Trigonomeetriliste funktsioonide joonistamine 11. klassis
MAOU "Gümnaasium nr 37" esimese kvalifikatsioonikategooria matemaatikaõpetaja, Kaasan
Spiridonova L.V.
- Numbriargumendi trigonomeetrilised funktsioonid
- y = sin (x) + m ja y = cos (x) + m
- Vormi joonistamisfunktsioonid y = sin (x + t) ja y = cos (x + t)
- Vormi joonistamisfunktsioonid y = A · patt (x) ja y = A · cos (x)
- Näited
Trigonomeetrilised funktsioonid numbriline argument.
y = sin (x)
y = cos (x)
Funktsiooni joonistamine y = sin x .
Funktsiooni joonistamine y = sin x .
Funktsiooni joonistamine y = sin x .
Funktsiooni joonistamine y = sin x .
Funktsiooni y = omadused patt ( x ) .
kõik reaalarvud ( R )
2. Muudatuste vahemik (Väärtuste vahemik) , E (y) = [ - 1; 1 ] .
3. Funktsioon y = patt ( x) veider, sest patt (- x ) = - sin x
- π .
sin (x + 2 π ) = patt (x).
5. Pidev funktsioon
Väheneb: [ π /2; 3 π /2 ] .
6. Suureneb: [ - π /2; π /2 ] .
+
+
+
-
-
-
Funktsiooni joonistamine y = cos x .
Funktsioonigraafik y = cos x saadud ülekande teel
funktsiooni y = graafik sin x sisse jäetud π /2.
Funktsiooni y = co omadused s ( x ) .
1. Funktsiooni domeeniks on hulk
kõik reaalarvud ( R )
2. Muutuste vahemik (Range of Values), E (y) = [ - 1; 1 ] .
3. Funktsioon y = cos (X) isegi, sest cos (- X ) = cos (X)
- Funktsioon on perioodiline, põhiperioodiga 2 π .
cos ( X + 2 π ) = cos (X) .
5. Pidev funktsioon
Väheneb: [ 0 ; π ] .
6. Suureneb: [ π ; 2 π ] .
+
+
+
+
-
-
-
Hoone
diagrammid vormi funktsioonid
y = patt ( x ) + m
ja
y = cos (X) + m.
0 või alla, kui m. "Width = 640" Graafiku paralleelne ülekanne piki Oy telge
Funktsioonide graafik y = f (x) + m saadakse funktsioonigraafiku paralleelsel ülekandmisel y = f (x) , üleval m ühikut kui m 0 ,
või alla, kui m .
0 a m 1 x "laius = 640" Teisendus: y = patt ( x ) + m
Shift y = patt ( x ) piki telge y üles kui m 0
m
0 a m 1 x "laius = 640" Teisendus: y = cos ( x ) + m
Shift y = cos ( x ) piki telge y üles , kui m 0
m
Teisendus: y = patt ( x ) + m
Shift y = patt ( x ) piki telge y alla, kui m 0
m
Teisendus: y = cos ( x ) + m
Shift y = cos ( x ) piki telge y alla, kui m 0
m
Hoone
diagrammid vormi funktsioonid
y = patt ( x + t )
ja
y = cos ( X + t )
0 ja paremale, kui t on 0. "width = 640" Graafiku paralleelne ülekanne piki Ox-telge
Funktsioonide graafik y = f (x + t) saadakse funktsioonigraafiku paralleelsel ülekandmisel y = f (x) piki telge X peal |t | skaala ühikud vasakule, kui t 0
ja paremale , kui t 0.
0 a 1 x t "laius = 640" Teisendus: y = sin (x + t)
vahetus y = f (x) piki telge X vasakule, kui t 0
t
0 a 1 x t "laius = 640" Teisendus: y = cos (x + t)
vahetus y = f (x) piki telge X vasakule, kui t 0
t
Teisendus: y = sin (x + t)
vahetus y = f (x) piki telge X paremale, kui t 0
t
Teisendus: y = cos (x + t)
vahetus y = f (x) piki telge X paremale, kui t 0
t
0
1 ja 0 a 1 "laius = 640" Vormi joonistamisfunktsioonid y = A · patt ( x ) ja y = A · cos ( x ) , aadressil a 1 ja 0 a 1
1 ja kahaneb Ox teljeni koefitsiendiga 0 A. "width = 640" Kompressioon ja venitamine piki härja telge
Funktsioonide graafik y = A · f (x ) saame funktsiooni graafikut venitades y = f (x) teguriga A piki Ox telge, kui A 1 ja kokkusurumine Ox-teljele koefitsiendiga 0 A .
1 olgu a = 1,5 y 1 x -1 "laius = 640" Teisendus: y = patt ( x ), a 1
olgu a = 1,5
1 olgu a = 1,5 y 1 x "laius = 640" Teisendus: y = a · cos ( x ), a 1
olgu a = 1,5
Teisendus: y = patt ( x ) , 0
olgu a = 0,5
Teisendus: y = a cos ( x ), 0
olgu a = 0,5
patt (
y
x
y = sin (x) → y = sin (x- π )
x
patt (
y
y
patt (
x
y
x
- 1
y = cos (x) → y = cos (2x) → y = - cos (2x) → y = - cos (2x) +3
x
x
x
y
y
patt
y
patt
patt
patt
y
x
y
x
- 1
y = sin (x) → y = sin (x / 3) → y = sin (x / 3) -2
y
x
- 1
y = sin (x) → y = 2sin (x) → y = 2sin (x) -1
y
y
y
cos
y
cos x + 2
x
cos x + 2
cos x
y
x
- 1
y = cos (x) → y = 1/2 cos (x) → y = -1 / 2 cos (x) → y = -1 / 2 cos (x) +2
y
x
- 1
y = cos (x) → y = cos (2x) → y = - cos (2x) →
Algebra tunni kokkuvõte ja analüüsi algus 10. klassis
teemal: "Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine"
Tunni eesmärk: süstematiseerida teadmisi teemal "Trigonomeetriliste funktsioonide omadused ja graafikud y = sin (x), y = cos (x)".
Tunni eesmärgid:
- kordame trigonomeetriliste funktsioonide omadusi y = sin (x), y = cos (x);
- korrake valamise valemeid;
- trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine;
- arendada tähelepanu, mälu, loogilist mõtlemist; intensiivistada vaimset tegevust, analüüsi-, üldistus- ja arutlusvõimet;
- töökuse haridus, püüdlikkus eesmärkide saavutamisel, huvi aine vastu.
Tunni varustus: ikt
Tunni tüüp: uue õppimine
Tundide ajal
Enne tundi koostavad 2 õpilast oma kodutöödest tahvlile graafikuid.
Korraldamise aeg:
Tere kutid!
Tänases tunnis teisendame trigonomeetriliste funktsioonide graafikud y = sin (x), y = cos (x).
Suuline töö:
Kodutööde kontroll.
mõistatuste lahendamine.
Uue materjali õppimine
Kõik funktsioonide graafikute teisendused on universaalsed – sobivad kõikide funktsioonide, ka trigonomeetriliste funktsioonide jaoks. Siinkohal piirdume graafikute peamiste teisenduste lühikese meeldetuletusega.
Funktsioonigraafikute teisendamine.
Antakse funktsioon y = f (x). Hakkame selle funktsiooni graafikust koostama kõiki graafikuid, seejärel teostame sellega toiminguid.
Funktsioon
Mida teha graafikuga
y = f (x) + a
Kõik esimese diagrammi punktid on tõstetud ühiku võrra ülespoole.
y = f (x) - a
Alandame kõiki esimese graafiku punkte ühiku võrra allapoole.
y = f (x + a)
Kõik esimese graafiku punktid on nihutatud ühiku võrra vasakule.
y = f (x - a)
Kõik esimese graafiku punktid on nihutatud ühiku võrra paremale.
y = a * f (x), a> 1
Kinnitame nullid paika, nihutame ülemised punktid kordade võrra kõrgemale ja alumised langetame kordade võrra madalamale.
Graafik "venib" üles-alla, nullid jäävad paika.
y = a * f (x), a<1
Parandame nullid, ülemised punktid lähevad korda alla, alumised tõusevad korda. Graafik "tõmbub kokku" abstsissteljeni.
y = -f (x)
Peegeldage esimest graafikut abstsisstelje ümber.
y = f (ax), a<1
Ankurdage punkt ordinaatteljel. Suurendage abstsissil iga segmenti teguri võrra. Graafik ulatub ordinaatteljelt erinevates suundades.
y = f (ax), a> 1
Kinnitage punkt ordinaatteljel, vähendage abstsisstellje iga segmenti kordades. Graafik "kahaneb" mõlemalt poolt ordinaatteljele.
y = | f (x) |
Abstsisstelje all olevad graafiku osad peaksid olema peegeldatud. Kogu graafik asub ülemisel pooltasandil.
Lahendusskeemid.
1)y = sin x + 2.
Koostame graafiku y = sin x. Tõstame graafiku iga punkti 2 ühiku võrra ülespoole (ka nullid).
2)y = cos x - 3.
Koostame graafiku y = cos x. Liigume graafiku iga punkti 3 ühiku võrra allapoole.
3)y = cos (x - / 2)
Koostame graafiku y = cos x. Kõik punktid on nihutatud n / 2 paremale.
4) y = 2 sin x.
Koostame graafiku y = sin x. Jätame nullid paika, tõstame ülemisi punkte 2 korda, alumisi langetame sama palju.
PRAKTILINE TÖÖ Trigonomeetriliste funktsioonide joonistamine Advanced Grapher programmi abil.
Koostame funktsiooni y = -cos 3x + 2 graafiku.
- Koostame funktsiooni y = cos x graafiku.
- Peegeldame seda abstsisstelje suhtes.
- Seda graafikut tuleb piki abstsisstelge kolm korda kokku suruda.
- Lõpuks tuleks sellist graafikut tõsta piki ordinaattelge kolme ühiku võrra ülespoole.
y = 0,5 sin x.
y = 0,2 cos x-2
y = 5cos 0 , 5x
y = -3sin (x + π).
2) Leidke viga ja parandage see.
V. Ajalooline materjal. Postitus Eulerist.
Leonard Euler on 18. sajandi suurim matemaatik. Sündis Šveitsis. Aastaid elas ja töötas Venemaal, Peterburi Akadeemia liige.
Miks peaksime teadma ja meeles pidama selle teadlase nime?
18. sajandi alguseks oli trigonomeetria veel ebapiisavalt arenenud: puudusid kokkuleppelised sümbolid, valemid kirjutati sõnadega, neid oli raske assimileerida, ebaselge oli ka trigonomeetriliste funktsioonide märkide küsimus ringi erinevates veerandites. , mõisteti trigonomeetrilise funktsiooni argumenti ainult nurkade või kaarena. Alles Euleri kirjutistes sai trigonomeetria oma kaasaegse kuju. Just tema hakkas arvestama arvu trigonomeetrilise funktsiooniga, s.o. argumenti hakati mõistma mitte ainult kaare või kraadina, vaid ka arvudena. Euler tuletas kõik trigonomeetrilised valemid mitmest põhivalemist ja lihtsustas trigonomeetrilise funktsiooni märkide küsimust ringi erinevates veerandkondades. Trigonomeetriliste funktsioonide tähistamiseks võttis ta kasutusele sümbolid: sin x, cos x, tg x, ctg x.
18. sajandi künnisel ilmnes trigonomeetria arengus uus suund - analüütiline. Kui enne seda peeti trigonomeetria peamiseks eesmärgiks kolmnurkade lahendamist, siis Euler pidas trigonomeetriat trigonomeetriliste funktsioonide teaduseks. Esimene osa: funktsioonidoktriin on osa üldisest funktsiooniõpetusest, mida uuritakse matemaatilises analüüsis. Teine osa: kolmnurkade lahendamine - geomeetria peatükk. Sellised uuendused tegi Euler.
Vi. Kordamine
Iseseisev töö "Lisa valem".
Vii. Tunni kokkuvõte:
1) Mida uut sa tänases tunnis õppisid?
2) Mida sa veel teada tahad?
3) Hindamine.
ALGEBRA
Tunnid 10 klassile
Teema.Trigonomeetriliste funktsioonide joonistamine
Tunni eesmärk: funktsioonide y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x joonistamine.
Funktsioonide graafikute koostamise võime kujunemine: y = Asin (kx + b), y = Acos (kx + b), y = Atg (kx + b), y = Actg (kx + b).
I. Kodutööde kontrollimine
1. Üks õpilane reprodutseerib ülesande number 24 (1-3) lahenduse.
2. Frontaalne vestlus:
1) Nimetage perioodiliselt korduvaid nähtusi looduses.
2) Andke perioodilise funktsiooni definitsioon.
3) Kui funktsiooni y = f (x) periood on arvust T, siis selle funktsiooni perioodiks on arv 2T, 3T ...? Põhjenda vastust.
4) Leidke funktsioonide väikseim positiivne periood:
a) y = cos; b) y = sin; c) y = tg; d) y =.
5) perioodiline funktsioon y = C? Kui jah, märkige palun selle funktsiooni periood.
II. Funktsiooni y = sin x joonistamine
Funktsiooni y = sin x joonistamiseks kasutame ühikringi. Ehitame ühikringi raadiusega 1 cm (2 lahtrit). Paremal ehitame koordinaatide süsteemi, nagu joonisel fig. 57.
Joonistage punktid OX-teljele; π; ; 2 π (vastavalt 3 rakku, 6 rakku 9 rakku, 12 rakku). Jagame ühikringi esimese veerandi kolmeks võrdseks osaks ja sama arvu osadeks abstsisstelje lõigu. Liigutage siinuse väärtus vastavatesse punktidesse OX-teljel. Punktid, mis tuleb ühendada, saame sujuva joonega. Seejärel jagame ühikringi teise, kolmanda ja neljanda veerandi samuti kolmeks võrdseks osaks ning kanname siinuse väärtuse vastavasse punkti OX-teljel. Ühendades järjestikku kõik saadud punktid, saame intervalli funktsiooni y = sin x graafiku.
Kuna funktsioon y = sin x on perioodiline perioodiga 2 π, siis funktsiooni y = sin x joonistamiseks kogu sirgele OX piisab graafiku paralleelsest liigutamisest piki OX telge 2 π, 4 π võrra, 6 π ... ühikut vasakule ja paremale (joon. 58).
Kõverat, mis on funktsiooni y = sin x graafik, nimetatakse sinusoidiks.
Harjutus ______________________________
1. Koostage funktsioonide graafikud.
a) y = patt; b) y = sin 2x; c) y = 2 sin x; d) y = sin (-x).
Vastused: a) joon. 59; b) Joon. 60; c) Joon. 61; d) Joon. 62.
III. Funktsiooni y = cos x joonistamine
Nagu teate, on cos x = sin, seega y = cos x ja y = sin on samad funktsioonid. Funktsiooni y = sin graafiku joonistamiseks kasutame graafikute geomeetrilisi teisendusi: kõigepealt koostame (joonis 63) funktsiooni y = sin x graafiku, seejärel y = sin (-x) ja lõpus y = patt.
Harjutus ____________________________________
1. Joonistage funktsioonide graafikud:
a) y = cos; b) y = cos; c) y = cos x; d) y = | cos x |.
Vastus: a) joon. 64; b) Joon. 65; c) Joon. 66; d) Joon. 67.
IV. Funktsiooni y = tg x joonistamine
Funktsiooni y = tg x graafik koostatakse intervalli puutujajoone abil, mille pikkus võrdub selle funktsiooni perioodiga π. Koostage 2 cm raadiusega ühikring (4 lahtrit) ja tõmmake puutujate joon. Paremal ehitame koordinaatide süsteemi, nagu joonisel fig. 68.
Joonistage punktid OX-teljele; (6 rakku). Jagage ringi esimene ja neljas veerand 3 võrdseks osaks ja sama arvu osadeks iga segment ja. Leidke arvude puutujate väärtused; ; 0; ; kasutades puutujate rida (punktide ordinaate;;;; puutujajooni). Kanname puutujate väärtused üle OX-telje vastavatesse punktidesse. Ühendades järjestikku kõik saadud punktid, saame intervalli funktsiooni y = tg x graafiku.
Kuna funktsioon y = tg x on perioodiline perioodiga π, siis funktsiooni y = tg x graafiku joonistamiseks kogu sirgele OX piisab graafiku paralleelsest liigutamisest piki OX telge π, 2 π võrra, 3 π, 4 π ... ühikut vasakule ja paremale (joon. 69).
Funktsiooni y = tg x graafikut nimetatakse tangentsiaalseks.
Harjutus
1. Joonistage funktsioonid
a) y = tg 2x; b) y = t gx; c) y = tan x + 2; d) y = tg (-x).
Vastused: a) joon. 70; b) Joon. 71; c) Joon. 72; d) Joon. 73.
V. Funktsiooni y = ctg x joonistamine
Funktsiooni y = ctg x graafikut on lihtne saada, kasutades valemit ctg x = tg ja kahte geomeetrilist teisendust (joonis 74) sümmeetriat ΟΥ-telje suhtes, paralleelülekannet mööda OX-telge by.
IV. Kodutöö
I jagu § 6. Küsimused ja ülesanded I jao kordamiseks nr 50-51. Harjutused number 28 (a-d).
V. Tunni kokkuvõte
Esitluste eelvaate kasutamiseks looge endale Google'i konto (konto) ja logige sisse: https://accounts.google.com
Slaidi pealdised:
Trigonomeetriliste funktsioonide graafikud Funktsioon y = sin x, selle omadused Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine paralleelülekande teel Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine tihendamise ja laiendamise teel Uudishimulikele ...
trigonomeetrilised funktsioonid Funktsiooni y = sin x graafik on sinusoid Funktsiooni omadused: D (y) = R Perioodiline (T = 2 ) Paaritu (sin (-x) = - sin x) Funktsiooni nullid: y = 0, sin x = 0 at x = n, n Z y = sin x
trigonomeetrilised funktsioonid Funktsiooni y = sin x 5 omadused. Konstantse märgi intervallid: Y> 0 x (0 + 2 n; +2 n), n Z Y korral
trigonomeetrilised funktsioonid Funktsiooni y = sin x omadused 6. Monotoonsuse intervallid: funktsioon suureneb intervallidel kujul: - / 2 +2 n; / 2 + 2 n n Z y = sin x
trigonomeetrilised funktsioonid Funktsiooni y = sin x omadused Monotoonsuse intervallid: funktsioon kahaneb intervallidel kujul: / 2 +2 n; 3 / 2 + 2 n n Z y = sin x
trigonomeetrilised funktsioonid Funktsiooni y = sin x 7 omadused. Ekstreempunktid: X max = / 2 +2 n, n Z X m in = - / 2 +2 n, n Z y = sin x
trigonomeetrilised funktsioonid Funktsiooni y = sin x 8 omadused. Väärtuste vahemik: E (y) = -1; 1 y = sin x
trigonomeetrilised funktsioonid Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendus Funktsiooni y = f (x + b) graafik saadakse funktsiooni y = f (x) graafikust paralleeltõlke teel (-b) ühikutega piki abstsisstellge Graafik funktsiooni y = f (x) + a saadakse graafiku funktsioonist y = f (x) paralleeltransleerimise teel (a) ühikutega piki ordinaattelge
trigonomeetrilised funktsioonid Teisenda trigonomeetriliste funktsioonide graafikud Graafiku koostamine Funktsioonid y = sin (x + / 4) jäta reeglid meelde
trigonomeetrilised funktsioonid Teisendage trigonomeetriliste funktsioonide graafikud y = sin (x + / 4) Joonistage funktsioon: y = sin (x - / 6)
trigonomeetrilised funktsioonid Teisendage trigonomeetriliste funktsioonide graafikud y = sin x + Joonistage funktsioon: y = sin (x - / 6)
trigonomeetrilised funktsioonid Teisenda trigonomeetriliste funktsioonide graafikud y = sin x + Joonistage funktsioon: y = sin (x + / 2) jäta reeglid meelde
trigonomeetrilised funktsioonid Funktsiooni y = cos x graafik on koosinus Loetlege funktsiooni y = cos x omadused sin (x + / 2) = cos x
trigonomeetrilised funktsioonid Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine tihendamise ja laiendamise teel Funktsiooni y = kf (x) graafik saadakse funktsiooni y = f (x) graafikust, venitades seda k korda (k> 1 korral) piki ordinaat Funktsiooni y = kf (x ) graafik saadakse funktsiooni y = f (x) graafikult, tihendades seda koefitsiendiga k (0 juures
Trigonomeetrilised funktsioonid Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute kahandamine ja venitamine y = sin2x y = sin4x Y = sin0,5x pidage meeles reegleid
trigonomeetrilised funktsioonid Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine tihendamise ja laiendamise teel Funktsiooni y = f (kx) graafik saadakse funktsiooni y = f (x) graafikust, tihendades seda k korda (k> 1 korral) piki funktsiooni y = f (kx) graafikut. abstsisstelg Funktsiooni y = f (kx ) graafik saadakse funktsiooni y = f (x) graafikult, venitades seda k korda (0 juures
trigonomeetrilised funktsioonid Teisendage trigonomeetriliste funktsioonide graafikud tihendamise ja venitamise teel y = cos2x y = cos 0,5x pidage meeles reegleid
trigonomeetrilised funktsioonid Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine tihendamise ja laiendamise teel Funktsioonide y = -f (kx) ja y = - kf (x) graafikud saadakse funktsioonide y = f (kx) ja y = kf (x) graafikutest, vastavalt, peegeldades neid abstsisstelje suhtes, on siinus paaritu funktsioon, seetõttu on sin (-kx) = - sin (kx) koosinus paarisfunktsioon, seega cos (-kx) = cos (kx)
trigonomeetrilised funktsioonid Teisendage trigonomeetriliste funktsioonide graafikud tihendamise ja venitamise teel y = - sin3x y = sin3x pidage meeles reegleid
trigonomeetrilised funktsioonid Teisendage trigonomeetriliste funktsioonide graafikud tihendamise ja venitamise teel y = 2cosx y = -2cosx pidage meeles reegleid
trigonomeetrilised funktsioonid Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine tihendamise ja laiendamise teel Funktsiooni y = f (kx + b) graafik saadakse funktsiooni y = f (x) graafikust, kandes seda paralleelselt (-v / k) ) ühikut piki abstsisstellge ja kokkusurudes k korda (kui k> 1) või venitades koefitsiendiga k (0 korral
Trigonomeetrilised funktsioonid Trigonomeetriliste funktsioonide kokkutõmbamise ja venitamise graafikud Y = cos (2x + / 3) y = cos (x + / 6) y = cos (2x + / 3) y = cos (2 (x + / 6) )) y = cos (2x + / 3) y = cos (2 (x + / 6)) Y = cos (2x + / 3) y = cos2x pidage meeles reegleid
trigonomeetrilised funktsioonid Uudishimulikele ... Vaadake, kuidas näevad välja mõnede teiste käivitajate graafikud. funktsioonid: y = 1 / cos x või y = sec x (lugege sekundit) y = cosec x või y = 1 / sin x loe cosec
Teemal: metoodilised arendused, ettekanded ja märkmed
CRC "Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine" 10-11 klassid
Õppekava osa: „Trigonomeetrilised funktsioonid.“ Tunni tüüp: kombineeritud algebratunni digitaalne õppematerjal. Materjali esitluse vormis: Kombineeritud (universaalne) CRC koos ...
Matemaatika tunni metoodiline arendus: "Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine"
Matemaatika tunni metoodiline arendus: "Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine" kümnenda klassi õpilastele. Tunniga kaasneb esitlus ....