स्कूल में, गणित के पाठ में, छात्र हर साल नए विषयों का विश्लेषण करते हैं। ग्रेड 6 आमतौर पर संख्या के मॉड्यूल का अध्ययन करता है - यह गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, जिसके साथ काम बीजगणित और उच्च गणित में आगे पाया जाता है। अन्य विषयों को सफलतापूर्वक पास करने के लिए शब्द की व्याख्या को सही ढंग से समझना और इस विषय को समझना बहुत महत्वपूर्ण है।

शुरू करने के लिए, यह समझा जाना चाहिए कि निरपेक्ष मूल्य आंकड़ों में एक पैरामीटर है (मापा मात्रात्मक रूप से) जो इसकी मात्रा के संदर्भ में अध्ययन के तहत घटना की विशेषता है। इस मामले में, घटना को एक निश्चित समय सीमा के भीतर और एक निश्चित स्थान के साथ किया जाना चाहिए। मूल्यों के बीच अंतर:

• कुल - इकाइयों के समूह या पूरी आबादी के लिए उपयुक्त;
• व्यक्ति - केवल एक निश्चित सेट की एक इकाई के साथ काम करने के लिए उपयुक्त।

सांख्यिकीय माप में अवधारणाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जिसके परिणाम संकेतक होते हैं जो एक निश्चित घटना की प्रत्येक इकाई के पूर्ण आयामों की विशेषता रखते हैं। उन्हें दो संकेतकों में मापा जाता है: प्राकृतिक, यानी। भौतिक इकाइयाँ (टुकड़े, लोग) और सशर्त रूप से प्राकृतिक। गणित में एक मॉड्यूल इन संकेतकों का प्रदर्शन है।

किसी संख्या का मापांक क्या होता है?

जरूरी!"मॉड्यूल" की यह परिभाषा लैटिन से "माप" के रूप में अनुवादित है और इसका अर्थ है किसी भी प्राकृतिक संख्या का पूर्ण मूल्य।

लेकिन इस अवधारणा की एक ज्यामितीय व्याख्या भी है, क्योंकि ज्यामिति में एक मॉड्यूल समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति से बिंदु X तक की दूरी के बराबर है, जिसे माप की सामान्य इकाइयों में मापा जाता है।

किसी संख्या के लिए इस सूचक को निर्धारित करने के लिए, आपको इसके चिह्न (माइनस, प्लस) को ध्यान में नहीं रखना चाहिए, लेकिन आपको याद रखना चाहिए कि यह कभी भी नकारात्मक नहीं हो सकता। कागज पर यह मान वर्गाकार कोष्ठकों के रूप में ग्राफिक रूप से हाइलाइट किया जाता है - | a |। इसके अलावा, गणितीय परिभाषा इस प्रकार है:

| एक्स | = x यदि x बड़ा है या शून्य हैऔर -x यदि शून्य से कम है।

अंग्रेजी वैज्ञानिक आर. कोट्स वह व्यक्ति थे जिन्होंने इस अवधारणा को सबसे पहले गणितीय गणनाओं में लागू किया था। लेकिन जर्मनी के गणितज्ञ के. वीयरस्ट्रैस ने एक ग्राफिक प्रतीक का आविष्कार किया और उसे पेश किया।

ज्यामिति मॉड्यूल में एक समन्वय रेखा के उदाहरण से विचार किया जा सकता है, जिस पर 2 मनमाना बिंदु प्लॉट किए जाते हैं। मान लीजिए एक - ए का मान 5 है, और दूसरा - बी - 6. ड्राइंग के विस्तृत अध्ययन पर, यह स्पष्ट हो जाएगा कि ए से बी की दूरी शून्य से 5 इकाई है, अर्थात। मूल बिंदु, और बिंदु B, मूल बिंदु से 6 इकाई है। यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि मॉड्यूल अंक, ए = 5, और अंक बी = 6। ग्राफिक रूप से, इसे निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है: | 5 | = 5. अर्थात् एक बिंदु से मूल बिंदु तक की दूरी इस बिंदु का मापांक है।

सहायक वीडियो: वास्तविक संख्या मॉड्यूल क्या है?

गुण

किसी भी गणितीय अवधारणा की तरह, मॉड्यूल के अपने गणितीय गुण होते हैं:

1. यह हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए धनात्मक मान का मापांक स्वयं होगा, उदाहरण के लिए, 6 और -6 का मापांक 6 है। गणितीय रूप से, इस गुण को इस प्रकार लिखा जा सकता है | = ए, ए> 0 के लिए;
2. विपरीत संख्याओं के संकेतक एक दूसरे के बराबर होते हैं। एक ज्यामितीय प्रस्तुति में यह गुण स्पष्ट है, क्योंकि एक सीधी रेखा पर ये संख्याएँ अलग-अलग स्थानों पर स्थित होती हैं, लेकिन साथ ही वे समान संख्या में इकाइयों द्वारा मूल से अलग हो जाती हैं। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है: | a | = | -ए |;
3. शून्य का मापांक शून्य है, बशर्ते कि वास्तविक संख्या शून्य हो। यह गुण इस तथ्य से समर्थित है कि शून्य मूल है। आलेखीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है: | 0 | = 0;
4. यदि आपको दो गुणा करने वाले अंकों का मापांक ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो आपको यह समझना चाहिए कि यह परिणामी गुणनफल के बराबर होगा। दूसरे शब्दों में, राशियों A और B का गुणनफल = AB, बशर्ते कि वे धनात्मक या ऋणात्मक हों, और फिर गुणनफल -AB के बराबर हो। आलेखीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है | A * B | = | ए | * | बी |।

मॉड्यूल के साथ समीकरणों का सफल समाधान इन गुणों के ज्ञान पर निर्भर करता है, जो किसी को भी इस सूचक के साथ सही ढंग से गणना करने और काम करने में मदद करेगा।

मॉड्यूल गुण

जरूरी! घातांक ऋणात्मक नहीं हो सकता, क्योंकि यह दूरी को परिभाषित करता है, जो सदैव धनात्मक होती है।

समीकरणों में

काम करने और गणितीय असमानताओं को हल करने के मामले में जिसमें मॉड्यूल मौजूद है, आपको हमेशा याद रखना चाहिए कि अंतिम सही परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको कोष्ठक खोलना चाहिए, अर्थात। मॉड्यूल साइन खोलें। यह अक्सर समीकरण का बिंदु होता है।

यह याद रखने योग्य है कि:

• यदि कोई व्यंजक वर्ग कोष्ठक में लिखा गया है, तो उसे हल करना होगा: | A + 5 | = ए + 5, जब ए शून्य से बड़ा या बराबर है और 5-ए, मामले में ए शून्य से कम है;
• वर्ग कोष्ठकों को अक्सर चर के मूल्य की परवाह किए बिना विस्तार करने की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, यदि वर्ग में अभिव्यक्ति कोष्ठक में संलग्न है, क्योंकि विस्तार वैसे भी एक सकारात्मक संख्या होगी।

एक समन्वय प्रणाली में मूल्यों को दर्ज करके मॉड्यूल के साथ समीकरणों को हल करना बहुत आसान है, तब से मूल्यों और उनके संकेतकों को नेत्रहीन रूप से देखना आसान है।

उपयोगी वीडियो: वास्तविक संख्या का मॉड्यूल और उसके गुण

निष्कर्ष

ऐसी गणितीय अवधारणा को मॉड्यूल के रूप में समझने का सिद्धांत अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसका उपयोग उच्च गणित और अन्य विज्ञानों में किया जाता है, इसलिए आपको इसके साथ काम करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

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एक वास्तविक संख्या के 3 नंबर सकारात्मक गैर-सकारात्मक नकारात्मक गैर-ऋणात्मक मापांक

4 एक्स अगर एक्स 0, -एक्स अगर एक्स

5 1) | ए | = 5 ए = 5 या ए = - 5 2) | एक्स - 2 | = 5 एक्स - 2 = 5 या एक्स - 2 = - 5 एक्स = 7 3) | 2 एक्स + 3 | = 4 2 x + 3 = या 2 x + 3 = 2 x = x = 4) | x - 4 | = - 2 x =, 5- 3.5 वास्तविक संख्या का मापांक

6 एक्स अगर एक्स 0, -एक्स अगर एक्स

7 पृष्ठ पर पाठ्यपुस्तक के साथ कार्य करना मॉड्यूल के गुणों को तैयार करना 2. मॉड्यूल का ज्यामितीय अर्थ क्या है? 3. फलन y = | x | . के गुणों का वर्णन कीजिए योजना के अनुसार 1) डी (वाई) 2) फ़ंक्शन के शून्य 3) बाउंडनेस 4) yn / b, yn / m 5) एकरसता 6) ई (वाई) 4. फ़ंक्शन के ग्राफ से कैसे प्राप्त करें y = | एक्स | फलन का ग्राफ y = | x + 2 | वाई = | एक्स -3 | ?

8 एक्स अगर एक्स 0, -एक्स अगर एक्स

13 स्वतंत्र काम"2 - 3" 1. फलन y = | x + 1 | . का आलेख बनाइए 2. समीकरण को हल करें: a) | x | = 2 b) | x | = 0 "3 - 4" 1. फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं: 2. समीकरण को हल करें: विकल्प 1 विकल्प 2 y = | x-2 | | x-2 | = 3 y = | x + 3 | | x + 3 | = 2 "4 - 5" 1. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं: 2. समीकरण को हल करें: y = | 2x + 1 | | 2x + 1 | = 5 y = | 4x + 1 | | 4x + 1 | = 3
15 बेहतरीन टिप्स 1) | -3 | 2) संख्या के विपरीत संख्या (-6) 3) व्यंजक के विपरीत व्यंजक) - 4: 2 | 5) विपरीत अभिव्यक्ति) |3 - 2 | 7) | - 3 2 | 8) | 7 - 5 | उत्तर विकल्प: __ _ एज्ज़िकन्त्शेया

सबसे पहले, हम मॉड्यूल के संकेत के तहत अभिव्यक्ति का संकेत निर्धारित करते हैं, और फिर हम मॉड्यूल का विस्तार करते हैं:

• यदि व्यंजक का मान शून्य से अधिक है, तो हम इसे केवल मापांक चिह्न के नीचे से हटा देते हैं,
• यदि व्यंजक शून्य से कम है, तो हम इसे मापांक के चिह्न के नीचे से निकाल लेते हैं, चिह्न बदलते समय, जैसा कि हमने पहले उदाहरणों में किया था।

अच्छा, क्या हम कोशिश करें? आइए अनुमान लगाएं:

(भूल गए, दोहराएं।)

यदि, तो इसका क्या चिन्ह है? बेशक, !

और, इसलिए, हम अभिव्यक्ति के संकेत को बदलते हुए, मॉड्यूल के संकेत का विस्तार करते हैं:

समझा? फिर इसे स्वयं आजमाएँ:

उत्तर:

मॉड्यूल में और क्या गुण हैं?

यदि हमें मापांक चिह्न के अंदर की संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है, तो हम इन संख्याओं के मापांक को आसानी से गुणा कर सकते हैं !!!

गणितीय शब्दों में, संख्याओं के गुणनफल का मापांक इन संख्याओं के मापांक के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए:

क्या होगा यदि हमें मापांक चिह्न के तहत दो संख्याओं (व्यंजकों) को अलग करने की आवश्यकता है?

हाँ, गुणन के समान ही! आइए मापांक चिह्न के तहत दो अलग-अलग संख्याओं (अभिव्यक्तियों) में विभाजित करें:

बशर्ते कि (चूंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते)।

यह मॉड्यूल की एक और संपत्ति को याद रखने योग्य है:

संख्याओं के योग का मापांक हमेशा इन संख्याओं के मापांक के योग से कम या बराबर होता है:

ऐसा क्यों है? सब कुछ बहुत आसान है!

जैसा कि हमें याद है, मॉड्यूल हमेशा सकारात्मक होता है। लेकिन मापांक चिह्न में कोई भी संख्या हो सकती है: सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। मान लीजिए कि संख्याएँ और दोनों धनात्मक हैं। तब लेफ्ट एक्सप्रेशन राइट एक्सप्रेशन के बराबर होगा।

आइए एक उदाहरण लेते हैं:

यदि, मापांक चिह्न के अंतर्गत, एक संख्या ऋणात्मक है और दूसरी धनात्मक है, बायाँ व्यंजक हमेशा दाएँ से छोटा होगा:

ऐसा लगता है कि इस संपत्ति के साथ सब कुछ स्पष्ट है, आइए कुछ और पर विचार करें उपयोगी गुणमापांक।

क्या होगा अगर हमारे पास यह अभिव्यक्ति है:

हम इस अभिव्यक्ति के साथ क्या कर सकते हैं? हम x का मान नहीं जानते हैं, लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि इसका क्या अर्थ है।

संख्या शून्य से अधिक है, जिसका अर्थ है कि आप बस लिख सकते हैं:

तो हम एक और संपत्ति पर आए, जिसे सामान्य रूप से निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

और यह अभिव्यक्ति किसके बराबर है:

इसलिए, हमें मॉड्यूल के तहत साइन को परिभाषित करने की आवश्यकता है। क्या यहां एक संकेत को परिभाषित करना आवश्यक है?

बिल्कुल नहीं, अगर आपको याद है कि वर्ग में कोई भी संख्या हमेशा शून्य से बड़ी होती है! यदि आपको याद नहीं है, तो विषय देखें। और क्या होता है? यहाँ क्या है:

बढ़िया, हुह? काफी सुविधाजनक। और अब ठीक करने के लिए एक ठोस उदाहरण:

अच्छा, संदेह क्यों? हम निडरता से कार्य करते हैं!

क्या आपने यह अंदाजा लगाया? फिर आगे बढ़ें और उदाहरणों के साथ प्रशिक्षण लें!

1. व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए यदि।

2. मॉड्यूल किसके बराबर है?

3. व्यंजकों का अर्थ ज्ञात कीजिए:

यदि अभी तक सब कुछ स्पष्ट नहीं है और समाधान में कठिनाइयाँ हैं, तो आइए इसका पता लगाते हैं:

समाधान 1:

तो, आइए मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें

समाधान 2:

जैसा कि हमें याद है, निरपेक्ष मान में विपरीत संख्याएँ बराबर होती हैं। इसका मतलब है कि मापांक का मान दो संख्याओं के बराबर है: और।

समाधान 3:

ए)
बी)
वी)
जी)

क्या तुमने सब कुछ पकड़ लिया? तो यह और अधिक कठिन पर आगे बढ़ने का समय है!

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाने का प्रयास करें

समाधान:

इसलिए, हमें याद है कि मापांक का मान शून्य से कम नहीं हो सकता। यदि मापांक चिन्ह धनात्मक है, तो हम केवल चिन्ह को त्याग सकते हैं: संख्या का मापांक इस संख्या के बराबर होगा।

लेकिन अगर मॉड्यूल साइन के तहत ऋणात्मक संख्या , तो मापांक का मान विपरीत संख्या के बराबर होता है (अर्थात "-" चिह्न के साथ ली गई संख्या)।

किसी भी व्यंजक का मापांक ज्ञात करने के लिए, आपको सबसे पहले यह पता लगाना होगा कि वह धनात्मक मान लेता है या ऋणात्मक।

यह मॉड्यूल के तहत पहली अभिव्यक्ति के मूल्य का पता लगाता है।

इसलिए, मापांक चिह्न के तहत व्यंजक ऋणात्मक है। मापांक चिह्न के तहत दूसरा व्यंजक हमेशा धनात्मक होता है, क्योंकि हम दो धनात्मक संख्याओं को जोड़ रहे हैं।

तो, मापांक चिह्न के तहत पहली अभिव्यक्ति का मान ऋणात्मक है, दूसरा धनात्मक है:

इसका अर्थ है, प्रथम व्यंजक के मापांक चिह्न का विस्तार करते हुए, हमें इस व्यंजक को "-" चिह्न के साथ लेना चाहिए। ऐशे ही:

दूसरे मामले में, हम केवल मापांक चिह्न को त्याग देते हैं:

आइए पूरी अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

किसी संख्या का मापांक और उसके गुण (कठोर परिभाषाएँ और प्रमाण)

परिभाषा:

किसी संख्या का मापांक (निरपेक्ष मान) वह संख्या है, यदि, और संख्या, यदि:

उदाहरण के लिए:

उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

समाधान:

मॉड्यूल के मूल गुण

सबके लिए:

उदाहरण:

संपत्ति साबित करें # 5।

सबूत:

मान लीजिए कि ऐसे हैं

आइए हम असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों को वर्गाकार करें (यह किया जा सकता है, क्योंकि असमानता के दोनों पक्ष हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं):

और यह एक मॉड्यूल की परिभाषा के विपरीत है।

नतीजतन, ऐसे मौजूद नहीं हैं, और इसलिए, सभी के लिए, असमानता

एक स्वतंत्र समाधान के उदाहरण:

1) संपत्ति साबित करें 6.

2) अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

उत्तर:

1) आइए संपत्ति # 3 का उपयोग करें, और तब से

चीजों को सरल रखने के लिए, आपको मॉड्यूल का विस्तार करने की आवश्यकता है। और मॉड्यूल का विस्तार करने के लिए, आपको यह पता लगाना होगा कि मॉड्यूल के तहत अभिव्यक्ति सकारात्मक या नकारात्मक है या नहीं?

ए। आइए संख्याओं की तुलना करें और:

बी। अब तुलना करते हैं और:

मॉड्यूल के मान जोड़ें:

किसी संख्या का निरपेक्ष मान। संक्षेप में मुख्य बात के बारे में।

किसी संख्या का मापांक (निरपेक्ष मान) वह संख्या है, यदि, और संख्या, यदि:

मॉड्यूल गुण:

1. किसी संख्या का मापांक एक गैर-ऋणात्मक संख्या है:;
2. विपरीत संख्याओं के मॉड्यूल समान हैं:;
3. दो (या अधिक) संख्याओं के गुणनफल का मॉड्यूल उनके मॉड्यूल के गुणनफल के बराबर होता है:;
4. दो संख्याओं के भागफल का मापांक उनके मॉड्यूल के भागफल के बराबर होता है:;
5. संख्याओं के योग का मापांक हमेशा इन संख्याओं के मापांक के योग से कम या बराबर होता है:;
6. मापांक के संकेत के बाहर एक निरंतर सकारात्मक कारक लिया जा सकता है: पर;

आपका लक्ष्य:

एक वास्तविक संख्या के मापांक की परिभाषा को स्पष्ट रूप से जान सकेंगे;

वास्तविक संख्या के मापांक की ज्यामितीय व्याख्या को समझ सकेंगे और समस्याओं को हल करने में इसे लागू करने में सक्षम हो सकेंगे;

मॉड्यूल के गुणों को जानें और समस्याओं को हल करते समय आवेदन करने में सक्षम हों;

समन्वय रेखा के दो बिंदुओं के बीच की दूरी को समझने में सक्षम हो और समस्याओं को हल करते समय इसका उपयोग करने में सक्षम हो।

इनपुट जानकारी

एक वास्तविक संख्या के मापांक की अवधारणा। एक वास्तविक संख्या के मापांक को संख्या ही कहा जाता है, यदि, और विपरीत संख्या वह संख्या होती है यदि< 0.

संख्या का मापांक निरूपित और दर्ज किया गया है:

ज्यामितीय मॉड्यूल व्याख्या . ज्यामितीयएक वास्तविक संख्या का मापांक निर्देशांक रेखा पर दी गई संख्या को मूल बिंदु तक निरूपित करने वाले बिंदु से दूरी है।

मोडुली आधारित समीकरणों और असमानताओं को हल करना ज्यामितीय अर्थमापांक. "समन्वय रेखा के दो बिंदुओं के बीच की दूरी" की अवधारणा का उपयोग करते हुए, कोई भी फॉर्म के समीकरणों या फॉर्म की असमानताओं को हल कर सकता है, जहां किसी संकेत के बजाय किसी भी संकेत का उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण।आइए समीकरण को हल करें।

समाधान।आइए हम समस्या को ज्यामितीय रूप से सुधारें। चूंकि निर्देशांक वाले बिंदुओं के बीच समन्वय रेखा पर दूरी है और इसलिए, ऐसे बिंदुओं के निर्देशांक खोजने की आवश्यकता है, जहां से निर्देशांक 1 वाले बिंदुओं की दूरी 2 है।

संक्षेप में, निर्देशांक रेखा पर, बिंदुओं के निर्देशांकों का समुच्चय ज्ञात कीजिए, जिससे निर्देशांक 1 वाले बिंदु तक की दूरी 2 है।

आइए इस समस्या का समाधान करें। आइए हम निर्देशांक रेखा पर एक ऐसा बिंदु अंकित करें जिसका निर्देशांक 1 है (चित्र 6) इस बिंदु से दो इकाइयाँ ऐसे बिंदु हैं जिनके निर्देशांक -1 और 3 के बराबर हैं। इसका मतलब है कि बिंदुओं के निर्देशांक का वांछित सेट एक सेट है जिसमें नंबर -1 और 3.

उत्तर 1; 3.

निर्देशांक रेखा के दो बिंदुओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें। अंकों के बीच की दूरी को व्यक्त करने वाली संख्या तथा , संख्याओं और . के बीच की दूरी कहलाती है .

किन्हीं दो बिंदुओं और एक निर्देशांक रेखा के लिए, दूरी

.

वास्तविक संख्या मॉड्यूल के मूल गुण:

3. ;

7. ;

8. ;

9. ;

जब हम रखते है:

11. यदि केवल कब या;

12. यदि केवल तभी;

13. तब ही जब या;

14. यदि केवल तभी;

11. यदि केवल तभी।

व्यावहारिक भाग

अभ्यास 1। लेना स्पष्ट पत्रककागज और इन मौखिक अभ्यासों के अपने उत्तर नीचे लिखें।

"आपका सहायक" शीर्षक के तहत सीखने के तत्व के अंत में उत्तरों या संक्षिप्त निर्देशों के विरुद्ध अपने उत्तरों की जाँच करें।

1. मॉड्यूल साइन का विस्तार करें:

क) | -5 |; बी) | 5 |; सी) | 0 |; डी) | पी |।

2. एक दूसरे के साथ संख्याओं की तुलना करें:

क) || तथा -; सी) | 0 | और 0; ई) - | -3 | और -3; छ) -4 | ए| और 0;

बी) | -पी | और पी; घ) | -7.3 | और -7.3; ई) | ए| और 0; ज) 2 | ए| और | 2 ए|.

3. मापांक के साथ कैसे लिखें कि संख्याओं में से कम से कम एक है ए, बीया साथशून्येतर?

4. समान चिह्न के साथ कैसे लिखें कि प्रत्येक संख्या ए, बीतथा साथशून्य के बराबर है?

5. अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

क) | ए| – ए; बी) ए + |ए|.

6. प्रश्न हल करें:

क) | एक्स| = 3; ग) | एक्स| = -2; ई) | 2 एक्स– 5| = 0;

बी) | एक्स| = 0; घ) | एक्स- 3 | = 4; च) | 3 एक्स– 7| = – 9.

7. संख्याओं के बारे में क्या एक्सतथा पर, अगर:

क) | एक्स| = एक्स; बी) | एक्स| = –एक्स; ग) | एक्स| = |पर|?

8. प्रश्न हल करें:

क) | एक्स– 2| = एक्स- 2; ग) | एक्स– 3| =|7 – एक्स|;

बी) | एक्स– 2| = 2 – एक्स; घ) | एक्स– 5| =|एक्स– 6|.

9. संख्या के बारे में क्या परअगर समानता रखती है:

ए) एक्सï = पर; बी) एक्सï = – पर ?

10. असमानता को हल करें:

क) | एक्स| > एक्स; ग) | एक्स| > –एक्स; ई) | एक्स| £ एक्स;

बी) | एक्स| ³ एक्स; घ) | एक्स| ³ – एक्स; ई) | एक्स| £ – एक्स.

11. उन सभी मानों को निर्दिष्ट करें जिनके लिए समानता है:

क) | ए| = ए; बी) | ए| = –ए; वी) ए – |–ए| = 0; घ) | ए|ए= -1; ई) = 1.

12. सभी अर्थ खोजें बी, जिसके लिए असमानता है:

क) | बी| 1; बी) | बी| < 1; в) |बी| £ 0; घ) | बी| 0; ई) 1< |बी| < 2.

आपने अपनी गणित कक्षा में निम्नलिखित में से कुछ गतिविधियों का सामना किया होगा। स्वयं तय करें कि आपको निम्नलिखित में से कौन सा कार्य पूरा करना है। कठिनाई के मामले में, शिक्षक से सलाह के लिए या किसी मित्र की सहायता के लिए शीर्षक "आपका सहायक" देखें।

कार्य 2.वास्तविक संख्या के मापांक की परिभाषा के आधार पर, समीकरण को हल करें:

कार्य 4.वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदुओं के बीच की दूरी α तथा β निर्देशांक रेखा पर | . के बराबर है α – β |. समीकरण को हल करने के लिए इसका प्रयोग करें।

मापांकया निरपेक्ष मूल्यएक वास्तविक संख्या को यह संख्या ही कहा जाता है यदि एक्सगैर-ऋणात्मक है, और विपरीत संख्या, अर्थात्। -एक्स अगर एक्सनकारात्मक:

जाहिर है, लेकिन परिभाषा, | x | > 0. निरपेक्ष मूल्यों के निम्नलिखित गुण ज्ञात हैं:

• 1) हू| = | डीजी | |जी / 1;
• 2> - -एच;

पास होनापर

• 3) | एक्स + आर / |
• 4) | डीटी-जी / |

दो संख्याओं का अंतर मापांक एक्स - ए| बिंदुओं के बीच की दूरी है एक्सतथा एसंख्या रेखा पर (किसी के लिए) एक्सतथा ए)।

इसका तात्पर्य है, विशेष रूप से, असमानता के समाधान एक्स - ए 0) सभी बिंदु हैं एक्समध्यान्तर (ए- डी, ए + सी ई। असमानता को संतुष्ट करने वाली संख्या ए-डी + जी।

ऐसा अंतराल (ए- 8, ए+ d) बिंदु का 8-पड़ोस कहलाता है ए।

कार्यों के मूल गुण

जैसा कि हम पहले ही बता चुके हैं, गणित में सभी राशियों को अचर और चर में बांटा गया है। लगातारवह मात्रा कहलाती है जिसका मान समान रहता है।

चरवह मात्रा कहलाती है जो विभिन्न संख्यात्मक मानों को ग्रहण कर सकती है।

परिभाषा 10.8. चर परबुलाया समारोहएक चर x पर यदि, किसी नियम के अनुसार, प्रत्येक मान x e एक्सएक विशिष्ट मान असाइन किया गया परएफ वाई; स्वतंत्र चर x को आमतौर पर तर्क कहा जाता है, और दायरा एक्सइसके परिवर्तन को फ़ंक्शन का दायरा कहा जाता है।

यह तथ्य कि परएक फ़ंक्शन ओटीएक्स है, जिसे अक्सर प्रतीकात्मक संकेतन द्वारा व्यक्त किया जाता है: पर= / (एक्स)।

कार्यों को परिभाषित करने के कई तरीके हैं। तीन को मुख्य माना जाता है: विश्लेषणात्मक, सारणीबद्ध और चित्रमय।

विश्लेषणात्मकमार्ग। इस पद्धति में एक तर्क (स्वतंत्र चर) और एक सूत्र (या सूत्र) के रूप में एक फ़ंक्शन के बीच संबंध को परिभाषित करना शामिल है। आमतौर पर, f (x) कुछ विश्लेषणात्मक व्यंजक होता है जिसमें x होता है। इस मामले में, फ़ंक्शन को एक सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, पर= 2x + 1, पर= टीजीएक्स आदि।

तालिका काफ़ंक्शन को परिभाषित करने का तरीका यह है कि फ़ंक्शन को एक तालिका द्वारा परिभाषित किया जाता है जिसमें तर्क x के मान और फ़ंक्शन के संबंधित मान /(.r) होते हैं। उदाहरण एक निश्चित अवधि के लिए अपराधों की संख्या की तालिकाएँ, प्रायोगिक माप की तालिकाएँ, लघुगणक तालिकाएँ हैं।

ग्राफिकमार्ग। मान लीजिए कि समतल पर कार्तीय आयताकार निर्देशांक का एक निकाय दिया गया है होयफ़ंक्शन की ज्यामितीय व्याख्या निम्नलिखित पर आधारित है।

परिभाषा 10.9. अनुसूचीफलन को तल के बिन्दुओं का बिन्दुपथ कहा जाता है, निर्देशांक (x, वाई)जो शर्त को पूरा करता है: यू-आह)।

एक फ़ंक्शन को ग्राफिक रूप से परिभाषित कहा जाता है यदि उसका ग्राफ खींचा जाता है। रिकॉर्डर का उपयोग करके प्रयोगात्मक माप में ग्राफिकल विधि का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

आपकी आंखों के सामने कार्यों का एक दृश्य ग्राफ होने के कारण, इसके कई गुणों की कल्पना करना आसान है, जो किसी फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए ग्राफ़ को एक अनिवार्य उपकरण बनाता है। इसलिए, प्लॉटिंग किसी फ़ंक्शन के अध्ययन का सबसे महत्वपूर्ण (आमतौर पर अंतिम) हिस्सा है।

प्रत्येक विधि के फायदे और नुकसान दोनों हैं। तो, ग्राफिक पद्धति के फायदों में इसकी स्पष्टता, नुकसान - इसकी अशुद्धि और सीमित प्रस्तुति शामिल है।

आइए अब हम फलनों के मुख्य गुणों पर विचार करें।

सम और विषम समता।समारोह वाई = एफ (एक्स)बुलाया यहाँ तक की,अगर किसी के लिए एक्सशर्त संतुष्ट है एफ (-एक्स) = एफ (एक्स)।अगर के लिए एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से, शर्त f (- x) = - f (x) संतुष्ट होती है, तब फलन कहलाता है अजीब।वह फलन जो सम या विषम नहीं होता, फलन कहलाता है सामान्य दृष्टि से।

• 1) वाई = एक्स 2एक सम फलन है, क्योंकि एफ (-एक्स) = (-एक्स) 2 = एक्स 2,यानी / (- एक्स) = / (। डी);
• 2) वाई =एक्स 3 - विषम फलन, क्योंकि (-x) 3 = -x 3, अर्थात्। / (- एक्स) = - / (एक्स);
• 3) वाई = x 2 + x एक सामान्य फलन है। यहां / (एक्स) = एक्स 2 + एक्स, / (- एक्स) = (-एक्स) 2 +
• (-एक्स) = एक्स 2 - एक्स, / (- एक्स) * / (एक्स); / (- एक्स) - / "/ (- एक्स)।

एक सम फलन का ग्राफ अक्ष के परितः सममित होता है ओह,और विषम फलन का आलेख मूल के परितः सममित है।

मोनोटोन। समारोह पर= / (एक्स) कहा जाता है की बढ़तीबीच में एक्स,यदि किसी x, x 2 e . के लिए एक्सअसमानता x 2> x से, यह इस प्रकार है कि f (x 2)> f (x,)। समारोह पर= / (एक्स) कहा जाता है घटतेयदि x 2> x से, यह / (x 2) (x,) का अनुसरण करता है।

समारोह कहा जाता है नीरसबीच में एक्स,यदि यह इस पूरे अंतराल में या तो बढ़ता है, या इसमें घटता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन वाई = x 2 (- °°; 0) पर घटता है और (0; + °°) पर बढ़ता है।

ध्यान दें कि हमने एक फ़ंक्शन की परिभाषा दी है जो सख्त अर्थों में एकरस है। सामान्य तौर पर, मोनोटोन फ़ंक्शंस में गैर-घटते फ़ंक्शन शामिल होते हैं, अर्थात। जैसे कि x 2> x से, यह f (x 2)> f (x,), और गैर-वृद्धि वाले फलनों का अनुसरण करता है, अर्थात्। जिसके लिए x 2> x से यह अनुसरण करता है / (x 2)

सीमा। समारोह पर= / (एक्स) कहा जाता है सीमितबीच में एक्स,अगर ऐसी कोई संख्या है एम> 0 ऐसा है कि | / (एक्स) | किसी भी x e . के लिए M एक्स।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पर =-

पूर्ण संख्या रेखा पर बंधा हुआ है, इसलिए

आवधिकता। समारोह पर = च (एक्स)बुलाया सामयिकअगर ऐसी कोई संख्या है टी^ ओह क्या एफ (एक्स + टी = एफ (एक्स)सबके लिए एक्ससमारोह के दायरे से।

इस मामले में टीसमारोह की अवधि कहा जाता है। जाहिर है अगर टी -कार्य अवधि वाई = एफ (एक्स),तो इस फलन के आवर्त भी 2Г, 3 . हैं टीआदि। इसलिए, किसी फ़ंक्शन की अवधि को आमतौर पर सबसे छोटी सकारात्मक अवधि कहा जाता है (यदि यह मौजूद है)। उदाहरण के लिए, फलन f = cos.r का आवर्त है टी = 2पी,और समारोह वाई =टीजी जेडएक्स -अवधि एन / 3.