निर्देशांक तल xoy पर। समीकरणों और असमानताओं का उपयोग करके निर्देशांक तल पर आकृतियों को परिभाषित करना। निर्देशांक तल के उदाहरण

• दो परस्पर लंबवत समन्वय रेखाएँ बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं - संदर्भ का मूल, रूप आयताकार समन्वय प्रणाली, जिसे कार्टेशियन समन्वय प्रणाली भी कहा जाता है।
• वह तल जिस पर समन्वय प्रणाली चुनी जाती है, कहलाती है विमान का समन्वय।निर्देशांक रेखाएँ कहलाती हैं समायोजन ध्रुव. क्षैतिज अक्ष भुज अक्ष (Ox) है, ऊर्ध्वाधर अक्ष कोटि अक्ष (Oy) है।
• निर्देशांक अक्ष निर्देशांक तल को चार भागों - चौथाई में विभाजित करते हैं। क्वार्टरों की क्रम संख्या आमतौर पर वामावर्त में गिनी जाती है।
• निर्देशांक तल में कोई भी बिंदु उसके निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट होता है - भुज और समन्वय. उदाहरण के लिए, ए(3; 4). पढ़ें: निर्देशांक 3 और 4 के साथ बिंदु A। यहां 3 भुज है, 4 कोटि है।

I. बिंदु A(3; 4) का निर्माण।

सूच्याकार आकृति का भुज 3 दिखाता है कि उलटी गिनती की शुरुआत से - बिंदु O को दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है 3 इकाई खंड, और फिर इसे ऊपर रखें 4 इकाई खंड और एक बिंदु लगाएं।

यही वह बिंदु है ए(3; 4).

बिंदु B(-2; 5) का निर्माण।

शून्य से हम बायीं ओर बढ़ते हैं 2 एकल खंड और फिर ऊपर 5 एकल खंड.

आइए इसे ख़त्म करें में.

आमतौर पर एक इकाई खंड लिया जाता है 1 सेल.

द्वितीय. xOy निर्देशांक तल में बिंदु बनाएं:

ए (-3; 1);बी(-1;-2);

सी(-2:4);डी (2; 3);

एफ(6:4);के(4; 0)

तृतीय. निर्मित बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें: ए, बी, सी, डी, एफ, के।

ए(-4; 3);20 में);

सी(3; 4);डी (6; 5);

एफ (0; -3);के (5; -2).

गणित एक जटिल विज्ञान है। इसका अध्ययन करते समय, आपको न केवल उदाहरणों और समस्याओं को हल करना होगा, बल्कि विभिन्न आकृतियों और यहां तक ​​कि विमानों के साथ भी काम करना होगा। गणित में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली प्रणालियों में से एक समतल पर समन्वय प्रणाली है। बच्चों को एक वर्ष से अधिक समय से इसके साथ सही ढंग से काम करना सिखाया गया है। इसलिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि यह क्या है और इसके साथ सही तरीके से कैसे काम किया जाए।

आइए जानें कि यह प्रणाली क्या है, इसकी सहायता से कौन से कार्य किए जा सकते हैं, और इसकी मुख्य विशेषताओं और विशेषताओं का भी पता लगाएं।

अवधारणा की परिभाषा

एक समन्वय विमान एक ऐसा विमान है जिस पर एक विशिष्ट समन्वय प्रणाली निर्दिष्ट होती है। ऐसे समतल को समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाली दो सीधी रेखाओं द्वारा परिभाषित किया जाता है। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर निर्देशांक की उत्पत्ति होती है। निर्देशांक तल पर प्रत्येक बिंदु संख्याओं की एक जोड़ी द्वारा निर्दिष्ट होता है जिसे निर्देशांक कहा जाता है।

स्कूली गणित पाठ्यक्रम में, स्कूली बच्चों को एक समन्वय प्रणाली के साथ काफी निकटता से काम करना होता है - उस पर आंकड़े और बिंदु बनाना, यह निर्धारित करना कि एक विशेष समन्वय किस विमान से संबंधित है, साथ ही एक बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करना और उन्हें लिखना या नाम देना है। इसलिए, आइए निर्देशांक की सभी विशेषताओं के बारे में अधिक विस्तार से बात करें। लेकिन पहले, आइए सृष्टि के इतिहास पर बात करें, और फिर हम समन्वय तल पर कैसे काम करें, इसके बारे में बात करेंगे।

ऐतिहासिक सन्दर्भ

एक समन्वय प्रणाली बनाने के बारे में विचार टॉलेमी के समय में मौजूद थे। तब भी, खगोलशास्त्री और गणितज्ञ इस बारे में सोच रहे थे कि किसी समतल पर एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करना कैसे सीखा जाए। दुर्भाग्य से, उस समय हमें ज्ञात कोई समन्वय प्रणाली नहीं थी, और वैज्ञानिकों को अन्य प्रणालियों का उपयोग करना पड़ा।

प्रारंभ में, उन्होंने अक्षांश और देशांतर का उपयोग करके बिंदु निर्दिष्ट किए। लंबे समय तक, किसी मानचित्र पर इस या उस जानकारी को अंकित करने के लिए यह सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक थी। लेकिन 1637 में, रेने डेसकार्टेस ने अपनी स्वयं की समन्वय प्रणाली बनाई, जिसे बाद में "कार्टेशियन" नाम दिया गया।

पहले से ही 17वीं शताब्दी के अंत में। गणित की दुनिया में "निर्देशांक तल" की अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इस तथ्य के बावजूद कि इस प्रणाली के निर्माण के बाद से कई शताब्दियां बीत चुकी हैं, यह अभी भी गणित और यहां तक ​​कि जीवन में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

निर्देशांक तल के उदाहरण

इससे पहले कि हम सिद्धांत के बारे में बात करें, हम निर्देशांक तल के कुछ दृश्य उदाहरण देंगे ताकि आप इसकी कल्पना कर सकें। समन्वय प्रणाली का उपयोग मुख्य रूप से शतरंज में किया जाता है। बोर्ड पर, प्रत्येक वर्ग के अपने निर्देशांक होते हैं - एक निर्देशांक वर्णमाला है, दूसरा डिजिटल है। इसकी सहायता से आप बोर्ड पर किसी विशेष टुकड़े की स्थिति निर्धारित कर सकते हैं।

दूसरा सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण प्रिय खेल "बैटलशिप" है। याद रखें कि कैसे, खेलते समय, आप एक निर्देशांक को नाम देते हैं, उदाहरण के लिए, बी3, इस प्रकार यह दर्शाता है कि आप वास्तव में कहाँ लक्ष्य कर रहे हैं। उसी समय, जहाजों को रखते समय, आप समन्वय तल पर बिंदु निर्दिष्ट करते हैं।

यह समन्वय प्रणाली न केवल गणित और तर्क खेलों में, बल्कि सैन्य मामलों, खगोल विज्ञान, भौतिकी और कई अन्य विज्ञानों में भी व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।

समायोजन ध्रुव

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, समन्वय प्रणाली में दो अक्ष हैं। आइए उनके बारे में थोड़ी बात करें, क्योंकि उनका काफी महत्व है।

पहली धुरी भुज - क्षैतिज है। इसे इस प्रकार दर्शाया गया है ( बैल). दूसरी धुरी कोटि है, जो संदर्भ बिंदु के माध्यम से लंबवत चलती है और इसे ( ओए). ये दो अक्ष हैं जो समन्वय प्रणाली बनाते हैं, जो विमान को चार तिमाहियों में विभाजित करते हैं। मूल इन दो अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है और मान लेता है 0 . केवल यदि विमान दो अक्षों द्वारा बनाया गया है जो लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करते हैं और एक संदर्भ बिंदु रखते हैं, तो क्या यह एक समन्वय विमान है।

यह भी ध्यान दें कि प्रत्येक अक्ष की अपनी दिशा होती है। आमतौर पर, एक समन्वय प्रणाली का निर्माण करते समय, तीर के रूप में अक्ष की दिशा को इंगित करने की प्रथा है। इसके अलावा, एक समन्वय विमान का निर्माण करते समय, प्रत्येक अक्ष पर हस्ताक्षर किए जाते हैं।

क्वार्टरों

आइए अब निर्देशांक तल के चतुर्थांश जैसी अवधारणा के बारे में कुछ शब्द कहें। विमान को दो अक्षों द्वारा चार भागों में विभाजित किया गया है। उनमें से प्रत्येक की अपनी संख्या होती है, और विमानों को वामावर्त क्रमांकित किया जाता है।

प्रत्येक तिमाही की अपनी-अपनी विशेषताएँ होती हैं। तो, पहली तिमाही में भुज और कोटि सकारात्मक हैं, दूसरी तिमाही में भुज और कोटि सकारात्मक हैं, तीसरी में भुज और कोटि दोनों नकारात्मक हैं, चौथे में भुज और कोटि नकारात्मक हैं .

इन विशेषताओं को याद करके, आप आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई विशेष बिंदु किस तिमाही से संबंधित है। इसके अलावा, यदि आपको कार्टेशियन प्रणाली का उपयोग करके गणना करनी है तो यह जानकारी आपके लिए उपयोगी हो सकती है।

समन्वय तल के साथ कार्य करना

जब हमने एक विमान की अवधारणा को समझ लिया है और इसके क्वार्टरों के बारे में बात की है, तो हम इस प्रणाली के साथ काम करने जैसी समस्या पर आगे बढ़ सकते हैं, और इस पर अंकों के बिंदुओं और निर्देशांकों को कैसे रखा जाए, इसके बारे में भी बात कर सकते हैं। समन्वय तल पर, यह उतना कठिन नहीं है जितना पहली नज़र में लग सकता है।

सबसे पहले, सिस्टम स्वयं बनाया जाता है, सभी महत्वपूर्ण पदनाम उस पर लागू होते हैं। फिर हम सीधे बिंदुओं या आकृतियों के साथ काम करते हैं। इसके अलावा, आकृतियाँ बनाते समय भी, पहले तल पर बिंदु खींचे जाते हैं, और फिर आकृतियाँ खींची जाती हैं।

विमान निर्माण के नियम

यदि आप कागज पर आकृतियों और बिंदुओं को अंकित करना शुरू करने का निर्णय लेते हैं, तो आपको एक समन्वय विमान की आवश्यकता होगी। बिंदुओं के निर्देशांक इस पर अंकित हैं। एक समन्वय विमान बनाने के लिए, आपको केवल एक रूलर और एक पेन या पेंसिल की आवश्यकता होती है। सबसे पहले, क्षैतिज x-अक्ष खींचा जाता है, फिर ऊर्ध्वाधर अक्ष खींचा जाता है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि अक्ष समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।

अगली अनिवार्य वस्तु चिह्न लगाना है। दोनों दिशाओं में प्रत्येक अक्ष पर, इकाई खंडों को चिह्नित और लेबल किया जाता है। ऐसा इसलिए किया जाता है ताकि आप अधिकतम सुविधा के साथ विमान के साथ काम कर सकें।

एक बिंदु चिन्हित करें

अब बात करते हैं कि निर्देशांक तल पर बिंदुओं के निर्देशांक कैसे अंकित करें। यह वह बुनियादी बातें हैं जो आपको विभिन्न आकृतियों को एक समतल पर सफलतापूर्वक रखने और यहां तक ​​कि समीकरणों को चिह्नित करने के लिए जानने की आवश्यकता है।

बिंदु बनाते समय, आपको यह याद रखना चाहिए कि उनके निर्देशांक सही ढंग से कैसे लिखे गए हैं। इसलिए, आमतौर पर किसी बिंदु को निर्दिष्ट करते समय, दो संख्याएँ कोष्ठक में लिखी जाती हैं। पहला अंक भुज अक्ष के साथ बिंदु के निर्देशांक को इंगित करता है, दूसरा - कोटि अक्ष के साथ।

बिंदु का निर्माण इस प्रकार किया जाना चाहिए। अक्ष पर पहला निशान बैलनिर्दिष्ट बिंदु, फिर अक्ष पर बिंदु अंकित करें ओए. इसके बाद, इन पदनामों से काल्पनिक रेखाएँ खींचें और वह स्थान खोजें जहाँ वे प्रतिच्छेद करती हैं - यह दिया गया बिंदु होगा।

आपको बस इसे चिह्नित करना और हस्ताक्षर करना है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ काफी सरल है और इसके लिए किसी विशेष कौशल की आवश्यकता नहीं है।

आकृति रखें

अब आइए समन्वय तल पर आकृतियाँ बनाने के मुद्दे पर आगे बढ़ें। निर्देशांक तल पर कोई भी आकृति बनाने के लिए, आपको पता होना चाहिए कि उस पर बिंदु कैसे लगाए जाएं। यदि आप जानते हैं कि यह कैसे करना है, तो एक विमान पर एक आकृति रखना इतना मुश्किल नहीं है।

सबसे पहले, आपको आकृति के बिंदुओं के निर्देशांक की आवश्यकता होगी। यह उनके अनुसार है कि आपने जो चुना है उसे हम अपनी समन्वय प्रणाली में लागू करेंगे। आइए एक आयत, एक त्रिकोण और एक वृत्त के अनुप्रयोग पर विचार करें।

आइए एक आयत से शुरू करें। इसे लगाना काफी आसान है. सबसे पहले, समतल पर चार बिंदु अंकित किए जाते हैं, जो आयत के कोनों को दर्शाते हैं। फिर सभी बिन्दुओं को क्रमानुसार एक दूसरे से जोड़ दिया जाता है।

त्रिभुज बनाना कोई अलग बात नहीं है. एकमात्र बात यह है कि इसके तीन कोण हैं, जिसका अर्थ है कि विमान पर तीन बिंदु अंकित हैं, जो इसके शीर्षों को दर्शाते हैं।

वृत्त के संबंध में, आपको दो बिंदुओं के निर्देशांक पता होने चाहिए। पहला बिंदु वृत्त का केंद्र है, दूसरा उसकी त्रिज्या को दर्शाने वाला बिंदु है। ये दो बिंदु समतल पर अंकित हैं। फिर एक कम्पास लें और दो बिंदुओं के बीच की दूरी मापें। कम्पास के बिंदु को केंद्र को चिह्नित करने वाले बिंदु पर रखा गया है, और एक वृत्त का वर्णन किया गया है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां कुछ भी जटिल नहीं है, मुख्य बात यह है कि आपके पास हमेशा एक शासक और कम्पास है।

अब आप जानते हैं कि आकृतियों के निर्देशांक कैसे अंकित किये जाते हैं। समन्वय तल पर ऐसा करना उतना कठिन नहीं है जितना पहली नज़र में लग सकता है।

निष्कर्ष

इसलिए, हमने गणित की सबसे दिलचस्प और बुनियादी अवधारणाओं में से एक पर गौर किया है जिससे हर स्कूली बच्चे को निपटना पड़ता है।

हमने पाया है कि निर्देशांक तल दो अक्षों के प्रतिच्छेदन से बना एक तल है। इसकी सहायता से आप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित कर सकते हैं और उस पर आकृतियाँ बना सकते हैं। विमान को क्वार्टरों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक की अपनी विशेषताएं हैं।

समन्वय विमान के साथ काम करते समय जो मुख्य कौशल विकसित किया जाना चाहिए, वह उस पर दिए गए बिंदुओं को सही ढंग से चित्रित करने की क्षमता है। ऐसा करने के लिए, आपको अक्षों का सही स्थान, क्वार्टरों की विशेषताएं, साथ ही उन नियमों को जानना चाहिए जिनके द्वारा बिंदुओं के निर्देशांक निर्दिष्ट किए जाते हैं।

हम आशा करते हैं कि हमने जो जानकारी प्रस्तुत की वह सुलभ और समझने योग्य थी, और आपके लिए उपयोगी भी थी और इस विषय को बेहतर ढंग से समझने में आपकी मदद की।

इसे दिया जाए दो चर F(x; y) वाला समीकरण. आप ऐसे समीकरणों को विश्लेषणात्मक रूप से हल करने के तरीकों से पहले ही परिचित हो चुके हैं। ऐसे समीकरणों के कई समाधानों को ग्राफ़ के रूप में दर्शाया जा सकता है।

समीकरण F(x; y) का ग्राफ निर्देशांक तल xOy पर बिंदुओं का समूह है जिनके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

दो चर वाले समीकरणों को ग्राफ़ करने के लिए, पहले समीकरण में y चर को x चर के रूप में व्यक्त करें।

निश्चित रूप से आप पहले से ही जानते हैं कि दो चर वाले समीकरणों के विभिन्न ग्राफ़ कैसे बनाएं: ax + b = c - सीधी रेखा, yx = k - हाइपरबोला, (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 - वृत्त जिसकी त्रिज्या R के बराबर है, और केंद्र बिंदु O(a; b) पर है।

उदाहरण 1।

समीकरण x 2 – 9y 2 = 0 का ग्राफ़ बनाएं।

समाधान।

आइए समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें।

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, यानी y = x/3 या y = -x/3.

उत्तर: चित्र 1.

निरपेक्ष मान के चिह्न वाले समीकरणों के साथ समतल पर आकृतियों को परिभाषित करने में एक विशेष स्थान का कब्जा है, जिस पर हम विस्तार से ध्यान देंगे। आइए |y| रूप के समीकरणों के ग्राफ़ बनाने के चरणों पर विचार करें = f(x) और |y| = |एफ(एक्स)|

पहला समीकरण निकाय के समतुल्य है

(एफ(एक्स) ≥ 0,
(y = f(x) या y = -f(x).

अर्थात्, इसके ग्राफ़ में दो फ़ंक्शन के ग्राफ़ शामिल हैं: y = f(x) और y = -f(x), जहां f(x) ≥ 0.

दूसरा समीकरण आलेखित करने के लिए, दो फलन आलेखित करें: y = f(x) और y = -f(x)।

उदाहरण 2.

समीकरण को आलेखित करें |y| = 2 + एक्स.

समाधान।

दिया गया समीकरण निकाय के समतुल्य है

(एक्स + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 या y = -x – 2.

हम कई बिंदु बनाते हैं.

उत्तर: चित्र 2.

उदाहरण 3.

समीकरण आलेखित करें |y – x| = 1.

समाधान।

यदि y ≥ x, तो y = x + 1, यदि y ≤ x, तो y = x – 1.

उत्तर: चित्र 3.

मापांक चिह्न के तहत एक चर वाले समीकरणों के ग्राफ़ का निर्माण करते समय, इसका उपयोग करना सुविधाजनक और तर्कसंगत है क्षेत्र विधि, समन्वय विमान को भागों में विभाजित करने पर आधारित है जिसमें प्रत्येक सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति अपना चिह्न बरकरार रखती है।

उदाहरण 4.

समीकरण x + |x| को आलेखित करें + y + |y| = 2.

समाधान।

इस उदाहरण में, प्रत्येक सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति का चिह्न निर्देशांक चतुर्थांश पर निर्भर करता है।

1) पहले समन्वय तिमाही में x ≥ 0 और y ≥ 0। मॉड्यूल का विस्तार करने के बाद, दिया गया समीकरण इस तरह दिखेगा:

2x + 2y = 2, और सरलीकरण के बाद x + y = 1.

2) दूसरी तिमाही में, जहां x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) तीसरी तिमाही में x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) चौथी तिमाही में, जब x ≥ 0, और y< 0 получим, что x = 1.

हम इस समीकरण को तिमाहियों के आधार पर आलेखित करेंगे।

उत्तर: चित्र 4.

उदाहरण 5.

बिंदुओं का एक समूह बनाएं जिनके निर्देशांक समानता |x – 1| को संतुष्ट करते हैं + |य – 1| = 1.

समाधान।

सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति x = 1 और y = 1 के शून्य निर्देशांक तल को चार क्षेत्रों में विभाजित करते हैं। आइए मॉड्यूल को क्षेत्र के अनुसार विभाजित करें। आइए इसे एक तालिका के रूप में व्यवस्थित करें।

क्षेत्र	सबमॉड्यूलर अभिव्यक्ति चिह्न	मॉड्यूल का विस्तार करने के बाद परिणामी समीकरण
मैं	x ≥ 1 और y ≥ 1	एक्स + वाई = 3
द्वितीय	एक्स< 1 и y ≥ 1	-एक्स + वाई = 1
तृतीय	एक्स< 1 и y < 1	एक्स + वाई = 1
चतुर्थ	x ≥ 1 और y< 1	एक्स - वाई = 1

उत्तर: चित्र 5.

निर्देशांक तल पर, आंकड़े निर्दिष्ट किए जा सकते हैं और असमानता.

असमानता का ग्राफदो चर के साथ निर्देशांक तल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिनके निर्देशांक इस असमानता का समाधान हैं।

चलो गौर करते हैं दो चर के साथ असमानताओं को हल करने के लिए एक मॉडल के निर्माण के लिए एल्गोरिदम:

1. असमानता के अनुरूप समीकरण लिखिए।
2. चरण 1 से समीकरण का रेखांकन करें।
3. अर्ध-तलों में से किसी एक में एक मनमाना बिंदु चुनें। जांचें कि क्या चयनित बिंदु के निर्देशांक इस असमानता को संतुष्ट करते हैं।
4. असमानता के सभी समाधानों का ग्राफ़िक रूप से सेट बनाएं।

आइए पहले असमानता ax + bx + c > 0 पर विचार करें। समीकरण ax + bx + c = 0 समतल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करने वाली एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। उनमें से प्रत्येक में, फ़ंक्शन f(x) = ax + bx + c अपना चिह्न बरकरार रखता है। इस चिन्ह को निर्धारित करने के लिए, आधे तल से संबंधित किसी भी बिंदु को लेना और इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करना पर्याप्त है। यदि फ़ंक्शन का चिह्न असमानता के चिह्न के साथ मेल खाता है, तो यह अर्ध-तल असमानता का समाधान होगा।

आइए दो चर वाली सबसे सामान्य असमानताओं के ग्राफिकल समाधानों के उदाहरण देखें।

1) कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी ≥ 0. चित्र 6.

2) |x| ≤ ए, ए > 0. चित्र 7.

3) एक्स 2 + वाई 2 ≤ ए, ए > 0. आंकड़ा 8.

4) आप ≥ एक्स 2 . चित्र 9.

5) xy ≤ 1. चित्र 10.

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एक समान मूल (निर्देशांक की उत्पत्ति) और लंबाई की एक सामान्य इकाई के साथ एक दूसरे के लंबवत दो या तीन प्रतिच्छेदी अक्षों की एक क्रमबद्ध प्रणाली को कहा जाता है आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली .

सामान्य कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (एफ़िन समन्वय प्रणाली) आवश्यक रूप से लंबवत अक्ष शामिल नहीं हो सकते। फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस (1596-1662) के सम्मान में, ऐसी समन्वय प्रणाली का नाम दिया गया है जिसमें सभी अक्षों पर लंबाई की एक सामान्य इकाई मापी जाती है और अक्ष सीधे होते हैं।

एक समतल पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली दो अक्ष हैं और अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली - तीन अक्ष. किसी समतल या अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को निर्देशांक के एक क्रमबद्ध सेट द्वारा परिभाषित किया जाता है - समन्वय प्रणाली की लंबाई की इकाई के अनुरूप संख्याएँ।

ध्यान दें कि, परिभाषा के अनुसार, एक सीधी रेखा पर, यानी एक आयाम में, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली होती है। एक रेखा पर कार्टेशियन निर्देशांक का परिचय उन तरीकों में से एक है जिसके द्वारा एक रेखा पर कोई भी बिंदु एक अच्छी तरह से परिभाषित वास्तविक संख्या, यानी एक समन्वय के साथ जुड़ा हुआ है।

समन्वय पद्धति, जो रेने डेसकार्टेस के कार्यों में उत्पन्न हुई, ने सभी गणित के एक क्रांतिकारी पुनर्गठन को चिह्नित किया। ज्यामितीय छवियों (ग्राफ़) के रूप में बीजगणितीय समीकरणों (या असमानताओं) की व्याख्या करना और, इसके विपरीत, विश्लेषणात्मक सूत्रों और समीकरणों की प्रणालियों का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं के समाधान ढूंढना संभव हो गया। हाँ, असमानता जेड < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyऔर इस तल से 3 इकाई ऊपर स्थित है।

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करते हुए, किसी दिए गए वक्र पर एक बिंदु की सदस्यता इस तथ्य से मेल खाती है कि संख्याएं एक्सऔर यकुछ समीकरण संतुष्ट करें. इस प्रकार, किसी दिए गए बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक ( ए; बी) समीकरण को संतुष्ट करें (एक्स - ए)² + ( य - बी)² = आर² .

एक समतल पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली

एक समान मूल और समान स्केल इकाई वाले एक समतल पर दो लंबवत अक्ष बनते हैं समतल पर कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली . इनमें से एक अक्ष को अक्ष कहा जाता है बैल, या X- अक्ष , अन्य - धुरी ओए, या शाफ़्ट . इन अक्षों को निर्देशांक अक्ष भी कहा जाता है। आइए हम इसे निरूपित करें एमएक्सऔर एमयक्रमशः, एक मनमाना बिंदु का प्रक्षेपण एमअक्ष पर बैलऔर ओए. प्रक्षेपण कैसे प्राप्त करें? आइए मुद्दे पर चलते हैं एम बैल. यह सीधी रेखा अक्ष को काटती है बैलबिंदु पर एमएक्स. आइए मुद्दे पर चलते हैं एमअक्ष के लंबवत् सीधी रेखा ओए. यह सीधी रेखा अक्ष को काटती है ओएबिंदु पर एमय. यह नीचे चित्र में दिखाया गया है.

एक्सऔर यअंक एमहम तदनुसार निर्देशित खंडों के मूल्यों को कॉल करेंगे ॐएक्सऔर ॐय. इन निर्देशित खंडों के मूल्यों की गणना तदनुसार की जाती है एक्स = एक्स0 - 0 और य = य0 - 0 . कार्तीय निर्देशांक एक्सऔर यअंक एम सूच्याकार आकृति का भुज और तालमेल . तथ्य यह है कि बात एमनिर्देशांक हैं एक्सऔर य, को इस प्रकार दर्शाया गया है: एम(एक्स, य) .

निर्देशांक अक्ष समतल को चार भागों में विभाजित करते हैं वृत्त का चतुर्थ भाग , जिसकी संख्या नीचे दिए गए चित्र में दिखाई गई है। यह किसी विशेष चतुर्थांश में उनके स्थान के आधार पर बिंदुओं के निर्देशांक के लिए संकेतों की व्यवस्था को भी दर्शाता है।

एक समतल पर कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक के अलावा, ध्रुवीय समन्वय प्रणाली पर भी अक्सर विचार किया जाता है। एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में संक्रमण की विधि के बारे में - पाठ में ध्रुवीय समन्वय प्रणाली .

अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली

अंतरिक्ष में कार्तीय निर्देशांक को समतल में कार्तीय निर्देशांक के साथ पूर्ण सादृश्य में पेश किया जाता है।

एक समान मूल के साथ अंतरिक्ष में तीन परस्पर लंबवत अक्ष (समन्वय अक्ष)। हेऔर समान पैमाने की इकाई के साथ वे बनते हैं अंतरिक्ष में कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली .

इनमें से एक अक्ष को अक्ष कहा जाता है बैल, या X- अक्ष , अन्य - धुरी ओए, या शाफ़्ट , तीसरा - अक्ष आउंस, या अक्ष अनुप्रयोग . होने देना एमएक्स, एमय एमजेड- एक मनमाने बिंदु का प्रक्षेपण एमअक्ष पर स्थान बैल , ओएऔर आउंसक्रमश।

आइए मुद्दे पर चलते हैं एम बैलबैलबिंदु पर एमएक्स. आइए मुद्दे पर चलते हैं एमअक्ष के लंबवत समतल ओए. यह तल अक्ष को प्रतिच्छेद करता है ओएबिंदु पर एमय. आइए मुद्दे पर चलते हैं एमअक्ष के लंबवत समतल आउंस. यह तल अक्ष को प्रतिच्छेद करता है आउंसबिंदु पर एमजेड.

कार्तीय आयताकार निर्देशांक एक्स , यऔर जेडअंक एमहम तदनुसार निर्देशित खंडों के मूल्यों को कॉल करेंगे ॐएक्स, ॐयऔर ॐजेड. इन निर्देशित खंडों के मूल्यों की गणना तदनुसार की जाती है एक्स = एक्स0 - 0 , य = य0 - 0 और जेड = जेड0 - 0 .

कार्तीय निर्देशांक एक्स , यऔर जेडअंक एमतदनुसार बुलाया जाता है सूच्याकार आकृति का भुज , तालमेल और आवेदन करें .

जोड़े में लिए गए निर्देशांक अक्ष निर्देशांक तलों में स्थित होते हैं xOy , yOzऔर ज़ोक्स .

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के बारे में समस्याएं

उदाहरण 1।

ए(2; -3) ;

बी(3; -1) ;

सी(-5; 1) .

भुज अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान। इस पाठ के सैद्धांतिक भाग के अनुसार, भुज अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण भुज अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष बैल, और इसलिए बिंदु के भुज के बराबर एक भुज है, और एक कोटि (अक्ष पर निर्देशांक) है ओए, जिसे x-अक्ष बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करता है), जो शून्य के बराबर है। तो हमें x-अक्ष पर इन बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं:

एएक्स(2;0);

बीएक्स(3;0);

सीएक्स (-5; 0).

उदाहरण 2.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(-3; 2) ;

बी(-5; 1) ;

सी(3; -2) .

कोटि अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान। इस पाठ के सैद्धांतिक भाग के अनुसार, कोटि अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कोटि अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष ओए, और इसलिए इसकी एक कोटि बिंदु की कोटि के बराबर होती है, और एक भुज (अक्ष पर निर्देशांक) होता है बैल, जिसे कोटि अक्ष बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करता है), जो शून्य के बराबर है। तो हमें कोटि अक्ष पर इन बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं:

एआप(0;2);

बीआप(0;1);

सीआप(0;-2).

उदाहरण 3.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(2; 3) ;

बी(-3; 2) ;

सी(-1; -1) .

बैल .

बैल बैल बैल, दिए गए बिंदु के समान भुज होगा, और दिए गए बिंदु की कोटि के निरपेक्ष मान के बराबर और चिह्न में विपरीत कोटि होगी। तो हमें अक्ष के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं बैल :

ए"(2; -3) ;

बी"(-3; -2) ;

सी"(-1; 1) .

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करके समस्याओं को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 4.निर्धारित करें कि किस चतुर्थांश में (क्वार्टर, चतुर्भुज के साथ आरेखण - पैराग्राफ के अंत में "एक समतल पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली") एक बिंदु स्थित हो सकता है एम(एक्स; य) , अगर

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) एक्स − य = 0 ;

4) एक्स + य = 0 ;

5) एक्स + य > 0 ;

6) एक्स + य < 0 ;

7) एक्स − य > 0 ;

8) एक्स − य < 0 .

उदाहरण 5.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(-2; 5) ;

बी(3; -5) ;

सी(ए; बी) .

अक्ष के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ओए .

आइए मिलकर समस्याओं का समाधान करना जारी रखें

उदाहरण 6.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(-1; 2) ;

बी(3; -1) ;

सी(-2; -2) .

अक्ष के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ओए .

समाधान। अक्ष के चारों ओर 180 डिग्री घुमाएँ ओएअक्ष से दिशात्मक खंड ओएयहां तक। चित्र में, जहां समतल के चतुर्थांश दर्शाए गए हैं, हम देखते हैं कि अक्ष के सापेक्ष बिंदु दिए गए बिंदु के सममित है ओए, दिए गए बिंदु के समान कोटि होगी, और एक भुज, दिए गए बिंदु के भुज के निरपेक्ष मान के बराबर और चिह्न में विपरीत होगा। तो हमें अक्ष के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ओए :

ए"(1; 2) ;

बी"(-3; -1) ;

सी"(2; -2) .

उदाहरण 7.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(3; 3) ;

बी(2; -4) ;

सी(-2; 1) .

मूल बिंदु के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम मूल बिंदु से दिए गए बिंदु तक जाने वाले निर्देशित खंड को मूल के चारों ओर 180 डिग्री तक घुमाते हैं। चित्र में, जहां समतल के चतुर्भुजों को दर्शाया गया है, हम देखते हैं कि निर्देशांक की उत्पत्ति के सापेक्ष दिए गए बिंदु के सममित बिंदु में एक भुज और कोटि होगा जो दिए गए बिंदु के भुज और कोटि के निरपेक्ष मान के बराबर होगा, लेकिन संकेत में विपरीत. तो हमें मूल बिंदु के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं:

ए"(-3; -3) ;

बी"(-2; 4) ;

सी(2; -1) .

उदाहरण 8.

ए(4; 3; 5) ;

बी(-3; 2; 1) ;

सी(2; -3; 0) .

इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निर्देशांक खोजें:

1) हवाई जहाज़ पर ऑक्सी ;

2) हवाई जहाज़ पर ऑक्सज़ ;

3) विमान को ओयज़ ;

4) भुज अक्ष पर;

5) कोटि अक्ष पर;

6) आवेदन अक्ष पर।

1) एक बिंदु का समतल पर प्रक्षेपण ऑक्सीइस तल पर ही स्थित है, और इसलिए इसमें एक दिए गए बिंदु के भुज और कोटि के बराबर एक भुज और कोटि है, और शून्य के बराबर एक अनुप्रयोग है। तो हमें इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सी :

एxy (4; 3; 0);

बीxy (-3; 2; 0);

सीxy(2;-3;0).

2) एक बिंदु का समतल पर प्रक्षेपण ऑक्सज़इस तल पर ही स्थित है, और इसलिए इसमें दिए गए बिंदु के भुज और अनुपूरक के बराबर एक भुज और अनुपूरक है, और शून्य के बराबर एक कोटि है। तो हमें इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सज़ :

एxz (4; 0; 5);

बीxz (-3; 0; 1);

सीxz (2; 0; 0).

3) एक बिंदु का समतल पर प्रक्षेपण ओयज़इस तल पर ही स्थित है, और इसलिए इसकी कोटि और अनुपूरक किसी दिए गए बिंदु की कोटि और अनुप्रयुक्त के बराबर है, और भुज शून्य के बराबर है। तो हमें इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ओयज़ :

एyz(0; 3; 5);

बीyz (0; 2; 1);

सीyz (0; -3; 0).

4) इस पाठ के सैद्धांतिक भाग के अनुसार, भुज अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण भुज अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष बैल, और इसलिए इसका भुज स्वयं बिंदु के भुज के बराबर होता है, और प्रक्षेपण की कोटि और अनुप्रयुक्त अक्ष शून्य के बराबर होते हैं (क्योंकि कोटि और अनुप्रयुक्त अक्ष भुज को बिंदु 0 पर काटते हैं)। हम भुज अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

एएक्स(4;0;0);

बीएक्स (-3; 0; 0);

सीएक्स(2;0;0).

5) कोटि अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कोटि अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष ओए, और इसलिए इसकी कोटि स्वयं बिंदु की कोटि के बराबर होती है, और प्रक्षेपण के भुज और अनुप्रयुक्त अक्ष शून्य के बराबर होते हैं (चूंकि भुज और अनुप्रयुक्त अक्ष कोटि अक्ष को बिंदु 0 पर काटते हैं)। हम कोटि अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

एआप(0; 3; 0);

बीय (0; 2; 0);

सीy(0;-3;0).

6) एप्लिकेट अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण एप्लिकेट अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष आउंस, और इसलिए इसका एप्लिकेट बिंदु के एप्लिकेट के बराबर है, और प्रक्षेपण का एब्सिस्सा और कोटि शून्य के बराबर है (चूंकि एब्सिस्सा और कोटि अक्ष एप्लिकेट अक्ष को बिंदु 0 पर काटते हैं)। हम अनुप्रयोग अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

एजेड (0; 0; 5);

बीजेड (0; 0; 1);

सीz(0; 0; 0).

उदाहरण 9.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, अंक अंतरिक्ष में दिए गए हैं

ए(2; 3; 1) ;

बी(5; -3; 2) ;

सी(-3; 2; -1) .

इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:

1) विमान ऑक्सी ;

2) विमान ऑक्सज़ ;

3) विमान ओयज़ ;

4) भुज कुल्हाड़ियाँ;

5) कोर्डिनेट कुल्हाड़ियाँ;

6) कुल्हाड़ियों को लागू करें;

7) निर्देशांक की उत्पत्ति.

1) बिंदु को अक्ष के दूसरी ओर "स्थानांतरित करें"। ऑक्सी ऑक्सी, किसी दिए गए बिंदु के भुज और कोटि के बराबर एक भुज और कोटि होगा, और एक दिए गए बिंदु के अनुप्रयुक्त के परिमाण में बराबर, लेकिन चिह्न में विपरीत होगा। तो, हमें विमान के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सी :

ए"(2; 3; -1) ;

बी"(5; -3; -2) ;

सी"(-3; 2; 1) .

2) बिंदु को अक्ष के दूसरी ओर "स्थानांतरित करें"। ऑक्सज़समान दूरी तक. निर्देशांक स्थान प्रदर्शित करने वाले चित्र से, हम देखते हैं कि अक्ष के सापेक्ष एक बिंदु सममित है ऑक्सज़, एक भुज होगा और किसी दिए गए बिंदु के भुज और अनुप्रयुक्त के बराबर होगा, और एक कोटि किसी दिए गए बिंदु की कोटि के परिमाण के बराबर होगा, लेकिन चिह्न में विपरीत होगा। तो, हमें विमान के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सज़ :

ए"(2; -3; 1) ;

बी"(5; 3; 2) ;

सी"(-3; -2; -1) .

3) बिंदु को अक्ष के दूसरी ओर "स्थानांतरित करें"। ओयज़समान दूरी तक. निर्देशांक स्थान प्रदर्शित करने वाले चित्र से, हम देखते हैं कि अक्ष के सापेक्ष एक बिंदु सममित है ओयज़, किसी दिए गए बिंदु के कोटि और एप्लिकेट के बराबर एक कोटि और एक अनुप्रयुक्त होगा, और एक भुज किसी दिए गए बिंदु के भुज के मान के बराबर होगा, लेकिन चिह्न में विपरीत होगा। तो, हमें विमान के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ओयज़ :

ए"(-2; 3; 1) ;

बी"(-5; -3; 2) ;

सी"(3; 2; -1) .

समतल पर सममित बिंदुओं और अंतरिक्ष में बिंदुओं के अनुरूप, जो विमानों के सापेक्ष डेटा के सममित हैं, हम ध्यान दें कि अंतरिक्ष में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के कुछ अक्ष के संबंध में समरूपता के मामले में, अक्ष पर समन्वय के संबंध में जो समरूपता दी गई है वह अपना चिह्न बनाए रखेगी, और अन्य दो अक्षों पर निर्देशांक निरपेक्ष मान में किसी दिए गए बिंदु के निर्देशांक के समान होंगे, लेकिन चिह्न में विपरीत होंगे।

4) भुज अपना चिह्न बनाए रखेगा, लेकिन कोटि और अनुप्रयुक्त चिह्न बदल देंगे। तो, हम भुज अक्ष के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

ए"(2; -3; -1) ;

बी"(5; 3; -2) ;

सी"(-3; -2; 1) .

5) कोटि अपना चिन्ह बनाए रखेगी, लेकिन भुज और एप्लिकेट चिन्ह बदल देंगे। तो, हम कोटि अक्ष के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

ए"(-2; 3; -1) ;

बी"(-5; -3; -2) ;

सी"(3; 2; 1) .

6) आवेदक अपना चिह्न बनाए रखेगा, लेकिन भुज और कोटि चिह्न बदल देंगे। तो, हम आवेदक अक्ष के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

ए"(-2; -3; 1) ;

बी"(-5; 3; 2) ;

सी"(3; -2; -1) .

7) किसी समतल पर बिंदुओं के मामले में समरूपता के अनुरूप, निर्देशांक की उत्पत्ति के बारे में समरूपता के मामले में, किसी दिए गए बिंदु के सममित बिंदु के सभी निर्देशांक किसी दिए गए बिंदु के निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होंगे, लेकिन संकेत में उनके विपरीत. तो, हम मूल बिंदु के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं।

एक समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली को दो परस्पर लंबवत सीधी रेखाओं द्वारा परिभाषित किया जाता है। सीधी रेखाओं को निर्देशांक अक्ष (या निर्देशांक अक्ष) कहा जाता है। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को मूल बिंदु कहा जाता है और इसे अक्षर O द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है।

आमतौर पर रेखाओं में से एक क्षैतिज होती है, दूसरी लंबवत होती है। क्षैतिज रेखा को x-अक्ष (या ऑक्स) के रूप में नामित किया गया है और इसे एब्सिस्सा अक्ष कहा जाता है, ऊर्ध्वाधर रेखा y-अक्ष (Oy) है, जिसे कोर्डिनेट अक्ष कहा जाता है। संपूर्ण समन्वय प्रणाली को xOy नामित किया गया है।

बिंदु O प्रत्येक अक्ष को दो अर्ध-अक्षों में विभाजित करता है, जिनमें से एक को सकारात्मक (एक तीर द्वारा चिह्नित) माना जाता है, दूसरे को नकारात्मक माना जाता है।

विमान के प्रत्येक बिंदु F को संख्याओं (x;y) की एक जोड़ी सौंपी गई है - इसके निर्देशांक।

x निर्देशांक को भुज (abscissa) कहा जाता है। यह बैल के बराबर है, जिसे उचित चिन्ह के साथ लिया जाता है।

Y निर्देशांक को कोटि कहा जाता है और यह बिंदु F से Oy अक्ष (उचित चिह्न के साथ) की दूरी के बराबर है।

धुरी दूरियाँ आमतौर पर (लेकिन हमेशा नहीं) लंबाई की एक ही इकाई में मापी जाती हैं।

Y-अक्ष के दाईं ओर स्थित बिंदुओं में सकारात्मक भुज हैं। कोटि अक्ष के बाईं ओर स्थित बिंदुओं में ऋणात्मक भुज होते हैं। ओय अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए, इसका x निर्देशांक शून्य है।

सकारात्मक कोटि वाले बिंदु x-अक्ष के ऊपर स्थित होते हैं, और नकारात्मक कोटि वाले बिंदु नीचे होते हैं। यदि कोई बिंदु ऑक्स अक्ष पर स्थित है, तो उसका y निर्देशांक शून्य है।

निर्देशांक अक्ष समतल को चार भागों में विभाजित करते हैं, जिन्हें निर्देशांक चतुर्थांश (या निर्देशांक कोण या चतुर्थांश) कहा जाता है।

1 समन्वय तिमाही xOy निर्देशांक तल के ऊपरी दाएं कोने में स्थित है। प्रथम तिमाही में स्थित बिंदुओं के दोनों निर्देशांक सकारात्मक हैं।

एक तिमाही से दूसरे तिमाही में संक्रमण वामावर्त किया जाता है।

2 समन्वय तिमाहीऊपरी बाएँ कोने में स्थित है. दूसरी तिमाही में पड़े बिंदुओं में एक नकारात्मक भुज और एक सकारात्मक कोटि होती है।

3 समन्वय तिमाही xOy तल के निचले बाएँ चतुर्थांश में स्थित है। III निर्देशांक कोण से संबंधित बिंदुओं के दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हैं।

4 समन्वय तिमाहीनिर्देशांक तल का निचला दायां कोना है। चतुर्थ तिमाही के किसी भी बिंदु का पहला निर्देशांक सकारात्मक और दूसरा नकारात्मक है।

आयताकार समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के स्थान का एक उदाहरण: