एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर भुजाएँ बराबर होती हैं। समद्विबाहु त्रिभुजों के बारे में समस्याएँ। यदि किसी त्रिभुज में दो कोण एक दूसरे के बराबर हों, तो ऐसा त्रिभुज समद्विबाहु होता है

1. एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण।
2. एक समद्विबाहु त्रिभुज के लक्षण।
3. समद्विबाहु त्रिभुज सूत्र:
   • पार्श्व लंबाई सूत्र;
   • समान भुजाओं की लंबाई के सूत्र;
   • एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिका, समद्विभाजक के सूत्र।

एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। इन पार्टियों को कहा जाता है पार्श्वऔर तीसरा पक्ष है आधार.

एबी = बीसी - पार्श्व पक्ष

एसी - आधार

समद्विबाहु त्रिभुज गुण

एक समद्विबाहु त्रिभुज के गुण के रूप में व्यक्त किए जाते हैं 5 प्रमेय:

प्रमेय 1।एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।

प्रमेय का प्रमाण:

एक समद्विबाहु पर विचार करें एबीसी नींव के साथ जैसा .

भुजाएँ समान हैं अब = रवि ,

इसलिए, आधार पर कोण बीАसी = बीसीए .

समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर खींचे गए समद्विभाजक, माध्यिका, ऊँचाई पर प्रमेय

• प्रमेय 2।एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींचा गया द्विभाजक माध्यिका और ऊँचाई है।
• प्रमेय 3.एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार की ओर खींची गई माध्यिका समद्विभाजक और ऊँचाई होती है।
• प्रमेय 4.एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार तक खींची गई ऊँचाई समद्विभाजक और माध्यिका होती है।

प्रमेय का प्रमाण:

• डैन एबीसी .
• बिंदु से वी चलो ऊंचाई पकड़ें बी.डी.
• त्रिभुज को . में विभाजित किया गया है अब्द और सीबीडी। ये त्रिभुज बराबर हैं क्योंकि उनके कर्ण और उभयनिष्ठ पैर बराबर () हैं।
• सीधे जैसा तथा बीडी लंबवत कहलाते हैं।
• बी अब्द और बीसीडी बद = बीСडी (प्रमेय 1 से)।
• एबी = बीसी - भुजाएँ समान हैं।
• दलों विज्ञापन = सीडी, जबसे दूरसंचार विभाग डी खंड को आधे में विभाजित करता है।
• इसलिए एबीडी = Δ बीसीडी
• समद्विभाजक, ऊँचाई और माध्यिका एक खण्ड है - बीडी

निष्कर्ष:

1. एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई, जो आधार की ओर खींची जाती है, माध्यिका और समद्विभाजक होती है।
2. एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका, जो आधार की ओर खींची जाती है, ऊँचाई और समद्विभाजक होती है।
3. एक समद्विबाहु त्रिभुज का समद्विभाजक, आधार की ओर खींचा गया, माध्यिका और ऊँचाई है।

याद रखना!ऐसी समस्याओं को हल करते समय, ऊंचाई को समद्विबाहु त्रिभुज के आधार तक कम करें। इसे दो समान समकोण त्रिभुजों में विभाजित करना।

• प्रमेय 5.यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं।

प्रमेय का प्रमाण:

दो ABC और A 1 B 1 C 1 दिया गया है। भुजाएँ AB = A 1 B 1; बीसी = बी 1 सी 1; एसी = ए 1 सी 1.

विरोधाभास द्वारा प्रमाण।

• त्रिभुजों को समान न होने दें (अन्यथा त्रिभुज पहले गुण में समान थे)।
• मान लीजिए A 1 B 1 C 2 = Δ ABC, जिसका शीर्ष C 2 सीधी रेखा A 1 B 1 के सापेक्ष शीर्ष C 1 के साथ एक ही अर्ध-तल में स्थित है। धारणा के अनुसार, शीर्ष C 1 और C 2 संपाती नहीं हैं। मान लीजिए D खंड C 1 C 2 का मध्यबिंदु है। A 1 C 1 C 2 और Δ B 1 C 1 C 2 समद्विबाहु हैं जिनका एक उभयनिष्ठ आधार C 1 C 2 है। इसलिए, उनकी माध्यिकाएँ A 1 D और B 1 D ऊँचाई हैं। अतः, रेखाएँ A 1 D और B 1 D, रेखा C 1 C 2 पर लंबवत हैं। ए 1 डी और बी 1 डी के अलग-अलग बिंदु ए 1 और बी 1 हैं, इसलिए, मेल नहीं खाते। लेकिन सीधी रेखा C 1 C 2 के बिंदु D से होकर केवल एक सीधी रेखा लम्बवत खींची जा सकती है।
• यहां से हम एक विरोधाभास पर पहुंचे और प्रमेय को सिद्ध किया।

समद्विबाहु त्रिभुज के चिन्ह

1. यदि किसी त्रिभुज में दो कोण बराबर हों।
2. त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।
3. यदि किसी त्रिभुज में समद्विभाजक माध्यिका या ऊँचाई है।
4. यदि किसी त्रिभुज में माध्यिका समद्विभाजक या ऊँचाई है।
5. यदि किसी त्रिभुज में, ऊँचाई माध्यिका या समद्विभाजक है।

समद्विबाहु त्रिभुज सूत्र

• बी- पक्ष (आधार)
• ए- समान पक्ष
• ए - आधार पर कोण
• बी

साइड लेंथ फॉर्मूला(मैदान - बी):

• b = 2a \ sin (\ बीटा / 2) = a \ sqrt (2-2 \ cos \ बीटा)
• b = 2a \ cos \ alpha

समान पार्श्व लंबाई सूत्र - (ए):

• ए = \ फ्रैक (बी) (2 \ पाप (\ बीटा / 2)) = \ फ्रैक (बी) (\ sqrt (2-2 \ cos \ बीटा))
• ए = \ फ़्रेक (बी) (2 \ cos \ अल्फा)

• ली- ऊंचाई = द्विभाजक = माध्यिका
• बी- पक्ष (आधार)
• ए- समान पक्ष
• ए - आधार पर कोण
• बी - बराबर भुजाओं से बनने वाला कोण

भुजा और कोण से ऊँचाई, समद्विभाजक और माध्यिका के सूत्र, ( ली):

• एल = एक पाप ए
• एल = \ फ्रैक (बी) (2) * \ टीजी \ अल्फा
• एल = ए \ sqrt ((1 + \ cos \ बीटा) / 2) = एक \ cos (\ बीटा) / 2)

भुजाओं से होते हुए ऊँचाई, समद्विभाजक और माध्यिका का सूत्र, ( ली):

• एल = \ sqrt (ए ^ (2) -बी ^ (2) / 4)

• बी- पक्ष (आधार)
• ए- समान पक्ष
• एच- कद

ऊँचाई h और आधार b के पदों में त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र, ( एस):

एस = \ फ़्रेक (1) (2) * भ

जिसमें दोनों पक्षों की लंबाई बराबर होती है। समान भुजाओं को पार्श्व कहा जाता है, और अंतिम असमान भुजा को आधार कहा जाता है। परिभाषा के अनुसार, एक समबाहु त्रिभुज भी समद्विबाहु होता है, लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है।

शब्दावली

यदि किसी त्रिभुज की दो समान भुजाएँ हों, तो ये भुजाएँ भुजाएँ कहलाती हैं, और तीसरी भुजा आधार कहलाती है। भुजाओं से बनने वाले कोण को कहते हैं शिखर कोण, और कोने, जिनमें से एक पक्ष आधार है, कहलाते हैं आधार पर कोने.

गुण

• एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। इन कोणों से खींचे गए समद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई भी बराबर होते हैं।
• आधार से समद्विभाजक, माध्यिका, ऊँचाई और लंबवत संपाती होती है। इस रेखा पर उत्कीर्ण और परिचालित वृत्तों के केंद्र स्थित हैं।

होने देना ए- एक समद्विबाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाओं की लंबाई, बी- तीसरे पक्ष की लंबाई, एच- समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई

• $ए\; =\; \backslash \; फ़्रेक\; बी\; (2\; \backslash \; cos\; \backslash \; अल्फा)$(कोज्या प्रमेय का परिणाम);
• $बी\; =\; ए\; \backslash \; sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; बीटा))$(कोज्या प्रमेय का परिणाम);
• $बी\; =\; 2ए\; \backslash \; पाप\; \backslash \; फ्रैक\; \backslash \; बीटा\; 2$;
• $b\; =\; 2a\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha$(प्रक्षेपण प्रमेय)

उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या को छह तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है, जिसके आधार पर एक समद्विबाहु त्रिभुज के दो पैरामीटर ज्ञात होते हैं:

• $r\; =\; \backslash \; frac\; b2\; \backslash \; sqrt\; (\backslash \; frac\; (2a-b)\; (2a\; +\; b))$
• $आर\; =\; \backslash \; फ़्रेक\; (बीएच)\; (बी\; +\; \backslash \; sqrt\; (4h\; ^\; 2\; +\; बी\; ^\; 2))$
• $आर\; =\; \backslash \; फ़्रेक\; (एच)\; (1+\; \backslash \; फ़्रेक\; (ए)\; (\backslash \; sqrt\; (ए\; ^\; 2-एच\; ^\; 2)))$
• $आर\; =\; \backslash \; फ्रैक\; बी\; 2\; \backslash \; ऑपरेटरनाम\; (टीजी)\; \backslash \; बाएं\; (\backslash \; फ्रैक\; (\backslash \; अल्फा)\; (2)\; \backslash \; दाएं)$
• $r\; =\; a\; \backslash \; cdot\; \backslash \; cos\; (\backslash \; alpha)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; operatorname\; (tg)\; \backslash \; left\; (\backslash \; frac\; (\backslash \; alpha)\; (2)\; \backslash \; right)$

कोनेनिम्नलिखित तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:

• $\backslash \; अल्फा\; =\; \backslash \; फ्रैक\; (\backslash \; pi\; -\; \backslash \; बीटा)\; 2;$
• $\backslash \; बीटा\; =\; \backslash \; पीआई\; -\; 2\; \backslash \; अल्फा;$
• $\backslash \; अल्फा\; =\; \backslash \; आर्कसिन\; \backslash \; फ्रैक\; ए\; (2\; आर),\; \backslash \; बीटा\; =\; \backslash \; आर्क्सिन\; \backslash \; फ्रैक\; बी\; (2\; आर)$(साइन प्रमेय)।
• कोना बिना भी मिल सकता है $(\backslash \; पीआई)$तथा $आर$... माध्यिका त्रिभुज को आधे में विभाजित करती है, और at प्राप्त कियादो समान समकोण त्रिभुज, कोणों की गणना की जाती है:

$y\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; frac\; (b)\; (c),\; \backslash \; arccos\; y\; =\; x$

परिमापएक समद्विबाहु त्रिभुज निम्नलिखित तरीकों से पाया जाता है:

• $पी\; =\; 2ए\; +\; बी$(परिभाषा से);
• $पी\; =\; 2आर\; (2\; \backslash \; पाप\; \backslash \; अल्फा\; +\; \backslash \; पाप\; \backslash \; बीटा)$(साइन प्रमेय का परिणाम)।

वर्गत्रिभुज निम्नलिखित तरीकों से पाया जाता है:

$एस\; =\; \backslash \; फ़्रेक\; 1\; 2बीएच;$

$एस\; =\; \backslash \; फ्रैक\; 1\; 2\; ए\; ^\; 2\; \backslash \; पाप\; \backslash \; बीटा\; =\; \backslash \; फ्रैक\; 1\; 2\; एबी\; \backslash \; पाप\; \backslash \; अल्फा\; =\; \backslash \; फ्रैक\; (बी\; ^\; 2)\; (4\; \backslash \; तन\; \backslash \; फ्रैक\; \backslash \; बीटा\; 2);$ $S\; =\; \backslash \; frac\; 1\; 2\; b\; \backslash \; sqrt\; (\backslash \; बाएँ\; (a\; +\; \backslash \; frac\; 1\; 2\; b\; \backslash \; दाएँ)\; \backslash \; बाएँ\; (a\; -\; \backslash \; frac\; 1\; 2\; b\; \backslash \; दाएँ));$ $एस\; =\; \backslash \; फ्रैक\; 2\; 1\; ए\; \backslash \; एसक्यूआरटी\; \backslash \; बीटा\; =\; \backslash \; फ्रैक\; 2\; 1\; एबी\; \backslash \; कॉस\; \backslash \; अल्फा\; =\; \backslash \; फ्रैक\; (बी\; ^\; 1)\; (2\; \backslash \; पाप\; \backslash \; फ्रैक\; \backslash \; बीटा\; 1);$

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नोट्स (संपादित करें)

समद्विबाहु त्रिभुज की विशेषता वाला एक अंश

मरिया दिमित्रिग्ना, हालांकि वे उससे डरते थे, पीटर्सबर्ग में एक जोकर के रूप में देखा गया था, और इसलिए, उनके द्वारा कहे गए शब्दों से, उन्होंने केवल एक अशिष्ट शब्द देखा और एक दूसरे को कानाफूसी में दोहराया, यह मानते हुए कि यह शब्द था जो कहा गया उसका पूरा बिंदु।
प्रिंस वसीली, जो हाल ही में विशेष रूप से अक्सर भूल गए थे कि वह क्या कह रहा था, और एक ही बात को सौ बार दोहराया, हर बार अपनी बेटी को देखने के लिए कहा।
- हेलेन, जे "ऐ उन मोट अ वोस डायर," उसने उससे कहा, उसे एक तरफ खींचकर और अपना हाथ नीचे खींच लिया। - जे "एआई यू वेंट डे निश्चित प्रोजेक्ट्स रिलेटिफ्स ए ... वौस सेवज़। एह बिएन, मा चेरे एनफैंट, वोस सेव्ज़ क्यू मोन सी? उर डे पेरे से रिजौइट डू वाउस सेवॉयर ... वौस एवेज़ टैंट सॉफर्ट ... माईस, चेरे एनफैंट ... ने कंसल्टेज़ क्यू वोटर सी? उर। सी "एस्ट टाउट सी क्यू जे वोस डिस। [हेलेन, मुझे आपको कुछ बताना है। मैंने कुछ प्रजातियों के बारे में सुना ... आप जानते हैं। ठीक है, मेरे प्यारे बच्चे, आप जानते हैं कि आपके पिता का दिल खुश है कि आप .. .. तुमने बहुत कुछ सहा है... लेकिन, प्यारे बच्चे ... जैसा तुम्हारा दिल कहे वैसा करो। यही मेरी पूरी सलाह है।] - और, हमेशा उसी उत्साह को छिपाते हुए, उसने अपनी बेटी के लिए अपना गाल दबाया और चला गया।
बिलिबिन, जिसने सबसे चतुर व्यक्ति के रूप में अपनी प्रतिष्ठा नहीं खोई है और हेलेन का एक उदासीन दोस्त था, उन दोस्तों में से एक जिनके पास हमेशा शानदार महिलाएं होती हैं, पुरुषों के दोस्त जो कभी प्रेमियों की भूमिका में नहीं जा सकते, बिलिबिन ने एक बार अपने दोस्त हेलेन को व्यक्त किया एक पेटिट कॉमेट में [छोटा अंतरंग सर्कल] पूरे मामले के बारे में आपका विचार।
- इकोटेज़, बिलिबिन (हेलेन हमेशा ऐसे दोस्तों को बिलिबिन के रूप में उनके अंतिम नाम से बुलाती है), - और उसने अपने सफेद हाथ को अपने टेलकोट की आस्तीन में छल्ले में छुआ। - डाइट्स मोई कॉमे वोस डिरिएज़ ए उने एस? उर, क्यू डोइस जे फेयर? लेक्वेल डेस ड्यूक्स? [सुनो, बिलिबिन: मुझे बताओ, तुम अपनी बहन को कैसे बताएगी कि क्या करना है? दोनों में से कौन सा?]
बिलिबिन ने अपनी भौहों के ऊपर की त्वचा को इकट्ठा किया और अपने होठों पर मुस्कान के साथ विचार किया।
उन्होंने कहा, "वौस ने में प्रीनेज़ पास एन खराब है, वोस सेव्ज़," उन्होंने कहा। - कमे वेरिटेबल एमी जे "एआई पेन्स एट रिपेंस ए वोटर अफेयर। वोएज़ वौस। सी वौस एपोसेज़ ले प्रिंस (यह एक जवान आदमी था), - उसने अपनी उंगली झुकाई, - वोस पेर्डेज़ डालना टूजूर्स ला चांस डी" एपौसर एल "ऑट्रे, एट पुइस वौस मेकॉन्टेंटेज़ ला कोर्ट। (कॉमे वौस सेव्ज़, इल या उन एस्पेस डे पैरेंट।) मैस सी वौस एपोसेज़ ले विएक्स कॉम्टे, वौस फेइट्स ले बोनहेउर डी सेस डर्नियर्स जर्नल्स, एट पुइस कमे वीव डू ग्रैंड ... ले प्रिंस ने फेट plus de mesalliance en vous epousant, [आप मुझे आश्चर्य से नहीं लेंगे, आप जानते हैं। एक सच्चे दोस्त के रूप में, मैंने आपके मामले के बारे में लंबे समय तक सोचा। आप देखें: यदि आप एक राजकुमार से शादी करते हैं, तो आप हमेशा के लिए वंचित रह जाते हैं दूसरे की पत्नी होने का अवसर, और इसके अलावा अदालत असंतुष्ट होगी। (आप जानते हैं, आखिरकार, रिश्तेदारी शामिल है।) और यदि आप पुरानी गिनती से शादी करते हैं, तो आप उसके अंतिम दिनों की खुशी को बना देंगे, और फिर ... राजकुमार को अब एक रईस की विधवा से शादी करने के लिए अपमानित नहीं किया जाएगा।] - और बिलिबिन ने अपनी त्वचा को ढीला कर दिया।
- वोइला अन वेरिटेबल एमी! - हेलेन ने मुस्कराते हुए कहा, एक बार फिर बिलिबिप की आस्तीन को अपने हाथ से छूते हुए। - माईस सी "एस्ट क्यू जे" एइमे एल "उन एट एल" ऑट्रे, जे ने वौड्राइस पास लेउर फेयर डे चाग्रिन। जे डोनेरैस मा वी पोर लेउर बोन्हूर ए टूस ड्यूक्स, [देखो एक सच्चा दोस्त! लेकिन मैं दोनों से प्यार करता हूं और मैं किसी को परेशान नहीं करना चाहूंगा। दोनों की खुशी के लिए मैं अपनी जान कुर्बान करने को तैयार हो जाऊंगी।] - उसने कहा।
बिलिबिन ने अपने कंधों को सिकोड़ लिया, यह व्यक्त करते हुए कि वह भी अब इस तरह के दुःख की मदद नहीं कर सकता।
"उने मैट्रेस फीमेल! वोइला सी क्यूई एस "एपेल पॉसर कैरमेंट ला प्रश्न। एले वौड्राइट एपौसर टॉस लेस ट्रोइस ए ला फोइस।" - बिलिबिन सोचा। परिभाषा 7. कोई भी त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ बराबर हों समद्विबाहु कहलाते हैं।
दो समान भुजाओं को पार्श्व कहा जाता है, तीसरे को आधार कहा जाता है।
परिभाषा 8. यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर हों, तो ऐसा त्रिभुज समबाहु कहलाता है।
यह एक समद्विबाहु त्रिभुज का आंशिक दृश्य है।
प्रमेय 18. एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई, आधार से नीचे की ओर, समान भुजाओं, माध्यिका और आधार की समरूपता की धुरी के बीच के कोण का द्विभाजक भी है।
सबूत। आइए हम ऊंचाई को समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर छोड़ते हैं। वह इसे दो बराबर (पैर और कर्ण के साथ) समकोण त्रिभुजों में विभाजित करेगी। कोण ए और सी बराबर हैं, और ऊंचाई भी आधार को आधे में विभाजित करती है और पूरी आकृति की समरूपता की धुरी होगी।
इसके अलावा, इस प्रमेय को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:
प्रमेय 18.1. एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका, जो आधार से नीचे की ओर है, समान भुजाओं के बीच के कोण का समद्विभाजक भी है, आधार की ऊँचाई और सममिति की धुरी।
प्रमेय 18.2. एक समद्विबाहु त्रिभुज का समद्विभाजक, आधार से नीचे, एक ही समय में आधार की समरूपता की ऊंचाई, माध्यिका और अक्ष होता है।
प्रमेय 18.3. एक समद्विबाहु त्रिभुज की सममिति का अक्ष एक साथ बराबर भुजाओं, माध्यिका और ऊँचाई के बीच के कोण का समद्विभाजक होता है।
इन उपफलों का प्रमाण उन त्रिभुजों की समानता से भी मिलता है जिनमें समद्विबाहु त्रिभुज विभाजित होता है।

प्रमेय 19. एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण बराबर होते हैं।
सबूत। आइए हम ऊंचाई को समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर छोड़ते हैं। वह इसे दो बराबर (पैर और कर्ण के साथ) समकोण त्रिभुजों में विभाजित करेगी, जिसका अर्थ है कि संबंधित कोण बराबर हैं, अर्थात। ए = ∠ सी
एक समद्विबाहु त्रिभुज के मानदंड प्रमेय 1 और उसके उपफलों और प्रमेय 2 से अनुसरण करते हैं।
प्रमेय 20. यदि इन चार रेखाओं में से दो (ऊंचाई, माध्यिका, समद्विभाजक, सममिति की धुरी) संपाती हों, तो त्रिभुज समद्विबाहु होगा (जिसका अर्थ है कि सभी चार रेखाएँ भी संपाती होंगी)।
प्रमेय 21. यदि किसी त्रिभुज के कोई दो कोण बराबर हों, तो वह समद्विबाहु होता है।

सबूत:प्रत्यक्ष प्रमेय के प्रमाण के समान, लेकिन त्रिभुजों की समानता के लिए दूसरे परीक्षण का उपयोग करना। गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, परिचालित और खुदे हुए वृत्तों के केंद्र और एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु - सभी इसकी समरूपता की धुरी पर स्थित हैं, अर्थात। स्वर्ग में।
एक समबाहु त्रिभुज अपनी भुजाओं के प्रत्येक युग्म के लिए समद्विबाहु होता है। इसकी सभी भुजाओं की समानता को देखते हुए ऐसे त्रिभुज के तीनों कोण बराबर होते हैं। यह देखते हुए कि किसी त्रिभुज के कोणों का योग दो समकोण के बराबर होता है, हम देखते हैं कि एक समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का होता है। इसके विपरीत, यह सुनिश्चित करने के लिए कि त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान हैं, यह जाँचने के लिए पर्याप्त है कि उसके तीन में से दो कोण 60 ° के बराबर हैं।
प्रमेय 22 ... एक समबाहु त्रिभुज में, सभी उल्लेखनीय बिंदु मेल खाते हैं: गुरुत्वाकर्षण का केंद्र, खुदा हुआ और परिचालित वृत्तों के केंद्र, ऊंचाइयों के प्रतिच्छेदन बिंदु (त्रिभुज का लंबकेन्द्र कहा जाता है)।
प्रमेय 23 ... यदि इन चार बिंदुओं में से दो का मेल होता है, तो त्रिभुज समबाहु होगा और, परिणामस्वरूप, सभी चार नामित बिंदु मेल खाएंगे।
वास्तव में, ऐसा त्रिभुज, पिछले वाले के अनुसार, किसी भी भुजाओं के युग्म के संबंध में समद्विबाहु होगा, अर्थात। समबाहु एक समबाहु त्रिभुज को नियमित त्रिभुज भी कहा जाता है। एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल पार्श्व भुजा के वर्ग और भुजाओं के बीच के कोण की ज्या के आधे गुणनफल के बराबर होता है
एक समबाहु त्रिभुज के लिए इस सूत्र पर विचार करें, तो अल्फा कोण 60 डिग्री होगा। फिर इस तरह दिखने के लिए सूत्र बदल जाएगा:

प्रमेय d1 ... एक समद्विबाहु त्रिभुज में, पार्श्व भुजाओं तक खींची गई माध्यिकाएँ बराबर होती हैं।

सबूत:मान लीजिए कि ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है (AC = BC), AK और BL इसकी माध्यिकाएँ हैं। फिर त्रिभुजों की समानता के दूसरे चिन्ह के अनुसार त्रिभुज AKB और ALB बराबर हैं। उनकी एक उभयनिष्ठ भुजा AB है, भुजाएँ AL और BK समद्विबाहु त्रिभुज की पार्श्व भुजाओं के आधे भाग के बराबर हैं, और कोण LAB और KBA समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोणों के बराबर हैं। चूँकि त्रिभुज बराबर होते हैं, इसलिए उनकी भुजाएँ AK और LB बराबर होती हैं। लेकिन AK और LB एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएँ हैं जो उसकी पार्श्व भुजाओं तक खींची जाती हैं।
प्रमेय d2 ... एक समद्विबाहु त्रिभुज में, भुजाओं पर खींचे गए समद्विभाजक बराबर होते हैं।

सबूत:मान लीजिए कि ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है (AC = BC), AK और BL इसके समद्विभाजक हैं। त्रिभुज समानता के दूसरे चिन्ह में त्रिभुज AKB और ALB बराबर हैं। उनकी एक उभयनिष्ठ भुजा AB है, कोण LAB और KBA एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोणों के बराबर हैं, और कोण LBA और KAB एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के आधे कोणों के बराबर हैं। चूँकि त्रिभुज बराबर हैं, उनकी भुजाएँ AK और LB - त्रिभुज ABC के समद्विभाजक - समान हैं। प्रमेय सिद्ध होता है।
प्रमेय d3 ... एक समद्विबाहु त्रिभुज में, पार्श्व भुजाओं तक गिराई गई ऊँचाई बराबर होती है।

सबूत:मान लीजिए कि ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है (AC = BC), AK और BL इसकी ऊँचाई है। तब कोण ABL और KAB बराबर होते हैं, क्योंकि कोण ALB और AKB समकोण होते हैं, और कोण LAB और ABK समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोणों के बराबर होते हैं। इसलिए, त्रिभुज ALB और AKB त्रिभुज समानता के दूसरे चिन्ह के अनुसार समान हैं: उनकी एक उभयनिष्ठ भुजा AB है, कोण KAB और LBA ऊपर के अनुसार समान हैं, और कोण LAB और KBA आधार पर कोणों के बराबर हैं एक समद्विबाहु त्रिभुज का। यदि त्रिभुज समान हैं, तो उनकी भुजाएँ AK और BL भी बराबर हैं। क्यू.ई.डी.

यह पाठ "समद्विबाहु त्रिभुज और उसके गुण" विषय पर विचार करेगा। आप सीखेंगे कि समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज कैसे दिखते हैं और इनकी विशेषता क्या है। समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोणों की समानता पर प्रमेय सिद्ध कीजिए। समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर खींचे गए द्विभाजक (माध्यिका और ऊँचाई) पर प्रमेय पर भी विचार करें। पाठ के अंत में, आप समद्विबाहु त्रिभुज की परिभाषा और गुणों का उपयोग करके दो समस्याओं का विश्लेषण करेंगे।

परिभाषा:समद्विबाहुएक त्रिभुज कहलाता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं।

चावल। 1. समद्विबाहु त्रिभुज

एबी = एसी - पार्श्व पक्ष। ईसा पूर्व आधार है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके आधार और ऊँचाई के गुणनफल का आधा होता है।

परिभाषा:समभुजत्रिभुज कहलाता है, जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं।

चावल। 2. समबाहु त्रिभुज

एबी = बीसी = सीए।

प्रमेय 1:एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।

दिया गया:एबी = एसी।

साबित करें:= .

चावल। 3. प्रमेय के लिए आरेखण

सबूत:त्रिभुज ABC = त्रिभुज ACB पहले आधार पर (दो बराबर भुजाओं पर और उनके बीच का कोण)। त्रिभुजों की समानता का तात्पर्य सभी संगत तत्वों की समानता से है। इसलिए, = ∠С, आवश्यकतानुसार।

प्रमेय 2:एक समद्विबाहु त्रिभुज में द्विभाजकआधार पर ले जाया गया है मंझलातथा कद.

दिया गया:एबी = एसी, ∠1 = ∠2।

साबित करें:बीडी = डीसी, एडी बीसी के लंबवत।

चावल। 4. प्रमेय 2 . की ओर आकर्षित

सबूत:त्रिभुज ADB = त्रिभुज ADC पहली विशेषता से (AD - उभयनिष्ठ, AB = AC शर्त के अनुसार, BAD = DAC)। त्रिभुजों की समानता का तात्पर्य सभी संगत तत्वों की समानता से है। BD = DC क्योंकि वे सम्मुख समान कोण हैं। इसका मतलब है कि AD माध्यिका है। साथ ही 3 = ∠4, क्योंकि वे समान भुजाओं के विपरीत हैं। लेकिन, इसके अलावा, वे जोड़ते हैं। इसलिए, 3 = ∠4 =। अतः, आवश्यकतानुसार त्रिभुज की ऊँचाई AD है।

केवल मामले में ए = बी =। इस स्थिति में सीधी रेखाएँ AC और BD लम्ब कहलाती हैं।

चूँकि समद्विभाजक, ऊँचाई और माध्यिका एक ही खण्ड हैं, इसलिए निम्नलिखित कथन भी सत्य हैं:

एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई, जो आधार की ओर खींची जाती है, माध्यिका और समद्विभाजक होती है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज की माध्यिका, जो आधार की ओर खींची जाती है, ऊँचाई और समद्विभाजक होती है।

उदाहरण 1:एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार भुजा का आधा है और परिमाप 50 सेमी है। त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

दिया गया:एबी = एसी, बीसी = एसी। पी = 50 सेमी।

पाना:बीसी, एसी, एबी।

समाधान:

चावल। 5. उदाहरण के लिए आरेखण 1

आइए आधार BC को a के रूप में नामित करें, फिर AB = AC = 2a।

2ए + 2ए + ए = 50।

5ए = 50, ए = 10.

उत्तर:बीसी = 10 सेमी, एसी = एबी = 20 सेमी।

उदाहरण 2:सिद्ध कीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर होते हैं।

दिया गया:एबी = बीसी = सीए।

साबित करें:= = .

सबूत:

चावल। 6. उदाहरण के लिए ड्राइंग

B = C, क्योंकि AB = AC, और ∠A = B, क्योंकि AC = BC है।

इसलिए, A = ∠B = ∠C, आवश्यकतानुसार।

उत्तर:सिद्ध किया हुआ।

आज के पाठ में, हमने एक समद्विबाहु त्रिभुज की जांच की, इसके मूल गुणों का अध्ययन किया। अगले पाठ में, हम एक समद्विबाहु त्रिभुज के विषय पर समस्याओं को हल करेंगे, एक समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफलों की गणना करने के लिए।

1. अलेक्जेंड्रोव ए.डी., वर्नर ए.एल., रियाज़िक वी.आई. और अन्य। ज्यामिति 7. - एम।: शिक्षा।
2. अतानासियन एल.एस., बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी. एट अल। ज्यामिति 7. 5 वां संस्करण। - एम।: शिक्षा।
3. बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., प्रसोलोवा वी.वी. ज्यामिति 7 / वी.एफ. बुटुज़ोव, एस.बी. कदोमत्सेव, वी.वी. प्रसोलोवा, एड। सदोवनिची वी.ए. - एम।: शिक्षा, 2010।

1. "शिक्षाविद" () पर शब्दकोश और विश्वकोश।
2. शैक्षणिक विचारों का त्योहार "ओपन लेसन" ()।
3. aknauchit.ru ()।

1. नंबर 29। बुटुज़ोव वीएफ, कदोमत्सेव एस.बी., प्रसोलोवा वी.वी. ज्यामिति 7 / वी.एफ. बुटुज़ोव, एस.बी. कदोमत्सेव, वी.वी. प्रसोलोवा, एड। सदोवनिची वी.ए. - एम।: शिक्षा, 2010।

2. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 35 सेमी है, और आधार पार्श्व भुजा से तीन गुना कम है। त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

3. दिया गया है: AB = BC। सिद्ध कीजिए कि 1 = 2।

4. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 20 सेमी है, इसकी एक भुजा दूसरी भुजा से दोगुनी है। त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए। समस्या के कितने समाधान हैं?