- Dwie wzajemnie prostopadłe linie współrzędnych przecinające się w punkcie O - początek odniesienia, forma prostokątny układ współrzędnych, zwany także kartezjańskim układem współrzędnych.
- Nazywa się płaszczyznę, na której wybrany jest układ współrzędnych płaszczyzna współrzędnych. Nazywa się linie współrzędnych osie współrzędnych. Oś pozioma to oś odciętych (Ox), oś pionowa to oś rzędnych (Oy).
- Osie współrzędnych dzielą płaszczyznę współrzędnych na cztery części - ćwiartki. Numery seryjne ćwiartek są zwykle liczone w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
- Dowolny punkt w płaszczyźnie współrzędnych jest określony przez jego współrzędne - odcięta i rzędna. Na przykład, A(3; 4). Przeczytaj: punkt A o współrzędnych 3 i 4. Tutaj 3 to odcięta, 4 to rzędna.
I. Konstrukcja punktu A(3; 4).
Odcięta 3 pokazuje, że od początku odliczania - punkty O należy przesunąć w prawo 3 segment jednostkowy, a następnie umieść go 4 segment jednostkowy i umieść punkt.
O to chodzi O(3; 4).
Konstrukcja punktu B(-2; 5).
Od zera przesuwamy się w lewo 2 pojedynczy segment, a następnie w górę 5 pojedyncze segmenty.
Połóżmy temu kres W.
Zwykle brany jest segment jednostkowy 1 komórka.
II. Konstruuj punkty w płaszczyźnie współrzędnych xOy:
A (-3; 1);B(-1;-2);
C(-2:4);D (2; 3);
F(6:4);K(4; 0)
III. Wyznacz współrzędne skonstruowanych punktów: A, B, C, D, F, K.
A(-4; 3);W 20);
C(3; 4);D (6; 5);
F (0; -3);K. (5; -2).
Matematyka jest dość złożoną nauką. Ucząc się go, musisz nie tylko rozwiązywać przykłady i problemy, ale także pracować z różnymi kształtami, a nawet płaszczyznami. Jednym z najczęściej stosowanych w matematyce jest układ współrzędnych na płaszczyźnie. Dzieci uczą się, jak prawidłowo z nim pracować przez ponad rok. Dlatego ważne jest, aby wiedzieć, co to jest i jak prawidłowo z nim pracować.
Dowiedzmy się, czym jest ten system, jakie działania można wykonać za jego pomocą, a także poznajmy jego główne cechy i cechy.
Definicja pojęcia
Płaszczyzna współrzędnych to płaszczyzna, na której określony jest określony układ współrzędnych. Płaszczyznę taką wyznaczają dwie linie proste przecinające się pod kątem prostym. W punkcie przecięcia tych linii znajduje się początek współrzędnych. Każdy punkt na płaszczyźnie współrzędnych jest określony przez parę liczb zwanych współrzędnymi.
Na szkolnych zajęciach z matematyki uczniowie muszą ściśle współpracować z układem współrzędnych - konstruować na nim figury i punkty, określać, do której płaszczyzny należy dana współrzędna, a także określać współrzędne punktu i zapisywać je lub nazywać. Dlatego porozmawiajmy bardziej szczegółowo o wszystkich cechach współrzędnych. Ale najpierw porozmawiajmy o historii stworzenia, a potem porozmawiamy o tym, jak pracować na płaszczyźnie współrzędnych.
Odniesienie historyczne
Pomysły na stworzenie układu współrzędnych istniały już w czasach Ptolemeusza. Już wtedy astronomowie i matematycy zastanawiali się, jak nauczyć się wyznaczać położenie punktu na płaszczyźnie. Niestety, wówczas nie był nam znany żaden układ współrzędnych i naukowcy musieli posługiwać się innymi układami.
Początkowo określali punkty na podstawie szerokości i długości geograficznej. Przez długi czas była to jedna z najczęściej używanych metod nanoszenia tej lub innej informacji na mapę. Ale w 1637 r. Rene Descartes stworzył własny układ współrzędnych, nazwany później na cześć układu „kartezjańskiego”.
Już pod koniec XVII w. Pojęcie „płaszczyzny współrzędnych” stało się szeroko stosowane w świecie matematyki. Pomimo tego, że od powstania tego systemu minęło już kilka stuleci, nadal jest on szeroko stosowany w matematyce, a nawet w życiu.
Przykłady płaszczyzny współrzędnych
Zanim porozmawiamy o teorii, podamy kilka wizualnych przykładów płaszczyzny współrzędnych, abyś mógł to sobie wyobrazić. Układ współrzędnych jest używany głównie w szachach. Na planszy każdy kwadrat ma swoje współrzędne – jedna współrzędna jest alfabetyczna, druga cyfrowa. Za jego pomocą możesz określić położenie konkretnego pionka na planszy.
Drugim najbardziej uderzającym przykładem jest ukochana gra „Battleship”. Pamiętaj, jak podczas gry podajesz współrzędną, np. B3, wskazując w ten sposób dokładnie, gdzie celujesz. Jednocześnie umieszczając statki, określasz punkty na płaszczyźnie współrzędnych.
Ten układ współrzędnych jest szeroko stosowany nie tylko w grach matematycznych i logicznych, ale także w sprawach wojskowych, astronomii, fizyce i wielu innych naukach.
Osie współrzędnych
Jak już wspomniano, w układzie współrzędnych znajdują się dwie osie. Porozmawiajmy o nich trochę, ponieważ mają one niebagatelne znaczenie.
Pierwsza oś to odcięta - pozioma. Jest oznaczony jako ( Wół). Druga oś to rzędna, która przebiega pionowo przez punkt odniesienia i jest oznaczona jako ( Oj). To właśnie te dwie osie tworzą układ współrzędnych, dzieląc płaszczyznę na cztery ćwiartki. Początek znajduje się w punkcie przecięcia tych dwóch osi i przyjmuje wartość 0 . Tylko wtedy, gdy płaszczyznę tworzą dwie osie przecinające się prostopadle i posiadające punkt odniesienia, jest to płaszczyzna współrzędnych.
Należy również pamiętać, że każda z osi ma swój własny kierunek. Zwykle przy konstruowaniu układu współrzędnych zwyczajowo wskazuje się kierunek osi w postaci strzałki. Dodatkowo przy konstruowaniu płaszczyzny współrzędnych każda z osi jest podpisana.
Mieszkanie
Powiedzmy teraz kilka słów o takim pojęciu, jak ćwiartki płaszczyzny współrzędnych. Płaszczyzna jest podzielona dwiema osiami na cztery części. Każdy z nich ma swój numer, a płaszczyzny są ponumerowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Każdy z kwartałów ma swoją własną charakterystykę. Zatem w pierwszej ćwiartce odcięta i rzędna są dodatnie, w drugiej ćwiartce odcięta jest ujemna, rzędna jest dodatnia, w trzeciej zarówno odcięta, jak i rzędna są ujemne, w czwartej odcięta jest dodatnia, a rzędna jest ujemna .
Zapamiętując te cechy, możesz łatwo określić, do której ćwiartki należy dany punkt. Ponadto informacje te mogą być dla Ciebie przydatne, jeśli musisz wykonać obliczenia w systemie kartezjańskim.
Praca z płaszczyzną współrzędnych
Kiedy zrozumieliśmy koncepcję samolotu i porozmawialiśmy o jego kwaterach, możemy przejść do takiego problemu, jak praca z tym układem, a także porozmawiać o tym, jak umieścić na nim punkty i współrzędne figur. Na płaszczyźnie współrzędnych nie jest to tak trudne, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka.
Przede wszystkim budowany jest sam system, nanoszone są na niego wszystkie ważne oznaczenia. Następnie pracujemy bezpośrednio z punktami lub kształtami. Co więcej, nawet podczas konstruowania figur najpierw rysuje się punkty na płaszczyźnie, a następnie rysuje się figury.
Zasady budowy samolotu
Jeśli zdecydujesz się zacząć zaznaczać kształty i punkty na papierze, będziesz potrzebować płaszczyzny współrzędnych. Na nim naniesione są współrzędne punktów. Do skonstruowania układu współrzędnych wystarczy linijka i długopis lub ołówek. Najpierw rysowana jest pozioma oś x, a następnie rysowana jest oś pionowa. Należy pamiętać, że osie przecinają się pod kątem prostym.
Kolejnym obowiązkowym elementem jest naniesienie oznaczeń. Na każdej z osi w obu kierunkach zaznaczono i opisano segmenty jednostkowe. Odbywa się to tak, abyś mógł następnie pracować z samolotem z maksymalną wygodą.
Zaznacz punkt
Porozmawiajmy teraz o tym, jak wykreślić współrzędne punktów na płaszczyźnie współrzędnych. Oto podstawy, które musisz znać, aby skutecznie umieszczać różne kształty na płaszczyźnie, a nawet zaznaczać równania.
Konstruując punkty należy pamiętać o tym, jak poprawnie zapisane są ich współrzędne. Tak więc zwykle przy określaniu punktu dwie liczby są zapisywane w nawiasach. Pierwsza cyfra wskazuje współrzędną punktu na osi odciętych, druga na osi rzędnych.
W ten sposób należy skonstruować ten punkt. Pierwszy znak na osi Wół określony punkt, a następnie zaznacz punkt na osi Oj. Następnie narysuj wyimaginowane linie z tych oznaczeń i znajdź miejsce, w którym się przecinają - będzie to dany punkt.
Wystarczy to zaznaczyć i podpisać. Jak widać, wszystko jest dość proste i nie wymaga żadnych specjalnych umiejętności.
Umieść figurę
Przejdźmy teraz do kwestii konstruowania figur na płaszczyźnie współrzędnych. Aby skonstruować dowolną figurę na płaszczyźnie współrzędnych, należy wiedzieć, jak umieścić na niej punkty. Jeśli wiesz, jak to zrobić, umieszczenie figury w samolocie nie jest takie trudne.
Przede wszystkim będziesz potrzebować współrzędnych punktów figury. To według nich te, które wybrałeś, zastosujemy do naszego układu współrzędnych.Rozważmy zastosowanie prostokąta, trójkąta i koła.
Zacznijmy od prostokąta. Jest dość łatwy w aplikacji. Najpierw na płaszczyźnie zaznaczono cztery punkty wskazujące narożniki prostokąta. Następnie wszystkie punkty są ze sobą sekwencyjnie łączone.
Rysowanie trójkąta nie różni się od tego. Tyle, że ma trzy kąty, co oznacza, że na płaszczyźnie zaznaczono trzy punkty, wskazujące jej wierzchołki.
Jeśli chodzi o okrąg, powinieneś znać współrzędne dwóch punktów. Pierwszy punkt to środek okręgu, drugi to punkt wskazujący jego promień. Te dwa punkty naniesiono na płaszczyznę. Następnie weź kompas i zmierz odległość między dwoma punktami. Punkt kompasu umieszcza się w punkcie wyznaczającym środek i opisuje się okrąg.
Jak widać, tutaj też nie ma nic skomplikowanego, najważniejsze jest to, że zawsze masz pod ręką linijkę i kompas.
Teraz wiesz, jak wykreślić współrzędne figur. Wykonanie tego na płaszczyźnie współrzędnych nie jest tak trudne, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka.
wnioski
Przyjrzeliśmy się więc jednemu z najciekawszych i podstawowych pojęć matematycznych, z którymi musi sobie radzić każdy uczeń.
Odkryliśmy, że płaszczyzna współrzędnych to płaszczyzna utworzona przez przecięcie dwóch osi. Za jego pomocą można wyznaczać współrzędne punktów i rysować na nich kształty. Samolot jest podzielony na ćwiartki, z których każda ma swoją własną charakterystykę.
Główną umiejętnością, którą należy rozwijać pracując z płaszczyzną współrzędnych, jest umiejętność prawidłowego naniesienia na nią zadanych punktów. Aby to zrobić, powinieneś znać prawidłowe położenie osi, cechy kwartałów, a także zasady określania współrzędnych punktów.
Mamy nadzieję, że przedstawione przez nas informacje były przystępne i zrozumiałe, a także okazały się dla Państwa przydatne i pomogły lepiej zrozumieć ten temat.
Niech to będzie dane równanie z dwiema zmiennymi F(x; y). Zapoznałeś się już ze sposobami analitycznego rozwiązywania takich równań. Wiele rozwiązań takich równań można przedstawić w formie wykresu.
Wykres równania F(x; y) jest zbiorem punktów na płaszczyźnie współrzędnych xOy, których współrzędne spełniają równanie.
Aby wykreślić równania dwóch zmiennych, najpierw wyraź zmienną y w równaniu za pomocą zmiennej x.
Na pewno już wiesz jak zbudować różne wykresy równań z dwiema zmiennymi: ax + b = c – prosta, yx = k – hiperbola, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – okrąg, którego promień jest równe R, a środek znajduje się w punkcie O(a; b).
Przykład 1.
Narysuj równanie x 2 – 9y 2 = 0.
Rozwiązanie.
Rozłóżmy na czynniki lewą stronę równania.
(x – 3y)(x+ 3y) = 0, czyli y = x/3 lub y = -x/3.
Odpowiedź: Rysunek 1.
Szczególne miejsce zajmuje definiowanie figur na płaszczyźnie za pomocą równań zawierających znak wartości bezwzględnej, nad czym szczegółowo się zastanowimy. Rozważmy etapy konstruowania wykresów równań postaci |y| = f(x) i |y| = |f(x)|.
Pierwsze równanie jest równoważne układowi
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) lub y = -f(x).
Oznacza to, że jego wykres składa się z wykresów dwóch funkcji: y = f(x) i y = -f(x), gdzie f(x) ≥ 0.
Aby wykreślić drugie równanie, wykreśl dwie funkcje: y = f(x) i y = -f(x).
Przykład 2.
Narysuj równanie |y| = 2 + x.
Rozwiązanie.
Podane równanie jest równoważne układowi
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 lub y = -x – 2.
Budujemy wiele punktów.
Odpowiedź: Rysunek 2.
Przykład 3.
Wykreśl równanie |y – x| = 1.
Rozwiązanie.
Jeśli y ≥ x, to y = x + 1, jeśli y ≤ x, to y = x – 1.
Odpowiedź: Rysunek 3.
Konstruując wykresy równań zawierających zmienną pod znakiem modułu, jest to wygodne i racjonalne w użyciu metoda obszarowa, w oparciu o podzielenie płaszczyzny współrzędnych na części, w których każde wyrażenie submodularne zachowuje swój znak.
Przykład 4.
Narysuj równanie x + |x| + y + |y| = 2.
Rozwiązanie.
W tym przykładzie znak każdego wyrażenia submodularnego zależy od ćwiartki współrzędnych.
1) W pierwszej ćwiartce współrzędnych x ≥ 0 i y ≥ 0. Po rozwinięciu modułu dane równanie będzie wyglądało następująco:
2x + 2y = 2, a po uproszczeniu x + y = 1.
2) W drugim kwartale, gdzie x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) W trzecim kwartale x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) W czwartym kwartale, gdy x ≥ 0 i y< 0 получим, что x = 1.
Wykreślimy to równanie według ćwiartek.
Odpowiedź: Rysunek 4.
Przykład 5.
Narysuj zbiór punktów, których współrzędne spełniają równość |x – 1| + |y – 1| = 1.
Rozwiązanie.
Zera wyrażeń submodularnych x = 1 i y = 1 dzielą płaszczyznę współrzędnych na cztery obszary. Podzielmy moduły według regionu. Ułóżmy to w formie tabeli.
| Region |
Submodularny znak wyrażenia |
Wynikowe równanie po rozwinięciu modułu |
| I | x ≥ 1 i y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | X< 1 и y ≥ 1 | -x + y = 1 |
| III | X< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 i y< 1 | x – y = 1 |
Odpowiedź: Rysunek 5.
Na płaszczyźnie współrzędnych można określić liczby i nierówności.
Wykres nierówności z dwiema zmiennymi to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny współrzędnych, których współrzędne są rozwiązaniami tej nierówności.
Rozważmy algorytm budowy modelu rozwiązywania nierówności z dwiema zmiennymi:
- Zapisz równanie odpowiadające nierówności.
- Narysuj wykres równania z kroku 1.
- Wybierz dowolny punkt w jednej z półpłaszczyzn. Sprawdź, czy współrzędne wybranego punktu spełniają tę nierówność.
- Narysuj graficznie zbiór wszystkich rozwiązań nierówności.
Rozważmy najpierw nierówność ax + bx + c > 0. Równanie ax + bx + c = 0 definiuje prostą dzielącą płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny. W każdym z nich funkcja f(x) = ax + bx + c zachowuje swój znak. Aby wyznaczyć ten znak, wystarczy wziąć dowolny punkt należący do półpłaszczyzny i obliczyć wartość funkcji w tym punkcie. Jeżeli znak funkcji pokrywa się ze znakiem nierówności, to ta półpłaszczyzna będzie rozwiązaniem nierówności.
Przyjrzyjmy się przykładom graficznych rozwiązań najczęstszych nierówności z dwiema zmiennymi.
1) topór + bx + do ≥ 0. Rysunek 6.
2)
|x| ≤ a, a > 0. Rysunek 7.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Cyfra 8.
4) y ≥ x 2 . Rysunek 9.
5)
xy ≤ 1. Rysunek 10. 
Jeśli masz pytania lub chcesz poćwiczyć rysowanie na modelu płaskim zbiorów wszystkich rozwiązań nierówności dwóch zmiennych z wykorzystaniem modelowania matematycznego, możesz przeprowadzić bezpłatna 25-minutowa lekcja z lektorem online Po . Aby dalej pracować z nauczycielem, będziesz miał możliwość wyboru tego, który Ci odpowiada
Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak narysować figurę na płaszczyźnie współrzędnych?
Aby uzyskać pomoc od nauczyciela -.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!
blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Nazywa się uporządkowany układ dwóch lub trzech przecinających się osi prostopadłych do siebie, mających wspólny początek (początek współrzędnych) i wspólną jednostkę długości prostokątny kartezjański układ współrzędnych .
Ogólny kartezjański układ współrzędnych (afiniczny układ współrzędnych) niekoniecznie muszą zawierać osie prostopadłe. Na cześć francuskiego matematyka Rene Descartesa (1596-1662) nazwano właśnie taki układ współrzędnych, w którym na wszystkich osiach mierzona jest wspólna jednostka długości, a osie są proste.
Prostokątny kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie ma dwie osie i prostokątny kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni - trzy osie. Każdy punkt na płaszczyźnie lub w przestrzeni jest zdefiniowany przez uporządkowany zbiór współrzędnych - liczb odpowiadających jednostce długości układu współrzędnych.
Należy pamiętać, że jak wynika z definicji, kartezjański układ współrzędnych występuje na linii prostej, czyli w jednym wymiarze. Wprowadzenie współrzędnych kartezjańskich na prostą jest jednym ze sposobów powiązania dowolnego punktu na linii z dobrze określoną liczbą rzeczywistą, czyli współrzędną.
Metoda współrzędnych, która pojawiła się w pracach Rene Descartesa, oznaczała rewolucyjną restrukturyzację całej matematyki. Stało się możliwe interpretowanie równań (lub nierówności) algebraicznych w postaci obrazów geometrycznych (wykresów) i odwrotnie, szukanie rozwiązań problemów geometrycznych za pomocą wzorów analitycznych i układów równań. Tak, nierówność z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOj i znajduje się nad tą płaszczyzną o 3 jednostki.
Używając kartezjańskiego układu współrzędnych, przynależność punktu do danej krzywej odpowiada faktowi, że liczby X I y spełnić jakieś równanie. Zatem współrzędne punktu na okręgu mającym środek w danym punkcie ( A; B) spełniają równanie (X - A)² + ( y - B)² = R² .
Prostokątny kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie
Dwie prostopadłe osie na płaszczyźnie o wspólnym początku i tej samej formie jednostki skali Kartezjański prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie . Jedna z tych osi nazywa się osią Wół, Lub oś x , drugi - oś Oj, Lub oś y . Osie te nazywane są również osiami współrzędnych. Oznaczmy przez MX I My odpowiednio rzut dowolnego punktu M na osi Wół I Oj. Jak uzyskać projekcje? Przejdźmy do rzeczy M Wół. Ta linia prosta przecina oś Wół w tym punkcie MX. Przejdźmy do rzeczy M linia prosta prostopadła do osi Oj. Ta linia prosta przecina oś Oj w tym punkcie My. Pokazano to na poniższym obrazku.
X I y zwrotnica M odpowiednio nazwiemy wartości skierowanych segmentów OMX I OMy. Wartości tych skierowanych segmentów są obliczane odpowiednio jako X = X0 - 0 I y = y0 - 0 . współrzędne kartezjańskie X I y zwrotnica M odcięta I rzędna . Fakt, że chodzi M ma współrzędne X I y, oznacza się następująco: M(X, y) .
Osie współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery kwadrant , których numerację pokazano na poniższym rysunku. Pokazuje także rozmieszczenie znaków współrzędnych punktów w zależności od ich położenia w danej ćwiartce.
Oprócz prostokątnych współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie często uwzględnia się także biegunowy układ współrzędnych. O sposobie przejścia z jednego układu współrzędnych do drugiego - na lekcji biegunowy układ współrzędnych .
Prostokątny kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni
Współrzędne kartezjańskie w przestrzeni wprowadza się całkowicie analogicznie do współrzędnych kartezjańskich w płaszczyźnie.
Trzy wzajemnie prostopadłe osie w przestrzeni (osie współrzędnych) o wspólnym początku O i przy tej samej jednostce skali tworzą Kartezjański prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni .
Jedna z tych osi nazywa się osią Wół, Lub oś x , drugi - oś Oj, Lub oś y , trzecia - oś Oz, Lub zastosowanie osi . Pozwalać MX, My Mz- rzuty dowolnego punktu M miejsce na osi Wół , Oj I Oz odpowiednio.
Przejdźmy do rzeczy M WółWół w tym punkcie MX. Przejdźmy do rzeczy M płaszczyzna prostopadła do osi Oj. Ta płaszczyzna przecina oś Oj w tym punkcie My. Przejdźmy do rzeczy M płaszczyzna prostopadła do osi Oz. Ta płaszczyzna przecina oś Oz w tym punkcie Mz.
Współrzędne prostokątne kartezjańskie X , y I z zwrotnica M odpowiednio nazwiemy wartości skierowanych segmentów OMX, OMy I OMz. Wartości tych skierowanych segmentów są obliczane odpowiednio jako X = X0 - 0 , y = y0 - 0 I z = z0 - 0 .
współrzędne kartezjańskie X , y I z zwrotnica M są odpowiednio nazywane odcięta , rzędna I zastosować .
Osie współrzędnych wzięte parami znajdują się w płaszczyznach współrzędnych xOj , yOz I zOx .
Zagadnienia dotyczące punktów w kartezjańskim układzie współrzędnych
Przykład 1.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Znajdź współrzędne rzutów tych punktów na oś odciętych.
Rozwiązanie. Jak wynika z części teoretycznej tej lekcji, rzut punktu na oś odciętej znajduje się na samej osi odciętej, czyli osi Wół, a zatem ma odciętą równą odciętej samego punktu i rzędną (współrzędną na osi Oj, który przecina oś x w punkcie 0), który jest równy zero. Otrzymujemy więc następujące współrzędne tych punktów na osi x:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
Przykład 2. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty podane są na płaszczyźnie
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Znajdź współrzędne rzutów tych punktów na oś rzędnych.
Rozwiązanie. Jak wynika z części teoretycznej tej lekcji, rzut punktu na oś rzędnych znajduje się na samej osi rzędnych, czyli osi Oj, a zatem ma rzędną równą rzędnej samego punktu i odciętą (współrzędną na osi Wół, który przecina oś rzędnych w punkcie 0), który jest równy zero. Otrzymujemy więc następujące współrzędne tych punktów na osi rzędnych:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
Przykład 3. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty podane są na płaszczyźnie
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Wół .
Wół Wół Wół, będzie miał tę samą odciętą co dany punkt i rzędną równą wartości bezwzględnej rzędnej danego punktu i przeciwną do znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem osi Wół :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Samodzielnie rozwiązuj problemy, korzystając z kartezjańskiego układu współrzędnych, a następnie spójrz na rozwiązania
Przykład 4. Określ, w których ćwiartkach (ćwiartki, rysunek z ćwiartkami - na końcu akapitu „Prostokątny kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie”) może znajdować się punkt M(X; y) , Jeśli
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) X − y = 0 ;
4) X + y = 0 ;
5) X + y > 0 ;
6) X + y < 0 ;
7) X − y > 0 ;
8) X − y < 0 .
Przykład 5. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty podane są na płaszczyźnie
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(A; B) .
Znajdź współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem osi Oj .
Kontynuujmy wspólne rozwiązywanie problemów
Przykład 6. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty podane są na płaszczyźnie
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Znajdź współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem osi Oj .
Rozwiązanie. Obróć o 180 stopni wokół osi Oj odcinek kierunkowy od osi Oj do tego momentu. Na rysunku, na którym wskazano ćwiartki płaszczyzny, widzimy, że punkt symetryczny do danego względem osi Oj, będzie miał tę samą rzędną co dany punkt i odciętą równą wartości bezwzględnej odciętej danego punktu i przeciwną do znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem osi Oj :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Przykład 7. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty podane są na płaszczyźnie
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Znajdź współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem początku układu współrzędnych.
Rozwiązanie. Obracamy skierowany odcinek biegnący od początku do zadanego punktu o 180 stopni wokół początku układu współrzędnych. Na rysunku, na którym zaznaczono ćwiartki płaszczyzny, widzimy, że punkt symetryczny do danego punktu względem początku współrzędnych będzie miał odciętą i rzędną równą wartości bezwzględnej odciętej i rzędnej danego punktu, ale znak przeciwny. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem początku układu współrzędnych:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Przykład 8.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Znajdź współrzędne rzutów tych punktów:
1) w samolocie Oksy ;
2) w samolocie Oxz ;
3) do samolotu Oj ;
4) na osi odciętej;
5) na osi rzędnych;
6) na osi zastosowania.
1) Rzut punktu na płaszczyznę Oksy znajduje się na samej tej płaszczyźnie, a więc ma odciętą i rzędną równą odciętej i rzędnej danego punktu oraz aplikację równą zero. Otrzymujemy więc następujące współrzędne rzutów tych punktów na Oksy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Rzut punktu na płaszczyznę Oxz znajduje się na samej tej płaszczyźnie, a zatem ma odciętą i aplikację równą odciętej i aplikacji danego punktu oraz rzędną równą zero. Otrzymujemy więc następujące współrzędne rzutów tych punktów na Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Rzut punktu na płaszczyznę Oj znajduje się na samej tej płaszczyźnie, a zatem ma rzędną i zastosowanie równe rzędnej i zastosowaniu danego punktu oraz odciętą równą zero. Otrzymujemy więc następujące współrzędne rzutów tych punktów na Oj :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Jak wynika z części teoretycznej tej lekcji, rzut punktu na oś odciętej znajduje się na samej osi odciętej, czyli osi Wół, a zatem ma odciętą równą odciętej samego punktu, a rzędna i zastosowanie rzutu są równe zeru (ponieważ oś rzędnej i zastosowania przecinają odciętą w punkcie 0). Otrzymujemy następujące współrzędne rzutów tych punktów na oś odciętych:
Ax(4;0;0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) Rzut punktu na oś rzędnych znajduje się na samej osi rzędnych, czyli osi Oj, a zatem ma rzędną równą rzędnej samego punktu, a odcięta i aplikacja rzutu są równe zeru (ponieważ osie odciętych i zastosowania przecinają oś rzędnych w punkcie 0). Otrzymujemy następujące współrzędne rzutów tych punktów na oś rzędnych:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) Rzut punktu na oś zastosowania znajduje się na samej osi zastosowania, czyli osi Oz, a zatem ma aplikację równą aplikacji samego punktu, a odcięta i rzędna rzutu są równe zeru (ponieważ oś odciętych i rzędnych przecinają oś aplikacji w punkcie 0). Otrzymujemy następujące współrzędne rzutów tych punktów na oś zastosowania:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz(0; 0; 0).
Przykład 9. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty podawane są w przestrzeni
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Znajdź współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem:
1) samolot Oksy ;
2) samoloty Oxz ;
3) samoloty Oj ;
4) osie odciętych;
5) osie rzędnych;
6) zastosować osie;
7) początek współrzędnych.
1) „Przesuń” punkt na drugą stronę osi Oksy Oksy, będzie miał odciętą i rzędną równą odciętej i rzędnej danego punktu oraz aplikatę równą wielkości aplikatowi danego punktu, ale o przeciwnym znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych względem danych względem płaszczyzny Oksy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) „Przesuń” punkt na drugą stronę osi Oxz na tę samą odległość. Z rysunku przedstawiającego przestrzeń współrzędnych widzimy, że punkt jest symetryczny do danego względem osi Oxz, będzie miał odciętą i aplikację równą odciętej i aplikacji danego punktu oraz rzędną równą wielkości rzędnej danego punktu, ale o przeciwnym znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych względem danych względem płaszczyzny Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) „Przesuń” punkt na drugą stronę osi Oj na tę samą odległość. Z rysunku przedstawiającego przestrzeń współrzędnych widzimy, że punkt jest symetryczny do danego względem osi Oj, będzie miał rzędną i aplikatę równą rzędnej i aplikatowi danego punktu oraz odciętą o wartości równej odciętej danego punktu, ale o przeciwnym znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych względem danych względem płaszczyzny Oj :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Przez analogię do symetrycznych punktów na płaszczyźnie i punktów w przestrzeni, które są symetryczne względem danych względem płaszczyzn, zauważamy, że w przypadku symetrii względem jakiejś osi kartezjańskiego układu współrzędnych w przestrzeni, współrzędna na osi względem którym podana jest symetria, zachowa swój znak, a współrzędne na pozostałych dwóch osiach będą miały tę samą wartość bezwzględną, co współrzędne danego punktu, ale przeciwny znak.
4) Odcięta zachowa swój znak, ale rzędna i zastosowanie zmienią znaki. Otrzymujemy zatem następujące współrzędne punktów symetrycznych względem danych względem osi odciętych:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Rzędna zachowa swój znak, ale odcięta i aplikacja zmienią znaki. Otrzymujemy zatem następujące współrzędne punktów symetrycznych względem danych względem osi rzędnych:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Zgłoszenie zachowa swój znak, ale odcięta i rzędna zmienią znaki. Otrzymujemy zatem następujące współrzędne punktów symetrycznych względem danych względem osi zastosowania:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Analogicznie do symetrii w przypadku punktów na płaszczyźnie, w przypadku symetrii względem początku współrzędnych, wszystkie współrzędne punktu symetrycznego do danego punktu będą w wartości bezwzględnej równe współrzędnym danego punktu, ale naprzeciwko nich w znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych względem danych względem początku układu współrzędnych.
Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie definiują dwie wzajemnie prostopadłe linie proste. Linie proste nazywane są osiami współrzędnych (lub osiami współrzędnych). Punkt przecięcia tych linii nazywany jest początkiem i jest oznaczony literą O.
Zwykle jedna z linii jest pozioma, druga pionowa. Linia pozioma jest oznaczona jako oś x (lub Ox) i nazywana jest osią odciętych, linia pionowa to oś y (Oy), zwana osią rzędnych. Cały układ współrzędnych jest oznaczony jako xOy.
Punkt O dzieli każdą z osi na dwie półosie, z których jedna jest uważana za dodatnią (oznaczoną strzałką), druga za ujemną.
Każdemu punktowi F płaszczyzny przyporządkowana jest para liczb (x;y) – jego współrzędne.
Współrzędna x nazywana jest odciętą. Jest równy Wółowi, wziętemu z odpowiednim znakiem.
Współrzędna y nazywana jest rzędną i jest równa odległości punktu F od osi Oy (z odpowiednim znakiem).
Odległości między osiami są zwykle (ale nie zawsze) mierzone w tej samej jednostce długości.
Punkty położone na prawo od osi Y mają dodatnie odcięte. Punkty leżące na lewo od osi rzędnych mają ujemne odcięte. Dla dowolnego punktu leżącego na osi Oy jego współrzędna x wynosi zero.
Punkty o rzędnej dodatniej leżą powyżej osi x, a punkty o rzędnej ujemnej znajdują się poniżej. Jeśli punkt leży na osi Ox, jego współrzędna y wynosi zero.
Osie współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery części, które nazywane są ćwiartkami współrzędnych (lub kątami lub ćwiartkami współrzędnych).
1 ćwiartka współrzędnych znajduje się w prawym górnym rogu płaszczyzny współrzędnych xOy. Obie współrzędne punktów znajdujących się w pierwszej ćwiartce są dodatnie.
Przejście z jednej ćwiartki do drugiej odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
2 ćwiartki współrzędnych znajduje się w lewym górnym rogu. Punkty leżące w drugiej ćwiartce mają ujemną odciętą i dodatnią rzędną.
3 ćwiartki współrzędnych leży w lewym dolnym kwadrancie płaszczyzny xOy. Obie współrzędne punktów należących do kąta III współrzędnych są ujemne.
4 ćwiartki współrzędnych jest prawym dolnym narożnikiem płaszczyzny współrzędnych. Każdy punkt z IV ćwiartki ma dodatnią pierwszą współrzędną i ujemną drugą.
Przykład położenia punktów w prostokątnym układzie współrzędnych:
