्या के बराबर ऊँचाई
गोले के समद्विबाहु त्रिभुज
परिणाम:
एक नियमित चतुष्फलक में एक अर्ध-अंकित गोला खींचा जा सकता है।
संपत्ति 7:यदि चतुष्फलक नियमित है, तो चतुष्फलक के प्रत्येक दो विपरीत किनारे परस्पर लंबवत हैं।
दिया गया:
डीएबीसी - नियमित टेट्राहेड्रोन;
एच - ऑर्थोसेंटर
साबित करें:
सबूत:
DABC - नियमित चतुष्फलक =>? ADB - समबाहु
(एडीबी) (ईडीसी) = ईडी
ईडी - ऊंचाई एडीबी => ईडी + एबी,
एबी + सीई, => एबी + (ईडीसी) => एबी + सीडी।
अन्य किनारों की लंबवतता इसी तरह साबित होती है।
गुण 8: सममिति के छह तल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु O पर, चार सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, जो चेहरे के तलों के लंबवत वृत्तों के किनारों के बारे में परिचालित केंद्रों के माध्यम से खींची जाती हैं, और बिंदु O परिबद्ध गोले का केंद्र है।
दिया गया:
ABCD एक नियमित चतुष्फलक है
साबित करें:
ओ - वर्णित क्षेत्र का केंद्र;
सममिति के 6 तल बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं;
सबूत।
सीजी + बीडी क्योंकि BCD - समबाहु => GO + BD (प्रमेय द्वारा लगभग तीन GO + BD लंबवत)
बीजी = जीडी, क्योंकि AG - माध्यिका ABD
एबीडी (एबीडी) =>? बीओडी - समद्विबाहु => बीओ = DO
ईडी + एबी, क्योंकि ABD - एक तरफा => OE + AD (तीन लंबवत प्रमेय द्वारा)
बीई = एई क्योंकि DE माध्यिका है?
ABD (ABD) =>?AOB - समद्विबाहु => BO = AO
(एओबी) (एबीडी) = एबी
ON + (ABC) OF + AC (प्रमेय द्वारा लगभग तीन
बीएफ + एसी, क्योंकि ABC - समबाहु लंब)
एएफ = एफसी, क्योंकि BF - माध्यिका? ABC
ABC (ABC) => AOC - समद्विबाहु => AO = CO
(एओसी)? (एबीसी) = एसी
बीओ = एओ => एओ = बीओ = सीओ = डीओ - गोले की त्रिज्या,
AO = CO एक चतुष्फलक ABCD के परितः परिबद्ध है
(एबीआर) (एसीजी) = एओ
(बीसीटी) (एबीआर) = बीओ
(एसीजी) (बीसीटी) = सीओ
(एडीएच) (सीईडी) = डीओ
एबी + (एबीआर) (एबीआर) (बीसीटी) (एसीजी) (एडीएच) (सीईडी) (बीडीएफ)
इसलिये:
बिंदु O वर्णित गोले का केंद्र है,
सममिति के 6 तल बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
संपत्ति 9: चतुष्फलक के शीर्षों से लंबकेन्द्रों तक जाने वाले लंबों के बीच का अधिक कोण 109° 28 "
दिया गया:
ABCD एक नियमित चतुष्फलक है;
ओ वर्णित क्षेत्र का केंद्र है;
साबित करें:
सबूत:
1) एएस - ऊंचाई
एएसबी = 90 ओ ओएसबी आयताकार
2) (नियमित चतुष्फलक के गुण से)
3) AO = BO - परिबद्ध गोले की त्रिज्या
4) 
70 डिग्री 32 "
6) एओ = बीओ = सीओ = डीओ =>?एओडी =?एओसी =?एओडी =?सीओडी =?बीओडी=?बीओसी
निष्कर्ष।
(शिक्षक और छात्र पाठ को सारांशित करते हैं। छात्रों में से एक रासायनिक तत्वों की संरचनात्मक इकाई के रूप में टेट्राहेड्रोन के बारे में एक संक्षिप्त संदेश के साथ बोलता है।)
एक नियमित टेट्राहेड्रोन के गुणों और इसके "अद्भुत" बिंदु का अध्ययन किया जाता है।
यह पाया गया कि केवल ऐसे टेट्राहेड्रोन के आकार में, जिसमें उपरोक्त सभी गुण होते हैं, साथ ही साथ एक "आदर्श" बिंदु में सिलिकेट और हाइड्रोकार्बन के अणु हो सकते हैं। या अणु कई . से बने हो सकते हैं नियमित चतुष्फलक... वर्तमान में, टेट्राहेड्रोन को न केवल प्राचीन सभ्यता, गणित के प्रतिनिधि के रूप में जाना जाता है, बल्कि पदार्थों की संरचना के आधार के रूप में भी जाना जाता है।
सिलिकेट नमक जैसे पदार्थ होते हैं जिनमें सिलिकॉन-ऑक्सीजन यौगिक होते हैं। उनका नाम लैटिन शब्द "सिलेक्स" - "फ्लिंट" से आया है। सिलिकेट अणुओं का आधार टेट्राहेड्रोन के रूप में परमाणु मूलक हैं।
सिलिकेट रेत, मिट्टी, ईंट, कांच, सीमेंट, तामचीनी, तालक, अभ्रक, पन्ना और पुखराज हैं।
सिलिकेट पृथ्वी की पपड़ी का 75% से अधिक (और लगभग 87%) क्वार्ट्ज के साथ और 95% से अधिक आग्नेय चट्टानों का निर्माण करते हैं।
सिलिकेट्स की एक महत्वपूर्ण विशेषता एक सामान्य ऑक्सीजन परमाणु के माध्यम से दो या दो से अधिक सिलिकॉन-ऑक्सीजन टेट्राहेड्रा के परस्पर संयोजन (पोलीमराइजेशन) की क्षमता है।
संतृप्त हाइड्रोकार्बन में अणुओं का एक ही रूप होता है, लेकिन वे कार्बन और हाइड्रोजन के सिलिकेट के विपरीत होते हैं। अणुओं का सामान्य सूत्र
हाइड्रोकार्बन में प्राकृतिक गैस शामिल है।
आयताकार और समबाहु चतुष्फलक के गुणों पर विचार करना आवश्यक है।
साहित्य।
- पोतापोव वी.एम., तातारिनचिक एस.एन. "ऑर्गेनिक केमिस्ट्री", मॉस्को 1976
- वी.पी.बबरीन "महान पिरामिड का रहस्य", सेंट पीटर्सबर्ग, 2000।
- Sharygin I. F. "ज्यामिति में समस्याएं", मास्को, 1984।
- बड़ा विश्वकोश शब्दकोश।
- "स्कूल संदर्भ पुस्तक", मॉस्को, 2001।