टेलर श्रृंखला विस्तार. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना, अपघटन की विधियाँ और उदाहरण किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने का क्या अर्थ है

x के लिए टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला 0 =0

एनआइए खुद को बुलाएंपास में मक्लौरिन समारोह के लिएएफ(एक्स).

आइए कुछ का अपघटन ज्ञात करें प्राथमिकमैकलॉरिन श्रृंखला में कार्य करता है।

उदाहरण 23

.

समाधान।

समस्या को हल करने के लिए हम ऊपर तैयार एल्गोरिदम का उपयोग करेंगे। चूँकि फ़ंक्शन को मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तारित करना आवश्यक है, इसलिए, हम बिंदु के आसपास के क्षेत्र में विस्तार की तलाश करेंगे एक्स 0 = 0.

आइए बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें एक्स 0 =0, तक व्युत्पन्न फलन पी-वें क्रम और उनके मान एक्स 0 = 0:

आइए हम औपचारिक रूप से सूत्र का उपयोग करके मैकलॉरिन श्रृंखला लिखें

ध्यान दें कि हमने विषम घातों के लिए रेड प्राप्त किया है, क्योंकि सम घातों के लिए गुणांक (जब पी- सम संख्या) शून्य के बराबर हैं।

आइए हम परिणामी श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र खोजें; इसके लिए हम श्रृंखला के पदों के निरपेक्ष मानों की एक श्रृंखला संकलित करते हैं:

और उस पर डी'अलेम्बर्ट चिह्न लगाएँ।

चूँकि सीमा का मान निर्भर नहीं करता एक्सऔर किसी के लिए एक से भी कम एक्स, तो श्रृंखला सभी मानों के लिए अभिसरण करती है, जिसका अर्थ है कि श्रृंखला के अभिसरण की सीमा है एक्स(–,+).

आइए जाँच करें कि पर्याप्त शर्तें पूरी हुई हैं या नहीं। यह तो स्पष्ट है

के लिए पी= 0,1,2,... और किसी के लिए एक्स,

इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन को संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर इसकी मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तारित किया गया है, अर्थात।

पर एक्स(–,+).

विचारित उदाहरण में, किसी बिंदु के आसपास की शक्ति श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार के गुणांक को निर्धारित करने के लिए एक्स 0 =0 हमने फ़ंक्शन को क्रमिक रूप से विभेदित किया जब तक कि हम इसके लिए एक सूत्र प्राप्त करने में सक्षम नहीं हो गए पी-वें व्युत्पन्न, और किसी दिए गए बिंदु पर व्युत्पन्न के मान पाए गए। फिर उन्हें पता चला कि किसलिए एक्सकिसी श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटनशीलता के लिए पर्याप्त शर्तें संतुष्ट हैं। अक्सर ये चरण बोझिल गणनाओं की ओर ले जाते हैं। कभी-कभी उपयोग करके इन कठिनाइयों से बचा जा सकता है कथनवह किसी विधि द्वारा प्राप्त शक्ति श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन का विस्तार टेलर श्रृंखला में इसका विस्तार होगा।इसलिए, किसी फ़ंक्शन का घात श्रृंखला में विस्तार प्राप्त करने के लिए, कोई प्राथमिक कार्यों के पहले से ही ज्ञात विस्तार, मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग कर सकता है, उन पर श्रृंखला के जोड़, गुणन और एकीकरण और विभेदन पर प्रमेयों के नियमों को लागू कर सकता है। बिजली की श्रृंखला।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का विस्तार एफ(एक्स)= ओल एक्स फ़ंक्शन के मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार को पद दर पद विभेदित करके प्राप्त किया जा सकता है एफ(एक्स) = पाप एक्स.

पर एक्स(–,+).

इसी प्रकार, शक्ति श्रृंखला के एकीकरण और विभेदन पर विस्तार एल्गोरिदम और प्रमेयों का उपयोग करके, कोई निम्नलिखित प्राथमिक कार्यों के मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार प्राप्त कर सकता है:

पर एक्स(–,+);

इयदि t≥.0, या t -1, फिर अभिसरण का क्षेत्र x (-1;1),

इअगर–1< टी<0 , फिर अभिसरण का क्षेत्र x (-1;1].

इस विघटन को कहा जाता है द्विपद श्रृंखला.विशेष रूप से, अंतिम विस्तार में मानते हुए टी= –1, हम पाते हैं

, एक्स (-1;1).

इस विस्तार में प्रतिस्थापन एक्सअभिव्यक्ति के लिए (- एक्स), हम पाते हैं

, पर एक्स (–1;1).

शक्ति श्रृंखला के एकीकरण पर प्रमेय का उपयोग करना और इसे फ़ंक्शन के मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार पर लागू करना
, हम पाते हैं

पर एक्स (–1;1].

विस्तार में कार्यों को बदलना
चर एक्सअभिव्यक्ति के लिए और एकीकृत करें, हमें मिलता है

पर एक्स [–1;1].

का उपयोग करते हुए द्विपद श्रृंखला-फ़ंक्शन का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार
, मानते हुए
, प्रतिस्थापित करना एक्सअभिव्यक्ति के लिए
और एकीकृत करने पर, हमें मिलता है

पर एक्स (–1;1).

उदाहरण 24.

ज्ञात विस्तारों का उपयोग करके, फ़ंक्शन को मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तारित करें
.

समाधान

मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार खोजना आवश्यक है, अर्थात। शक्तियों में शक्ति श्रृंखला में एक्स. हम विस्तार का उपयोग करेंगे

पर टी  (–1;1].

विश्वास टी = एक्स 2 , हम पाते हैं

यह विस्तार कब मान्य है
, कहाँ
, फिर अभिसरण क्षेत्र
.

इस प्रकार,

समानता के दोनों पक्षों को इससे गुणा करना एक्स, हम पाते हैं

पर एक्स [–1;1].

पीउदाहरण 25

ज्ञात विस्तारों का उपयोग करके, फ़ंक्शन का विस्तार करें
टेलर श्रृंखला में एक बिंदु के आसपास एक्स 0 =1.

समाधान।

बिंदु के पड़ोस में फ़ंक्शन का टेलर श्रृंखला में विस्तार प्राप्त करना आवश्यक है एक्स 0 = 1, वे। डिग्री के अनुसार ( एक्स–1).

हम विस्तार का उपयोग करेंगे

पर टी  (-1;1).

शक्तियों में इस फ़ंक्शन का विस्तार प्राप्त करने के लिए ( एक्स–1) आइए एक नया वेरिएबल पेश करें टी= एक्स–1, तब एक्स =टी + 1. आइए, यह मानते हुए इस फ़ंक्शन को एक नए वेरिएबल में रूपांतरित करें एक्स =टी + 1:

इसके बजाय एक ज्ञात विस्तार में मानते हुए टीअभिव्यक्ति और किसी संख्या से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

पर  (-1;1).

परिणामी विस्तार को मानते हुए टी = एक्स–1, आइए मूल चर पर वापस लौटें एक्सऔर हम इस फ़ंक्शन का विस्तार शक्तियों में एक शक्ति श्रृंखला में प्राप्त करते हैं ( एक्स-1):

शर्त के तहत यह विस्तार मान्य है
, कहाँ
.

तो, हमें अपघटन मिला

पर
.

उदाहरण 26

किसी फ़ंक्शन का विस्तार करें
बिंदु पर एक शक्ति श्रृंखला में
.

समाधान।

आइए लघुगणक के गुणों का उपयोग करके इस फ़ंक्शन को रूपांतरित करें:

ज्ञात विस्तार का उपयोग करना

पर टी  (–1;1].

आइए फ़ंक्शन का विस्तार खोजें
, विश्वास टी= 2एक्स, और कार्य
, मानते हुए टी= -x:

विस्तार 2 पर मान्य है एक्स  (–1;1), वे। पर
.

वैसे ही,

और विस्तार (-) के लिए मान्य है एक्स)  (-1;1), यानी। पर एक्स  (–1;1).

घात श्रृंखला को पद दर पद जोड़ा जा सकता है और किसी संख्या से गुणा किया जा सकता है, जिसका अर्थ है

इसके अलावा, यह विस्तार सामान्य अभिसरण क्षेत्र पर मान्य है, अर्थात। पर
.

पीउदाहरण 27

मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें
.

समाधान।

आइए फ़ंक्शन को रूपांतरित करें

.

फ़ंक्शन के प्रसिद्ध मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार का उपयोग करना पर=(1+ टी) एम , विश्वास
और
, हम पाते हैं

द्विपद श्रृंखला का उपयोग किया जाता है
एक अभिसरण क्षेत्र है टी  (-1;1], इसलिए, परिणामी विस्तार मान्य है
, कहाँ
,
.

इसलिए,
पर
.

यदि फ़ंक्शन f(x) में बिंदु a वाले एक निश्चित अंतराल पर सभी आदेशों का व्युत्पन्न है, तो टेलर सूत्र को इस पर लागू किया जा सकता है:
,
कहाँ आर एन- तथाकथित शेष पद या श्रृंखला का शेष, इसका अनुमान लैग्रेंज सूत्र का उपयोग करके लगाया जा सकता है:
, जहां संख्या x, x और a के बीच है।

कार्यों में प्रवेश के नियम:

यदि कुछ मूल्य के लिए एक्स आर एन→0 पर एन→∞, तो सीमा में टेलर सूत्र इस मान के लिए अभिसरण हो जाता है टेलर श्रृंखला:
,
इस प्रकार, फ़ंक्शन f(x) को विचाराधीन बिंदु x पर टेलर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है यदि:
1) इसमें सभी ऑर्डरों के डेरिवेटिव हैं;
2) निर्मित श्रृंखला इस बिंदु पर अभिसरण करती है।

जब a = 0 हमें एक श्रृंखला मिलती है जिसे कहा जाता है मैकलॉरिन के पास:
,
मैकलॉरिन श्रृंखला में सबसे सरल (प्राथमिक) कार्यों का विस्तार:
घातीय कार्य
, आर=∞
त्रिकोणमितीय कार्य
, आर=∞
, आर=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
फ़ंक्शन actgx x की शक्तियों में विस्तारित नहीं होता है, क्योंकि ctg0=∞
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य


लघुगणकीय कार्य
, -1
द्विपद श्रृंखला
.

उदाहरण क्रमांक 1. फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करें एफ(एक्स)= 2एक्स.
समाधान. आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मान ज्ञात करें एक्स=0
एफ(एक्स) = 2एक्स, एफ( 0) = 2 0 =1;
च"(x) = 2एक्सएलएन2, एफ"( 0) = 2 0 एलएन2= एलएन2;
च""(x) = 2एक्सएलएन 2 2, एफ""( 0) = 2 0 एलएन 2 2= एलएन 2 2;
…
एफ(एन)(एक्स) = 2एक्सएल.एन एन 2, एफ(एन)( 0) = 2 0 एल.एन एन 2=एल.एन एन 2.
डेरिवेटिव के प्राप्त मूल्यों को टेलर श्रृंखला सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

इस श्रृंखला की अभिसरण त्रिज्या अनंत के बराबर है, इसलिए यह विस्तार -∞ के लिए मान्य है<एक्स<+∞.

उदाहरण क्रमांक 2. टेलर श्रृंखला को घातों में लिखें ( एक्स+4) फ़ंक्शन के लिए एफ(एक्स)=इ एक्स.
समाधान. फ़ंक्शन ई के व्युत्पन्न ढूँढना एक्सऔर बिंदु पर उनके मूल्य एक्स=-4.
एफ(एक्स)= ई एक्स, एफ(-4) = ई -4 ;
च"(x)= ई एक्स, एफ"(-4) = ई -4 ;
च""(x)= ई एक्स, एफ""(-4) = ई -4 ;
…
एफ(एन)(एक्स)= ई एक्स, एफ(एन)( -4) = ई -4 .
इसलिए, फ़ंक्शन की आवश्यक टेलर श्रृंखला का रूप इस प्रकार है:

यह विस्तार -∞ के लिए भी मान्य है<एक्स<+∞.

उदाहरण संख्या 3. किसी फ़ंक्शन का विस्तार करें एफ(एक्स)=एल.एन एक्सशक्तियों में एक श्रृंखला में ( एक्स- 1),
(अर्थात टेलर श्रृंखला में बिंदु के आसपास एक्स=1).
समाधान. इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजें।
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) एन-1 (एन-1)!
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वांछित टेलर श्रृंखला प्राप्त होती है:

डी'अलेम्बर्ट के परीक्षण का उपयोग करके, आप सत्यापित कर सकते हैं कि श्रृंखला ½x-1½ पर अभिसरण करती है<1 . Действительно,

यदि ½ हो तो श्रृंखला अभिसरित हो जाती है एक्स- 1½<1, т.е. при 0<एक्स<2. При एक्स=2 हमें एक वैकल्पिक श्रृंखला प्राप्त होती है जो लीबनिज़ मानदंड की शर्तों को पूरा करती है। जब x=0 फ़ंक्शन परिभाषित नहीं होता है। इस प्रकार, टेलर श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र अर्ध-खुला अंतराल (0;2] है।

उदाहरण संख्या 4. फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करें।
समाधान. विस्तार (1) में हम x को -x 2 से प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है:
, -∞

उदाहरण क्रमांक 5. मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें .
समाधान. हमारे पास है
सूत्र (4) का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

सूत्र में x के स्थान पर -x प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

यहां से हम पाते हैं: ln(1+x)-ln(1-x) = -
कोष्ठक खोलने, श्रृंखला के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने और समान पद लाने पर, हमें मिलता है
. यह श्रृंखला अंतराल (-1;1) में अभिसरण करती है, क्योंकि यह दो श्रृंखलाओं से प्राप्त होती है, जिनमें से प्रत्येक इस अंतराल में अभिसरण करती है।

टिप्पणी .
सूत्र (1)-(5) का उपयोग संबंधित कार्यों को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए भी किया जा सकता है, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक घातों में कार्यों के विस्तार के लिए ( हा). ऐसा करने के लिए, किसी एक फ़ंक्शन (1)-(5) को प्राप्त करने के लिए किसी दिए गए फ़ंक्शन पर ऐसे समान परिवर्तन करना आवश्यक है, जिसमें इसके बजाय एक्सलागत k( हा) m , जहां k एक स्थिर संख्या है, m एक धनात्मक पूर्णांक है। चर में परिवर्तन करना अक्सर सुविधाजनक होता है टी=हाऔर मैकलॉरिन श्रृंखला में t के संबंध में परिणामी फ़ंक्शन का विस्तार करें।

यह विधि किसी शक्ति श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार की विशिष्टता पर प्रमेय पर आधारित है। इस प्रमेय का सार यह है कि एक ही बिंदु के पड़ोस में दो अलग-अलग शक्ति श्रृंखलाएं प्राप्त नहीं की जा सकती हैं जो एक ही कार्य में परिवर्तित हो जाएंगी, चाहे इसका विस्तार कैसे भी किया जाए।

उदाहरण संख्या 5ए. मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें और अभिसरण के क्षेत्र को इंगित करें।
समाधान। सबसे पहले हम 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , पाते हैं।
प्रारंभिक करने के लिए:

भिन्न 3/(1-3x) को 3x के हर के साथ एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के रूप में माना जा सकता है, यदि |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

अभिसरण क्षेत्र के साथ |x|< 1/3.

उदाहरण संख्या 6. बिंदु x = 3 के आसपास फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करें।
समाधान. इस समस्या को, पहले की तरह, टेलर श्रृंखला की परिभाषा का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिसके लिए हमें फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और उनके मूल्यों को खोजने की आवश्यकता है एक्स=3. हालाँकि, मौजूदा विस्तार का उपयोग करना आसान होगा (5):
=
परिणामी श्रृंखला या -3 पर अभिसरित होती है

उदाहरण संख्या 7. फ़ंक्शन ln(x+2) की शक्तियों (x -1) में टेलर श्रृंखला लिखें।
समाधान.


श्रृंखला , या -2 पर एकत्रित होती है< x < 5.

उदाहरण संख्या 8. फ़ंक्शन f(x)=sin(πx/4) को बिंदु x =2 के आसपास टेलर श्रृंखला में विस्तारित करें।
समाधान. आइए प्रतिस्थापन t=x-2 करें:

विस्तार (3) का उपयोग करते हुए, जिसमें हम x के स्थान पर π/4 t प्रतिस्थापित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

परिणामी श्रृंखला -∞ पर दिए गए फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞इस प्रकार,
, (-∞

पावर श्रृंखला का उपयोग करके अनुमानित गणना

अनुमानित गणनाओं में पावर श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उनकी सहायता से, आप दी गई सटीकता के साथ मूलों, त्रिकोणमितीय कार्यों, संख्याओं के लघुगणक और निश्चित अभिन्नों के मूल्यों की गणना कर सकते हैं। विभेदक समीकरणों को एकीकृत करते समय श्रृंखला का भी उपयोग किया जाता है।
घात श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार पर विचार करें:

किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के अनुमानित मान की गणना करने के लिए एक्स, संकेतित श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र से संबंधित, इसके विस्तार में पहले वाले बचे हैं एनसदस्य ( एन- एक परिमित संख्या), और शेष पद हटा दिए जाते हैं:

प्राप्त अनुमानित मान की त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए, छोड़े गए शेषफल rn (x) का अनुमान लगाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित तकनीकों का उपयोग करें:

• यदि परिणामी श्रृंखला वैकल्पिक है, तो निम्नलिखित संपत्ति का उपयोग किया जाता है: एक वैकल्पिक श्रृंखला के लिए जो लीबनिज़ की शर्तों को पूरा करती है, श्रृंखला का शेष पूर्ण मूल्य में पहले छोड़े गए पद से अधिक नहीं है.
• यदि दी गई श्रृंखला स्थिर चिह्न वाली है, तो छोड़े गए पदों से बनी श्रृंखला की तुलना अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति से की जाती है।
• सामान्य स्थिति में, टेलर श्रृंखला के शेष का अनुमान लगाने के लिए, आप लैग्रेंज सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: a एक्स ).

उदाहरण क्रमांक 1. निकटतम 0.01 तक ln(3) की गणना करें।
समाधान. आइए विस्तार का उपयोग करें जहां x=1/2 (पिछले विषय में उदाहरण 5 देखें):

आइए देखें कि क्या हम विस्तार के पहले तीन पदों के बाद शेषफल को त्याग सकते हैं; ऐसा करने के लिए, हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग का उपयोग करके इसका मूल्यांकन करेंगे:

अतः हम इस शेषफल को त्याग कर प्राप्त कर सकते हैं

उदाहरण क्रमांक 2. निकटतम 0.0001 तक गणना करें।
समाधान. आइए द्विपद श्रृंखला का उपयोग करें। चूँकि 5 3 130 के निकटतम पूर्णांक का घन है, इसलिए संख्या 130 को 130 = 5 3 +5 के रूप में दर्शाने की सलाह दी जाती है।



चूंकि लीबनिज़ मानदंड को संतुष्ट करने वाली परिणामी वैकल्पिक श्रृंखला का चौथा पद पहले से ही आवश्यक सटीकता से कम है:
, इसलिए इसे और इसके बाद के शब्दों को ख़ारिज किया जा सकता है।
कई व्यावहारिक रूप से आवश्यक निश्चित या अनुचित अभिन्नों की गणना न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके नहीं की जा सकती है, क्योंकि इसका अनुप्रयोग प्रतिअवकलन खोजने से जुड़ा है, जिसकी अक्सर प्राथमिक कार्यों में अभिव्यक्ति नहीं होती है। ऐसा भी होता है कि प्रतिअवकलन खोजना संभव है, लेकिन यह अनावश्यक रूप से श्रमसाध्य है। हालाँकि, यदि इंटीग्रैंड फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है, और एकीकरण की सीमाएं इस श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित हैं, तो पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ इंटीग्रल की अनुमानित गणना संभव है।

उदाहरण संख्या 3. 10 -5 के भीतर अभिन्न ∫ 0 1 4 पाप (x) x की गणना करें।
समाधान. संबंधित अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग को प्रारंभिक कार्यों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, अर्थात। एक "अस्थायी अभिन्न" का प्रतिनिधित्व करता है। न्यूटन-लीबनिज फॉर्मूला यहां लागू नहीं किया जा सकता। आइए लगभग अभिन्न की गणना करें।
पाप के लिए श्रृंखला को पद दर पद विभाजित करना एक्सपर एक्स, हम पाते हैं:

इस श्रृंखला को पद दर पद एकीकृत करना (यह संभव है, क्योंकि एकीकरण की सीमाएं इस श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित हैं), हम प्राप्त करते हैं:

चूँकि परिणामी श्रृंखला लीबनिज़ की शर्तों को पूरा करती है और दी गई सटीकता के साथ वांछित मान प्राप्त करने के लिए पहले दो शब्दों का योग लेना पर्याप्त है।
इस प्रकार, हम पाते हैं
.

उदाहरण संख्या 4. 0.001 की सटीकता के साथ अभिन्न ∫ 0 1 4 e x 2 की गणना करें।
समाधान.
. आइए देखें कि क्या हम परिणामी श्रृंखला के दूसरे पद के बाद शेषफल को हटा सकते हैं।
0.0001<0.001. Следовательно, .

घातों (a + b) n के साथ निम्नलिखित अभिव्यक्तियों पर विचार करें, जहां a + b कोई द्विपद है और n एक पूर्णांक है।

प्रत्येक अभिव्यक्ति एक बहुपद है. आप सभी अभिव्यक्तियों में विशेषताएं देख सकते हैं।

1. प्रत्येक अभिव्यक्ति में घातांक n से एक पद अधिक है।

2. प्रत्येक पद में घातों का योग n के बराबर है, अर्थात्। वह घात जिससे एक द्विपद बढ़ाया जाता है।

3. घातें द्विपद घात n से शुरू होती हैं और 0 की ओर घटती हैं। अंतिम पद में कोई गुणनखंड नहीं होता है। पहले पद में कोई गुणनखंड b नहीं है, अर्थात्। डिग्री बी 0 से शुरू होती है और एन तक बढ़ती है।

4. गुणांक 1 से शुरू होते हैं और "आधे रास्ते" तक कुछ मानों से बढ़ते हैं, और फिर उन्हीं मानों से घटकर 1 हो जाते हैं।

आइए गुणांकों पर करीब से नज़र डालें। मान लीजिए कि हम (a + b) 6 का मान ज्ञात करना चाहते हैं। अभी हमने जो फीचर देखा उसके मुताबिक यहां 7 सदस्य होने चाहिए
ए 6 + सी 1 ए 5 बी + सी 2 ए 4 बी 2 + सी 3 ए 3 बी 3 + सी 4 ए 2 बी 4 + सी 5 एबी 5 + बी 6।
लेकिन हम प्रत्येक गुणांक, c i का मान कैसे निर्धारित कर सकते हैं? हम इसे दो तरीकों से कर सकते हैं. पहली विधि में गुणांकों को एक त्रिभुज में लिखना शामिल है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है। इसे इस नाम से जाना जाता है पास्कल का त्रिकोण :


त्रिभुज में कई विशेषताएं हैं. जितना हो सके उतने खोजें।
आपको उपरोक्त पंक्ति के अंकों का उपयोग करके संख्याओं की अगली स्ट्रिंग लिखने का एक तरीका मिल गया होगा। इकाइयाँ हमेशा किनारों पर स्थित होती हैं। प्रत्येक शेष संख्या उस संख्या से ऊपर की दो संख्याओं का योग है। आइए, हमें मिली विशेषताओं का उपयोग करके, निम्नलिखित पंक्ति जोड़कर अभिव्यक्ति (ए + बी) 6 का मान खोजने का प्रयास करें:

हम इसे अंतिम पंक्ति में देखते हैं

पहली और आखिरी संख्या 1 ;
दूसरी संख्या 1 + 5, या है 6 ;
तीसरी संख्या 5 + 10, या है 15 ;
चौथी संख्या 10 + 10, या है 20 ;
पांचवी संख्या 10 + 5, या है 15 ; और
छठी संख्या 5 + 1, या है 6 .

अतः व्यंजक (a + b) 6 के बराबर होगा
(ए + बी) 6 = 1 एक 6+ 6 ए 5 बी + 15 ए 4 बी 2 + 20 ए 3 बी 3+ 15 ए 2 बी 4 + 6 एबी 5+ 1 ख 6.

घात (a + b) 8 तक बढ़ाने के लिए, हम पास्कल के त्रिभुज में दो रेखाएँ जोड़ते हैं:

तब
(ए + बी) 8 = ए 8 + 8ए 7 बी + 28ए 6 बी 2 + 56ए 5 बी 3 + 70ए 4 बी 4 + 56ए 3 बी 5 + 28ए 2 बी 6 + 8एबी 7 + बी 8।

हम अपने परिणामों को इस प्रकार संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं।

पास्कल के त्रिभुज का उपयोग करते हुए न्यूटन का द्विपद

किसी भी द्विपद a+ b और किसी प्राकृत संख्या n के लिए,
(ए + बी) एन = सी 0 ए एन बी 0 + सी 1 ए एन-1 बी 1 + सी 2 ए एन-2 बी 2 + .... + सी एन-1 ए 1 बी एन-1 + सी एन ए 0 बी एन,
जहाँ संख्याएँ c 0 , c 1 , c 2 ,...., c n-1 , c n पास्कल त्रिभुज की (n + 1) श्रृंखला से ली गई हैं।

उदाहरण 1एक घात तक बढ़ाएँ: (यू - वी) 5।

समाधानहमारे पास (a + b)n है, जहां a = u, b = -v, और n = 5 है। हम पास्कल के त्रिकोण की छठी पंक्ति का उपयोग करते हैं:
1 5 10 10 5 1
तो हमारे पास हैं
(यू - वी) 5 = 5 = 1 (यू)5+ 5 (यू) 4 (-वी) 1 + 10 (यू) 3 (-वी) 2 + 10 (u)2 (-v)3 + 5 (u)(-v) 4+ 1 (-वी) 5 = यू 5 - 5यू 4 वी + 10यू 3 वी 2 - 10यू 2 वी 3 + 5यूवी 4 - वी 5।
ध्यान दें कि पदों के चिह्न + और - के बीच उतार-चढ़ाव करते हैं। जब डिग्री -v एक विषम संख्या है, तो चिह्न - है।

उदाहरण 2एक घात तक बढ़ाएँ: (2t + 3/t) 4।

समाधानहमारे पास (a + b)n है, जहां a = 2t, b = 3/t, और n = 4 है। हम पास्कल के त्रिकोण की 5वीं पंक्ति का उपयोग करते हैं:
1 4 6 4 1
तो हमारे पास हैं

भाज्य मानों का उपयोग करके द्विपद विस्तार

मान लीजिए कि हम (a + b) 11 का मान ज्ञात करना चाहते हैं। पास्कल के त्रिभुज का उपयोग करने का नुकसान यह है कि हमें आवश्यक श्रृंखला प्राप्त करने के लिए त्रिभुज की सभी पिछली पंक्तियों की गणना करनी होगी। निम्नलिखित विधि इससे बचती है। यह आपको अन्य सभी पंक्तियों का मूल्यांकन किए बिना एक विशिष्ट पंक्ति - मान लीजिए 8वीं पंक्ति - ढूंढने की भी अनुमति देता है। यह विधि गणना, सांख्यिकी और उपयोग में उपयोगी है द्विपद गुणांक अंकन .
हम न्यूटन के द्विपद को इस प्रकार तैयार कर सकते हैं।

फैक्टोरियल नोटेशन का उपयोग करते हुए न्यूटन का द्विपद

किसी भी द्विपद (ए + बी) और किसी भी प्राकृतिक संख्या एन के लिए,
.

न्यूटन के द्विपद को गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। यह दिखाता है कि इसे क्यों कहा जाता है द्विपद गुणांक .

उदाहरण 3एक घात तक बढ़ाएँ: (x 2 - 2y) 5।

समाधानहमारे पास (a + b) n है, जहां a = x 2, b = -2y, और n = 5 है। फिर, न्यूटन के द्विपद का उपयोग करते हुए, हमारे पास है


अंत में, (x 2 - 2y) 5 = x 10 - 10x 8 y + 40x 6 y 2 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5।

उदाहरण 4एक घात तक बढ़ाएँ: (2/x + 3√x) 4.

समाधानहमारे पास (a + b)n है, जहां a = 2/x, b = 3√x, और n = 4 है। फिर, न्यूटन के द्विपद का उपयोग करके, हम पाते हैं


अंत में (2/x + 3√x ) 4 = 16/x 4 + 96/x 5/2 + 216/x + 216x 1/2 + 81x 2।

एक विशिष्ट सदस्य ढूँढना

आइए मान लें कि हम एक अभिव्यक्ति से एक या दूसरा पद निर्धारित करना चाहते हैं। हमने जो विधि विकसित की है वह हमें पास्कल त्रिभुज की सभी पंक्तियों या पिछले सभी गुणांकों की गणना किए बिना इस पद को खोजने की अनुमति देगी।

ध्यान दें कि न्यूटन के द्विपद में हमें पहला पद मिलता है, हमें दूसरा पद मिलता है, हमें तीसरा पद मिलता है, इत्यादि। इसे इस प्रकार संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

(k + 1) पद ज्ञात करना

(k + 1) अभिव्यक्ति का पद (a + b) n है।

उदाहरण 5व्यंजक (2x - 5y) 6 में 5वाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधानसबसे पहले, ध्यान दें कि 5 = 4 + 1. फिर k = 4, a = 2x, b = -5y, और n = 6. तब अभिव्यक्ति का 5वां पद होगा

उदाहरण 6व्यंजक (3x - 2) 10 में 8वाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधानसबसे पहले, हम ध्यान दें कि 8 = 7 + 1. फिर k = 7, a = 3x, b = -2 और n = 10. तब अभिव्यक्ति का 8वां पद होगा

उपसमुच्चय की कुल संख्या

मान लीजिए कि एक सेट में n ऑब्जेक्ट हैं। K तत्वों वाले उपसमुच्चय की संख्या है। किसी समुच्चय के उपसमुच्चय की कुल संख्या 0 तत्वों वाले उपसमुच्चय की संख्या है, साथ ही 1 तत्व वाले उपसमुच्चय की संख्या है, और 2 तत्वों वाले उपसमुच्चय की संख्या है, इत्यादि। n तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या है
.
आइए अब घात (1 + 1) n तक बढ़ाने पर गौर करें:

.
इसलिए। उपसमुच्चय की कुल संख्या (1 + 1) n, या 2 n है। हमने निम्नलिखित सिद्ध किया है।

उपसमुच्चय की कुल संख्या

n तत्वों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय की कुल संख्या 2n है।

उदाहरण 7समुच्चय (ए, बी, सी, डी, ई) में कितने उपसमुच्चय हैं?

समाधानसमुच्चय में 5 तत्व हैं, तो उपसमुच्चय की संख्या 2 5, या 32 है।

उदाहरण 8वेंडी की रेस्तरां श्रृंखला निम्नलिखित हैमबर्गर टॉपिंग प्रदान करती है:
{केचप, सरसों, मेयोनेज़, टमाटर, सलाद, प्याज, मशरूम, जैतून, पनीर}.
हैमबर्गर के आकार या मात्रा को छोड़कर, वेंडी कितने अलग-अलग प्रकार के हैम्बर्गर पेश कर सकती है?

समाधानप्रत्येक हैमबर्गर पर टॉपिंग सभी संभावित टॉपिंग के सेट के एक सबसेट के सदस्य हैं, और खाली सेट सिर्फ एक हैमबर्गर है। संभावित हैमबर्गर की कुल संख्या के बराबर होगी

. इस प्रकार, वेंडीज़ 512 विभिन्न हैमबर्गर पेश कर सकता है।

इस लेख में आपको प्रश्न का उत्तर देने के लिए सभी आवश्यक जानकारी मिलेगी, किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड में कैसे विभाजित करें. सबसे पहले, किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने का एक सामान्य विचार दिया गया है, और अपघटन के उदाहरण दिए गए हैं। निम्नलिखित किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने का विहित रूप दिखाता है। इसके बाद, मनमानी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म दिया गया है और इस एल्गोरिथ्म का उपयोग करके संख्याओं को विघटित करने के उदाहरण दिए गए हैं। वैकल्पिक तरीकों पर भी विचार किया जाता है जो आपको विभाज्यता परीक्षणों और गुणन तालिकाओं का उपयोग करके छोटे पूर्णांकों को शीघ्रता से अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने की अनुमति देते हैं।

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किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड में गुणनखंड करने का क्या मतलब है?

सबसे पहले, आइए देखें कि अभाज्य कारक क्या हैं।

यह स्पष्ट है कि चूँकि इस वाक्यांश में "कारक" शब्द मौजूद है, तो कुछ संख्याओं का गुणनफल होता है, और योग्यता शब्द "सरल" का अर्थ है कि प्रत्येक कारक एक अभाज्य संख्या है। उदाहरण के लिए, फॉर्म 2·7·7·23 के उत्पाद में चार अभाज्य गुणनखंड हैं: 2, 7, 7 और 23.

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड में गुणनखंड करने का क्या मतलब है?

इसका मतलब यह है कि इस संख्या को अभाज्य कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए, और इस उत्पाद का मूल्य मूल संख्या के बराबर होना चाहिए। उदाहरण के तौर पर, तीन अभाज्य संख्याओं 2, 3 और 5 के गुणनफल पर विचार करें, यह 30 के बराबर है, इस प्रकार संख्या 30 का अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होना 2·3·5 है। आमतौर पर किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने को समानता के रूप में लिखा जाता है; हमारे उदाहरण में यह इस प्रकार होगा: 30=2·3·5. हम अलग से इस बात पर जोर देते हैं कि विस्तार में प्रमुख कारकों को दोहराया जा सकता है। इसे निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट रूप से दर्शाया गया है: 144=2·2·2·2·3·3. लेकिन 45=3·15 के रूप का प्रतिनिधित्व अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन नहीं है, क्योंकि संख्या 15 एक भाज्य संख्या है।

निम्नलिखित प्रश्न उठता है: "किन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है?"

इसके उत्तर की तलाश में हम निम्नलिखित तर्क प्रस्तुत करते हैं। परिभाषा के अनुसार, अभाज्य संख्याएँ एक से बड़ी संख्याओं में से हैं। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए, यह तर्क दिया जा सकता है कि कई अभाज्य कारकों का गुणनफल एक से बड़ा एक सकारात्मक पूर्णांक है। इसलिए, अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडन केवल उन धनात्मक पूर्णांकों के लिए होता है जो 1 से बड़े होते हैं।

लेकिन क्या एक से बड़े सभी पूर्णांकों को अभाज्य गुणनखंडों में शामिल किया जा सकता है?

यह स्पष्ट है कि सरल पूर्णांकों को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करना संभव नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अभाज्य संख्याओं में केवल दो सकारात्मक गुणनखंड होते हैं - एक और स्वयं, इसलिए उन्हें दो या दो से अधिक अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। यदि पूर्णांक z को अभाज्य संख्याओं a और b के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो विभाज्यता की अवधारणा हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देगी कि z, a और b दोनों से विभाज्य है, जो संख्या z की सरलता के कारण असंभव है। हालाँकि, उनका मानना ​​है कि कोई भी अभाज्य संख्या स्वयं एक अपघटन है।

भाज्य संख्याओं के बारे में क्या? क्या भाज्य संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में विघटित हो जाती हैं, और क्या सभी भाज्य संख्याएँ ऐसे अपघटन के अधीन हैं? अंकगणित का मौलिक प्रमेय इनमें से कई प्रश्नों का सकारात्मक उत्तर देता है। अंकगणित के मूल प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी पूर्णांक a जो 1 से बड़ा है, उसे अभाज्य कारकों p 1, p 2, ..., p n के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है, और अपघटन का रूप a = p 1 · p 2 · होता है ... · पी एन, और यह विस्तार अद्वितीय है, यदि आप कारकों के क्रम को ध्यान में नहीं रखते हैं

किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित गुणनखंडन

किसी संख्या के विस्तार में अभाज्य गुणनखंडों की पुनरावृत्ति हो सकती है। दोहराए जाने वाले अभाज्य कारकों को अधिक संक्षिप्त रूप से उपयोग करके लिखा जा सकता है। मान लीजिए किसी संख्या के अपघटन में अभाज्य गुणनखंड p 1, s 1 बार आता है, अभाज्य गुणनखंड p 2 - s 2 बार, और इसी प्रकार, p n - s n बार आता है। तब संख्या a का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार लिखा जा सकता है a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. रिकॉर्डिंग का यह रूप तथाकथित है किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित गुणनखंडन.

आइए हम किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन का एक उदाहरण दें। आइये जानते हैं विघटन 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, इसके विहित संकेतन का रूप है 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित गुणनखंडन आपको संख्या के सभी भाजक और संख्या के भाजक की संख्या खोजने की अनुमति देता है।

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के कार्य को सफलतापूर्वक पूरा करने के लिए, आपको लेख में दी गई अभाज्य और भाज्य संख्याओं की जानकारी का बहुत अच्छा ज्ञान होना आवश्यक है।

एक से अधिक धनात्मक पूर्णांक संख्या a को विघटित करने की प्रक्रिया का सार अंकगणित के मौलिक प्रमेय के प्रमाण से स्पष्ट है। मुद्दा क्रमिक रूप से संख्याओं a, a 1, a 2, ..., a n-1 के सबसे छोटे अभाज्य भाजक p 1, p 2, ..., p n को खोजने का है, जो हमें समानताओं की एक श्रृंखला प्राप्त करने की अनुमति देता है। a=p 1 ·a 1, जहां a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, जहां a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·पी 2 ·…·पी एन ·ए एन , जहां ए एन =ए एन-1:पी एन . जब यह a n =1 हो जाता है, तो समानता a=p 1 ·p 2 ·...·p n हमें संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में वांछित अपघटन प्रदान करेगी। यहां यह भी ध्यान रखना होगा कि पी 1 ≤पी 2 ≤पी 3 ≤…≤पी एन.

यह पता लगाना बाकी है कि प्रत्येक चरण में सबसे छोटे अभाज्य गुणनखंडों को कैसे खोजा जाए, और हमारे पास किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एक एल्गोरिदम होगा। अभाज्य संख्याओं की एक तालिका हमें अभाज्य गुणनखंड खोजने में मदद करेगी। आइए हम दिखाएं कि संख्या z का सबसे छोटा अभाज्य भाजक प्राप्त करने के लिए इसका उपयोग कैसे करें।

हम क्रमिक रूप से अभाज्य संख्याओं (2, 3, 5, 7, 11, इत्यादि) की तालिका से अभाज्य संख्याएँ लेते हैं और दी गई संख्या z को उनसे विभाजित करते हैं। पहली अभाज्य संख्या जिससे z को समान रूप से विभाजित किया जाता है, वह इसका सबसे छोटा अभाज्य भाजक होगा। यदि संख्या z अभाज्य है, तो इसका सबसे छोटा अभाज्य विभाजक संख्या z ही होगी। यहां यह याद रखना चाहिए कि यदि z एक अभाज्य संख्या नहीं है, तो इसका सबसे छोटा अभाज्य विभाजक उस संख्या से अधिक नहीं है, जहां z से है। इस प्रकार, यदि अभाज्य संख्याओं से अधिक नहीं होने पर, संख्या z का एक भी विभाजक नहीं था, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि z एक अभाज्य संख्या है (इसके बारे में अधिक जानकारी शीर्षक के तहत सिद्धांत अनुभाग में लिखी गई है यह संख्या अभाज्य या मिश्रित है) ).

उदाहरण के तौर पर, हम दिखाएंगे कि संख्या 87 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक कैसे खोजा जाए। चलिए नंबर 2 लेते हैं. 87 को 2 से भाग देने पर 87:2=43 (शेष 1) प्राप्त होता है (यदि आवश्यक हो तो लेख देखें)। अर्थात्, 87 को 2 से विभाजित करने पर शेषफल 1 होता है, इसलिए 2 संख्या 87 का भाजक नहीं है। हम अभाज्य संख्या तालिका से अगली अभाज्य संख्या लेते हैं, यह संख्या 3 है। 87 को 3 से विभाजित करने पर हमें 87:3=29 प्राप्त होता है। इस प्रकार, 87, 3 से विभाज्य है, इसलिए, संख्या 3, संख्या 87 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक है।

ध्यान दें कि सामान्य स्थिति में, किसी संख्या a को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए, हमें कम से कम संख्या तक अभाज्य संख्याओं की एक तालिका की आवश्यकता होती है। हमें हर कदम पर इस तालिका का संदर्भ लेना होगा, इसलिए हमें इसे हाथ में रखना होगा। उदाहरण के लिए, संख्या 95 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए, हमें केवल 10 तक की अभाज्य संख्याओं की एक तालिका की आवश्यकता होगी (क्योंकि 10 से बड़ा है)। और संख्या 846,653 को विघटित करने के लिए, आपको पहले से ही 1,000 तक की अभाज्य संख्याओं की एक तालिका की आवश्यकता होगी (क्योंकि 1,000 से बड़ा है)।

अब हमारे पास लिखने के लिए पर्याप्त जानकारी है किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम. संख्या a को विघटित करने के लिए एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

• अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं को क्रमिक रूप से क्रमबद्ध करते हुए, हम संख्या a का सबसे छोटा अभाज्य विभाजक p 1 पाते हैं, जिसके बाद हम a 1 =a:p 1 की गणना करते हैं। यदि a 1 =1 है, तो संख्या a अभाज्य है, और यह स्वयं अभाज्य गुणनखंडों में इसका अपघटन है। यदि a 1, 1 के बराबर नहीं है, तो हमारे पास a=p 1 ·a 1 है और हम अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।
• हम संख्या a 1 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 2 पाते हैं, ऐसा करने के लिए हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं को क्रमिक रूप से क्रमबद्ध करते हैं, p 1 से शुरू करते हैं, और फिर a 2 =a 1:p 2 की गणना करते हैं। यदि a 2 =1 है, तो संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन a=p 1 ·p 2 के रूप में होता है। यदि a 2, 1 के बराबर नहीं है, तो हमारे पास a=p 1 ·p 2 ·a 2 है और अगले चरण पर आगे बढ़ें।
• अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं को देखते हुए, p 2 से शुरू करके, हम संख्या a 2 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 3 पाते हैं, जिसके बाद हम a 3 =a 2:p 3 की गणना करते हैं। यदि a 3 =1, तो संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन a=p 1 ·p 2 ·p 3 के रूप में होता है। यदि a 3, 1 के बराबर नहीं है, तो हमारे पास a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 है और अगले चरण पर आगे बढ़ें।
• हम अभाज्य संख्याओं को क्रमबद्ध करके संख्या a n-1 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p n पाते हैं, जो p n-1 से शुरू होता है, साथ ही a n =a n-1:p n, और a n 1 के बराबर है। यह चरण एल्गोरिथम का अंतिम चरण है; यहां हम संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन प्राप्त करते हैं: a=p 1 ·p 2 ·…·p n।

स्पष्टता के लिए, किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एल्गोरिथ्म के प्रत्येक चरण में प्राप्त सभी परिणाम निम्नलिखित तालिका के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं, जिसमें संख्याएँ a, a 1, a 2, ..., a n क्रमिक रूप से लिखी जाती हैं ऊर्ध्वाधर रेखा के बाईं ओर एक कॉलम में, और रेखा के दाईं ओर - संबंधित सबसे छोटे अभाज्य विभाजक पी 1, पी 2, ..., पी एन।

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए परिणामी एल्गोरिदम के अनुप्रयोग के कुछ उदाहरणों पर विचार करना ही शेष है।

अभाज्य गुणनखंडन के उदाहरण

अब हम विस्तार से देखेंगे संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के उदाहरण. विघटित करते समय, हम पिछले पैराग्राफ से एल्गोरिदम का उपयोग करेंगे। आइए सरल मामलों से शुरू करें, और संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते समय उत्पन्न होने वाली सभी संभावित बारीकियों का सामना करने के लिए धीरे-धीरे उन्हें जटिल बनाएं।

उदाहरण।

संख्या 78 को उसके अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

समाधान।

हम संख्या a=78 के पहले सबसे छोटे अभाज्य भाजक p 1 की खोज शुरू करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से अभाज्य संख्याओं को क्रमिक रूप से क्रमबद्ध करना शुरू करते हैं। हम संख्या 2 लेते हैं और 78 को उससे विभाजित करते हैं, हमें 78:2=39 मिलता है। संख्या 78 को बिना किसी शेषफल के 2 से विभाजित किया जाता है, इसलिए p 1 =2 संख्या 78 का पहला पाया गया अभाज्य भाजक है। इस मामले में, a 1 =a:p 1 =78:2=39. तो हम समानता a=p 1 ·a 1 पर आते हैं जिसका रूप 78=2·39 है। जाहिर है, 1 =39 1 से भिन्न है, इसलिए हम एल्गोरिथम के दूसरे चरण पर आगे बढ़ते हैं।

अब हम संख्या a 1 =39 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 2 ढूंढ रहे हैं। हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं की गणना करना शुरू करते हैं, पी 1 = 2 से शुरू करते हुए। 39 को 2 से विभाजित करने पर हमें 39:2=19 (शेष 1) प्राप्त होता है। चूँकि 39, 2 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, तो 2 इसका भाजक नहीं है। फिर हम अभाज्य संख्याओं की तालिका से अगली संख्या (संख्या 3) लेते हैं और 39 को इससे विभाजित करते हैं, हमें 39:3=13 प्राप्त होता है। इसलिए, p 2 =3 संख्या 39 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक है, जबकि a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. हमारे पास 78=2·3·13 के रूप में समानता a=p 1 ·p 2 ·a 2 है। चूँकि 2 =13 1 से भिन्न है, हम एल्गोरिथम के अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।

यहां हमें संख्या a 2 =13 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक ज्ञात करना होगा। संख्या 13 के सबसे छोटे अभाज्य भाजक p 3 की खोज में, हम p 2 = 3 से शुरू करके, अभाज्य संख्याओं की तालिका से संख्याओं को क्रमिक रूप से क्रमबद्ध करेंगे। संख्या 13, 3 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 13:3=4 (बाकी 1), 13:5=2 (बाकी 3), 13:7=1 के बाद से 13, 5, 7 और 11 से भी विभाज्य नहीं है। (बाकी. 6) और 13:11=1 (बाकी. 2). अगली अभाज्य संख्या 13 है, और 13 बिना किसी शेषफल के इससे विभाज्य है, इसलिए, 13 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 3 ही संख्या 13 है, और a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. 3 =1 के बाद से, एल्गोरिथ्म का यह चरण अंतिम है, और संख्या 78 को अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन का रूप 78=2·3·13 (ए=पी 1 ·पी 2 ·पी 3) है।

उत्तर:

78=2·3·13.

उदाहरण।

संख्या 83,006 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

समाधान।

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एल्गोरिथ्म के पहले चरण में, हम p 1 =2 और a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503 पाते हैं, जिसमें से 83,006=2·41,503।

दूसरे चरण में, हमें पता चलता है कि 2, 3 और 5 संख्या a 1 =41,503 के अभाज्य भाजक नहीं हैं, लेकिन संख्या 7 है, क्योंकि 41,503:7=5,929 है। हमारे पास p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929 है। इस प्रकार, 83,006=2 7 5 929।

संख्या a 2 =5 929 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक संख्या 7 है, क्योंकि 5 929:7 = 847 है। इस प्रकार, पी 3 =7, ए 3 =ए 2:पी 3 =5 929:7 = 847, जिसमें से 83 006 = 2·7·7·847।

आगे हम पाते हैं कि संख्या a 3 =847 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 4, 7 के बराबर है। फिर a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, तो 83 006=2·7·7·7·121।

अब हम संख्या a 4 =121 का सबसे छोटा अभाज्य विभाजक पाते हैं, यह संख्या p 5 =11 है (चूंकि 121 11 से विभाज्य है और 7 से विभाज्य नहीं है)। फिर a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, और 83 006=2·7·7·7·11·11.

अंततः, संख्या a 5 =11 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक संख्या p 6 =11 है। फिर a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. 6 =1 के बाद से, किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एल्गोरिथ्म का यह चरण अंतिम है, और वांछित अपघटन का रूप 83 006 = 2·7·7·7·11·11 है।

प्राप्त परिणाम को संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन के रूप में लिखा जा सकता है 83 006 = 2·7 3 ·11 2।

उत्तर:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 एक अभाज्य संख्या है. वास्तव में, इसमें एक भी ऐसा अभाज्य भाजक नहीं है जो (मोटे तौर पर अनुमान लगाया जा सके) से अधिक न हो, क्योंकि यह स्पष्ट है कि 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

उत्तर:

897 924 289 = 937 967 991।

अभाज्य गुणनखंडन के लिए विभाज्यता परीक्षणों का उपयोग करना

साधारण मामलों में, आप इस आलेख के पहले पैराग्राफ से अपघटन एल्गोरिथ्म का उपयोग किए बिना किसी संख्या को अभाज्य कारकों में विघटित कर सकते हैं। यदि संख्याएँ बड़ी नहीं हैं, तो उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए विभाज्यता के संकेतों को जानना अक्सर पर्याप्त होता है। आइए स्पष्टीकरण के लिए उदाहरण दें।

उदाहरण के लिए, हमें संख्या 10 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने की आवश्यकता है। गुणन तालिका से हम जानते हैं कि 2·5=10, और संख्याएँ 2 और 5 स्पष्ट रूप से अभाज्य हैं, इसलिए संख्या 10 का अभाज्य गुणनखंडन 10=2·5 जैसा दिखता है।

एक और उदाहरण। गुणन तालिका का उपयोग करके, हम संख्या 48 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करेंगे। हम जानते हैं कि छह आठ है - अड़तालीस, यानी 48 = 6·8। हालाँकि, न तो 6 और न ही 8 अभाज्य संख्याएँ हैं। लेकिन हम जानते हैं कि दो बार तीन छह है, और दो बार चार आठ है, यानी 6=2·3 और 8=2·4। फिर 48=6·8=2·3·2·4. यह याद रखना बाकी है कि दो गुणा दो चार है, तो हमें अभाज्य गुणनखंड 48 = 2·3·2·2·2 में वांछित अपघटन मिलता है। आइए इस विस्तार को विहित रूप में लिखें: 48=2 4·3.

लेकिन संख्या 3,400 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते समय, आप विभाज्यता मानदंड का उपयोग कर सकते हैं। 10, 100 से विभाज्यता के संकेत हमें यह बताने की अनुमति देते हैं कि 3,400 100 से विभाज्य है, 3,400=34·100 के साथ, और 100 10 से विभाज्य है, 100=10·10 के साथ, इसलिए, 3,400=34·10·10। और 2 से विभाज्यता के परीक्षण के आधार पर, हम कह सकते हैं कि गुणनखंड 34, 10 और 10 में से प्रत्येक 2 से विभाज्य है, हमें मिलता है 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. परिणामी विस्तार के सभी कारक सरल हैं, इसलिए यह विस्तार वांछित है। जो कुछ बचा है वह कारकों को पुनर्व्यवस्थित करना है ताकि वे आरोही क्रम में जा सकें: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. आइए हम इस संख्या के विहित अपघटन को अभाज्य गुणनखंडों में भी लिखें: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

किसी दी गई संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते समय, आप विभाज्यता के चिह्नों और गुणन तालिका दोनों का उपयोग कर सकते हैं। आइए संख्या 75 की कल्पना अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में करें। 5 से विभाज्यता का परीक्षण हमें यह बताने की अनुमति देता है कि 75, 5 से विभाज्य है, और हमें यह प्राप्त होता है कि 75 = 5·15। और गुणन तालिका से हम जानते हैं कि 15=3·5, इसलिए, 75=5·3·5। यह संख्या 75 का अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन है।

ग्रंथ सूची.

• विलेनकिन एन.वाई.ए. और अन्य। गणित। छठी कक्षा: सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।
• विनोग्रादोव आई.एम. संख्या सिद्धांत के मूल सिद्धांत.
• मिखेलोविच श.एच. संख्या सिद्धांत।
• कुलिकोव एल.वाई.ए. और अन्य। बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: भौतिकी और गणित के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक। शैक्षणिक संस्थानों की विशिष्टताएँ।

किसी भी प्राकृतिक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है। यदि आपको 5733 जैसी बड़ी संख्याओं से निपटना पसंद नहीं है, तो सीखें कि उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में कैसे विभाजित किया जाए (इस मामले में, 3 x 3 x 7 x 7 x 13)। इसी तरह की समस्या अक्सर क्रिप्टोग्राफी में सामने आती है, जो सूचना सुरक्षा समस्याओं से संबंधित है। यदि आप अभी तक अपना स्वयं का सुरक्षित ईमेल सिस्टम बनाने के लिए तैयार नहीं हैं, तो संख्याओं को अभाज्य कारकों में विभाजित करना सीखना शुरू करें।

कदम

भाग ---- पहला

प्रमुख कारकों का पता लगाना

1. मूल संख्या से प्रारंभ करें. 3 से बड़ी भाज्य संख्या चुनें। अभाज्य संख्या लेने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि यह केवल स्वयं और एक से विभाज्य है।

   • उदाहरण: आइए संख्या 24 को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में विघटित करें।

2. आइए इस संख्या को दो कारकों के गुणनफल में विघटित करें।आइए दो छोटी संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल मूल संख्या के बराबर हो। आप किसी भी गुणनखंड का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन अभाज्य संख्याओं का उपयोग करना आसान है। एक अच्छा तरीका यह है कि मूल संख्या को पहले 2 से, फिर 3 से, फिर 5 से विभाजित करने का प्रयास करें और जाँच करें कि इनमें से कौन सी अभाज्य संख्या बिना कोई शेष छोड़े विभाज्य है।

   • उदाहरण: यदि आप संख्या 24 के गुणनखंडों को नहीं जानते हैं, तो इसे छोटी अभाज्य संख्याओं में विभाजित करने का प्रयास करें। तो आप पाएंगे कि दी गई संख्या 2: 24 = से विभाज्य है 2 x 12. यह एक अच्छी शुरुआत है।
   • चूँकि 2 एक अभाज्य संख्या है, सम संख्याओं का गुणनखंड करते समय इसका उपयोग करना अच्छा होता है।

3. अपना गुणक वृक्ष बनाना प्रारंभ करें.यह सरल प्रक्रिया आपको किसी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने में मदद करेगी। आरंभ करने के लिए, मूल संख्या से नीचे दो "शाखाएँ" बनाएँ। प्रत्येक शाखा के अंत में आपको मिले कारक लिखें।

   • उदाहरण:

4. संख्याओं की निम्नलिखित श्रृंखला का गुणनखंड करें।दो नई संख्याओं (कारक वृक्ष की दूसरी पंक्ति) पर एक नज़र डालें। क्या वे दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं? यदि उनमें से एक अभाज्य नहीं है, तो उसे भी दो में विभाजित करें। दो और शाखाएँ बनाएँ और पेड़ की तीसरी पंक्ति पर दो नए गुणनखंड लिखें।

   • उदाहरण: 12 एक अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए इसका गुणनखंड अवश्य किया जाना चाहिए। हम विस्तार 12 = 2 x 6 का उपयोग करते हैं और इसे पेड़ की तीसरी पंक्ति में लिखते हैं:
   • 2 x 6

5. पेड़ से नीचे उतरना जारी रखें.यदि नए कारकों में से एक अभाज्य संख्या बन जाता है, तो उसमें से एक "शाखा" निकालें और उसके अंत में वही संख्या लिखें। अभाज्य संख्याएँ छोटी संख्याओं का कारक नहीं होती हैं, इसलिए बस उन्हें एक स्तर नीचे ले जाएँ।

   • उदाहरण: 2 एक अभाज्य संख्या है। बस 2 को दूसरी से तीसरी पंक्ति में ले जाएँ:
   • 2 2 6

6. संख्याओं का गुणनखंडन तब तक जारी रखें जब तक आपके पास केवल अभाज्य संख्याएँ न रह जाएँ।पेड़ की प्रत्येक नई पंक्ति की जाँच करें। यदि कोई नया गुणनखंड अभाज्य संख्या नहीं है, तो उसका गुणनखंड करें और एक नई पंक्ति लिखें। अंततः आपके पास केवल अभाज्य संख्याएँ ही रह जाएँगी।

   • उदाहरण: 6 एक अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए इसे भी गुणनखंडित किया जाना चाहिए। साथ ही, 2 एक अभाज्य संख्या है, और हम दो दो को अगले स्तर तक ले जाते हैं:
   • 2 2 6
   • / / /\
   • 2 2 2 3

7. अंतिम पंक्ति को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखें।अंततः आपके पास केवल अभाज्य संख्याएँ ही रह जाएँगी। जब ऐसा होता है, तो गुणनखंडन पूरा हो जाता है। अंतिम पंक्ति अभाज्य संख्याओं का एक समूह है, जिसका गुणनफल मूल संख्या देता है।

   • अपना उत्तर जांचें: अंतिम पंक्ति में संख्याओं को गुणा करें। परिणाम मूल संख्या होना चाहिए.
   • उदाहरण: गुणनखंड वृक्ष की अंतिम पंक्ति में संख्याएँ 2 और 3 हैं। ये दोनों संख्याएँ अभाज्य हैं, इसलिए गुणनखंडन पूरा हो गया है। इस प्रकार, संख्या 24 का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन इस प्रकार है: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • कारकों का क्रम कोई मायने नहीं रखता. विस्तार को 2 x 3 x 2 x 2 के रूप में भी लिखा जा सकता है।

8. यदि चाहें, तो पावर नोटेशन का उपयोग करके अपने उत्तर को सरल बनाएं।यदि आप संख्याओं को घातों तक बढ़ाने से परिचित हैं, तो आप उत्तर को सरल रूप में लिख सकते हैं। याद रखें कि आधार सबसे नीचे लिखा होता है, और सुपरस्क्रिप्ट संख्या दर्शाती है कि आधार को कितनी बार स्वयं से गुणा किया जाना चाहिए।

   • उदाहरण: पाए गए अपघटन 2 x 2 x 2 x 3 में संख्या 2 कितनी बार प्रकट होती है? तीन बार, इसलिए व्यंजक 2 x 2 x 2 को 2 3 के रूप में लिखा जा सकता है। सरलीकृत संकेतन में हमें मिलता है 2 3 x 3.

   भाग 2

   अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करना

   1. दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) वह अधिकतम संख्या है जो बिना कोई शेष छोड़े दोनों संख्याओं को विभाजित करती है। नीचे दिया गया उदाहरण दिखाता है कि संख्या 30 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड खोजने के लिए अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग कैसे करें।

      • आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें। संख्या 30 के लिए, विस्तार 2 x 3 x 5 है। संख्या 36 को इस प्रकार गुणनखंडित किया गया है: 2 x 2 x 3 x 3।
      • आइए एक संख्या खोजें जो दोनों विस्तारों में दिखाई देती है। आइए इस संख्या को दोनों सूचियों से काट दें और इसे एक नई पंक्ति में लिखें। उदाहरण के लिए, 2 दो विस्तारों में आता है, इसलिए हम लिखते हैं 2 एक नई लाइन पर. इससे हमें 30 = 2 x 3 x 5 और 36 = 2 x 2 x 3 x 3 प्राप्त होता है।
      • इस क्रिया को तब तक दोहराएँ जब तक कि विस्तारों में कोई सामान्य कारक न रह जाएँ। दोनों सूचियों में संख्या 3 भी है, इसलिए आप एक नई पंक्ति में लिख सकते हैं 2 और 3 . इसके बाद, विस्तारों की फिर से तुलना करें: 30 = 2 x 3 x 5 और 36 = 2 x 2 x 3 x 3। जैसा कि आप देख सकते हैं, उनमें कोई सामान्य गुणनखंड नहीं बचा है।
      • सबसे बड़ा सामान्य कारक खोजने के लिए, आपको सभी सामान्य कारकों का उत्पाद ढूंढना होगा। हमारे उदाहरण में यह 2 और 3 है, इसलिए जीसीडी 2 x 3 = है 6 . यह सबसे बड़ी संख्या है जिसे बिना कोई शेष छोड़े 30 और 36 में विभाजित किया जा सकता है।

   2. जीसीडी का उपयोग करके आप भिन्नों को सरल बना सकते हैं।यदि आपको संदेह है कि भिन्न को कम किया जा सकता है, तो सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड का उपयोग करें। ऊपर वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करके, अंश और हर की जीसीडी ज्ञात करें। फिर भिन्न के अंश और हर को उस संख्या से विभाजित करें। परिणामस्वरूप, आपको वही भिन्न सरल रूप में प्राप्त होगी।

      • उदाहरण के लिए, आइए भिन्न 30/36 को सरल बनाएं। जैसा कि हमने ऊपर स्थापित किया है, 30 और 36 के लिए जीसीडी 6 है, इसलिए हम अंश और हर को 6 से विभाजित करते हैं:
      • 30 ÷ 6 = 5
      • 36 ÷ 6 = 6
      • 30 / 36 = 5 / 6

   3. आइए दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें।दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जो बिना कोई शेष छोड़े दी गई दोनों संख्याओं से विभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, 2 और 3 का एलसीएम 6 है क्योंकि यह सबसे छोटी संख्या है जो 2 और 3 से विभाज्य है। नीचे अभाज्य गुणनखंड का उपयोग करके एलसीएम खोजने का एक उदाहरण दिया गया है:

      • आइए दो अभाज्य गुणनखंडों से शुरुआत करें। उदाहरण के लिए, संख्या 126 के लिए, गुणनखंडन 2 x 3 x 3 x 7 के रूप में लिखा जा सकता है। संख्या 84 का गुणनखंडन 2 x 2 x 3 x 7 के रूप में किया जा सकता है।
      • आइए तुलना करें कि प्रत्येक कारक विस्तार में कितनी बार प्रकट होता है। उस सूची का चयन करें जहां गुणक अधिकतम बार दिखाई देता है और उस पर गोला बनाएं। उदाहरण के लिए, संख्या 2 126 के लिए सूची में एक बार और 84 के लिए सूची में दो बार दिखाई देती है, इसलिए आपको गोला बनाना चाहिए 2 x 2गुणकों की दूसरी सूची में.
      • प्रत्येक गुणक के लिए इस चरण को दोहराएँ। उदाहरण के लिए, पहले विस्तार में 3 अधिक बार आता है, इसलिए आपको उस पर गोला बनाना चाहिए 3 x 3. संख्या 7 दोनों सूचियों में एक बार आती है, इसलिए गोला बनाएं 7 (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सी सूची में, यदि कोई दिया गया गुणक दोनों सूचियों में समान संख्या में दिखाई देता है)।
      • एलसीएम ज्ञात करने के लिए, सभी गोलाकार संख्याओं को गुणा करें। हमारे उदाहरण में, 126 और 84 का लघुत्तम समापवर्त्य है 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. यह सबसे छोटी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के 126 और 84 से विभाज्य है।

   4. भिन्नों को जोड़ने के लिए LCM का उपयोग करें.दो भिन्नों को जोड़ते समय, आपको उन्हें एक सामान्य हर में लाना होगा। ऐसा करने के लिए, दो हरों का एलसीएम ज्ञात करें। फिर प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को इतनी संख्या से गुणा करें कि भिन्न के हर LCM के बराबर हो जाएं। इसके बाद आप भिन्नों को जोड़ सकते हैं.

      • उदाहरण के लिए, आपको योग 1/6 + 4/21 ज्ञात करना होगा।
      • उपरोक्त विधि का उपयोग करके, आप 6 और 21 के लिए एलसीएम पा सकते हैं। यह 42 के बराबर है।
      • आइए भिन्न को 1/6 में बदलें ताकि इसका हर 42 के बराबर हो। ऐसा करने के लिए, आपको 42 को 6: 42 ÷ 6 = 7 से विभाजित करना होगा। अब भिन्न के अंश और हर को 7 से गुणा करें: 1/6 x 7/7 = 7/42.
      • दूसरे भिन्न को हर 42 पर लाने के लिए, 42 को 21: 42 ÷ 21 = 2 से विभाजित करें। भिन्न के अंश और हर को 2: 4 / 21 x 2 / 2 = 8 / 42 से गुणा करें।
      • एक बार जब भिन्नों को एक ही हर में घटा दिया जाता है, तो उन्हें आसानी से जोड़ा जा सकता है: 7/42 + 8/42 = 15/42।