अंकगणितीय प्रगति। अंकगणितीय प्रगति (ग्रेड 9): सूत्र, उदाहरण III। नई सामग्री सीखना

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पूर्वावलोकन:

विषय

अंकगणितीय प्रगति

प्रयोजन :

• एक अंकगणितीय प्रगति को उसकी परिभाषा और चिह्न का उपयोग करके पहचानना सिखाना;
• प्रगति की सामान्य अवधि की परिभाषा, विशेषता, सूत्र का उपयोग करके समस्याओं को हल करना सिखाएं।

पाठ मकसद:

एक अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा दें, एक अंकगणितीय प्रगति के संकेत को साबित करें और सिखाएं कि समस्याओं को हल करने में उनका उपयोग कैसे किया जाए।

शिक्षण विधियों:

छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना, स्वतंत्र काम, व्यक्तिगत काम, एक समस्या की स्थिति पैदा करना।

आधुनिक तकनीकें:

आईसीटी, समस्या-आधारित शिक्षा, विभेदित शिक्षा, स्वास्थ्य-बचत प्रौद्योगिकियां।

शिक्षण योजना

	पाठ के चरण।	कार्यान्वयन का समय।
	आयोजन का समय।	दो मिनट
	अतीत की पुनरावृत्ति	5 मिनट
	नई सामग्री सीखना	15 मिनट
	शारीरिक शिक्षा	3 मिनट
	विषय पर असाइनमेंट पूरा करना	15 मिनट
	होम वर्क	दो मिनट
	सारांश	3 मिनट

कक्षाओं के दौरान:

1. पिछले पाठ में, हम "अनुक्रम" की अवधारणा से परिचित हुए।

आज हम संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन करना जारी रखेंगे, उनमें से कुछ की परिभाषा देंगे, उनके गुणों और विशेषताओं से परिचित होंगे।

1. प्रश्नों के उत्तर दें: अनुक्रम क्या है?

कौन से क्रम हैं?

आप किस तरह से अनुक्रम सेट कर सकते हैं?

एक संख्या अनुक्रम क्या है?

आप किसी संख्या अनुक्रम को निर्दिष्ट करने की कौन-सी विधियाँ जानते हैं? आवर्तक किस सूत्र को कहते हैं?

1. संख्यात्मक क्रम दिए गए हैं:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

प्रत्येक अनुक्रम में पैटर्न खोजें और उनमें से प्रत्येक में अगले तीन शब्दों को नाम दें।

1. ए एन = ए एन -1 +1
2. ए एन = ए एन -1 + 3
3. ए एन = ए एन -1 + (-2)
4. ए एन = ए एन -1 + 0.5

प्रत्येक अनुक्रम के लिए आवर्ती सूत्र को नाम दें।

स्लाइड 1

एक संख्यात्मक अनुक्रम, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या में जोड़े गए पिछले पद के बराबर होता है, अंकगणितीय प्रगति कहलाता है।

संख्या d को समांतर श्रेणी का अंतर कहा जाता है।

एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है, इसलिए यह आरोही, घटती, स्थिर हो सकती है। ऐसे अनुक्रमों के उदाहरण दें, प्रत्येक प्रगति के अंतर को नाम दें, निष्कर्ष निकालें।

आइए हम अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद के लिए सूत्र प्राप्त करें।

ब्लैकबोर्ड पर: चलो a 1 प्रगति का पहला पद है, d इसका अंतर है, तो

ए 2 = ए 1 + डी

ए 3 = (ए 1 + डी) + डी = ए 1 + 2 डी

ए 4 = (ए 1 + 2 डी) + डी = ए 1 + 3 डी

ए 5 = (ए 1 + 3डी) + डी = ए 1 + 4डी

ए एन = ए 1 + डी (एन -1) अंकगणितीय प्रगति के nवें पद का सूत्र है।

समस्या हल करें: एक समांतर श्रेणी में, पहला पद 5 है और अंतर 4 है।

इस प्रगति के 22 सदस्यों का पता लगाएं।

छात्र ब्लैकबोर्ड पर निर्णय लेता है: aएन = ए 1 + डी (एन -1)

ए 22 = ए 1 + 21 डी = 5 + 21 * 4 = 89

शारीरिक शिक्षा।

हम उठकर।

बेल्ट पर हाथ। बाएँ, दाएँ, (2 बार) झुकता है;

आगे झुकता है, पीछे (2 बार);

अपने हाथों को ऊपर उठाएं, गहरी सांस लें, अपने हाथों को नीचे रखें, सांस छोड़ें। (2 बार)

उन्होंने हाथ मिलाया। शुक्रिया।

वे नीचे बैठ गए। हम सबक जारी रखते हैं।

हम एक अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद के लिए सूत्र के अनुप्रयोग पर समस्याओं का समाधान करते हैं।

छात्रों को निम्नलिखित कार्यों की पेशकश की जाती है:

1. एक समान्तर श्रेणी में, पहला पद -2, d = 3, a . हैएन = 118.

एन खोजें।

1. एक समान्तर श्रेणी में, पहला पद 7 है, पंद्रहवाँ पद -35 है। अंतर पाता करें।
2. यह ज्ञात है कि समांतर श्रेणी में d = -2, a39 = 83 है। प्रगति का पहला पद ज्ञात कीजिए।

छात्रों को समूहों में बांटा गया है। कार्य 5 मिनट के लिए दिया जाता है। फिर पहले 3 छात्र जिन्होंने समस्याओं को हल किया है, उन्हें बोर्ड पर हल करते हैं। समाधान स्लाइड्स पर दोहराया गया है।

एक अंकगणितीय प्रगति के विशिष्ट गुणों पर विचार करें।

अंकगणितीय प्रगति में

ए एन-डी = ए (एन -1)

ए एन + डी = ए (एन + 1)

हम इन दो समानताओं को पद दर पद से जोड़ते हैं, हमें प्राप्त होता है: 2एन = ए (एन + 1) + ए (एन -1)

ए एन = (ए (एन + 1) + ए (एन -1)) / 2

इसका मतलब है कि पहले और आखिरी को छोड़कर, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य पिछले और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

प्रमेय:

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक सदस्य, पहले (और अंतिम, एक परिमित अनुक्रम के मामले में) को छोड़कर, पूर्ववर्ती और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है (एक विशेषता संपत्ति) एक अंकगणितीय प्रगति के)।

गणित और भौतिकी में कई विषयों की समझ संख्याओं की श्रृंखला के गुणों के ज्ञान से जुड़ी है। 9 वीं कक्षा के छात्र, "बीजगणित" विषय का अध्ययन करते समय, संख्याओं के महत्वपूर्ण अनुक्रमों में से एक पर विचार करते हैं - अंकगणितीय प्रगति। यहाँ अंकगणितीय प्रगति (ग्रेड 9) के मूल सूत्र दिए गए हैं, साथ ही समस्याओं को हल करने के लिए उनके उपयोग के उदाहरण भी दिए गए हैं।

बीजीय या अंकगणितीय प्रगति

इस लेख में चर्चा की जाने वाली संख्या श्रृंखला को दो अलग-अलग तरीकों से कहा जाता है, इस पैराग्राफ के शीर्षक में प्रस्तुत किया गया है। तो, गणित में, एक अंकगणितीय प्रगति को एक संख्यात्मक श्रृंखला के रूप में समझा जाता है जिसमें एक दूसरे के बगल में खड़ी कोई भी दो संख्या समान मात्रा से भिन्न होती है, जिसे अंतर कहा जाता है। ऐसी पंक्ति में संख्याओं को आमतौर पर कम पूर्णांक सूचकांक वाले अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, 1, ए 2, ए 3, और इसी तरह, जहां सूचकांक पंक्ति तत्व की संख्या को इंगित करता है।

एक अंकगणितीय प्रगति की उपरोक्त परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, हम निम्नलिखित समानता लिख ​​सकते हैं: a 2 -a 1 = ... = an -a n-1 = d, यहाँ d एक बीजीय प्रगति का अंतर है और n कोई भी है पूर्णांक। यदि d> 0, तो हम उम्मीद कर सकते हैं कि श्रृंखला का प्रत्येक बाद वाला सदस्य पिछले वाले से बड़ा होगा, इस मामले में वे बढ़ती प्रगति की बात करते हैं। अगर डी<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

अंकगणितीय प्रगति सूत्र (ग्रेड 9 स्कूल)

विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला, चूंकि यह आदेश दिया गया है और एक निश्चित गणितीय कानून का पालन करता है, इसमें दो गुण हैं जो इसके उपयोग के लिए महत्वपूर्ण हैं:

1. सबसे पहले, केवल दो संख्याओं a 1 और d को जानकर, आप अनुक्रम के किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं। यह निम्न सूत्र का उपयोग करके किया जाता है: a n = a 1 + (n-1) * d।
2. दूसरे, पहले के n पदों के योग की गणना करने के लिए, उन्हें क्रम में जोड़ना आवश्यक नहीं है, क्योंकि आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: S n = n * (a n + a 1) / 2।

पहला सूत्र समझना आसान है, क्योंकि यह इस तथ्य का प्रत्यक्ष परिणाम है कि विचाराधीन श्रृंखला का प्रत्येक सदस्य अपने पड़ोसी से समान अंतर से भिन्न होता है।

अंकगणितीय प्रगति का दूसरा सूत्र प्राप्त किया जा सकता है यदि हम इस तथ्य पर ध्यान दें कि योग 1 + a 2 + a n-1, a 3 + a n-2 के योग के बराबर हो जाता है, और इसी तरह पर। वास्तव में, चूँकि a 2 = d + a 1, a n-2 = -2 * d + an, a 3 = 2 * d + a 1, और a n-1 = -d + a, फिर इन व्यंजकों को संगत योग, हम पाते हैं कि वे समान होंगे। दूसरे सूत्र में कारक n / 2 (S n के लिए) इस तथ्य के कारण प्रकट होता है कि a i + 1 + a ni के योग बिल्कुल n / 2 हैं, यहाँ मैं 0 से n / 2 तक का पूर्णांक है - एक।

जीवित ऐतिहासिक साक्ष्यों के अनुसार, S n के योग का सूत्र सबसे पहले कार्ल गॉस (प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ) द्वारा प्राप्त किया गया था, जब उन्हें एक स्कूल शिक्षक द्वारा पहले 100 नंबर जोड़ने के लिए कहा गया था।

उदाहरण समस्या # 1: अंतर खोजें

जिन समस्याओं में प्रश्न इस प्रकार प्रस्तुत किया गया है: अंकगणितीय प्रगति सूत्रों को जानना, डी (डी) कैसे खोजना है, यह सबसे सरल है जो केवल इस विषय के लिए हो सकता है।

आइए एक उदाहरण दें: दिए गए संख्यात्मक अनुक्रम -5, -2, 1, 4, ..., इसके अंतर को निर्धारित करना आवश्यक है, अर्थात डी।

ऐसा करने के लिए नाशपाती खोलना जितना आसान है: आपको दो तत्वों को लेने और छोटे को बड़े से घटाना होगा। इस मामले में, हमारे पास है: d = -2 - (-5) = 3।

प्राप्त उत्तर के बारे में सुनिश्चित होने के लिए, शेष अंतरों की जांच करने की अनुशंसा की जाती है, क्योंकि प्रस्तुत अनुक्रम बीजीय प्रगति की स्थिति को पूरा नहीं कर सकता है। हमारे पास है: 1 - (- 2) = 3 और 4 - 1 = 3। इन आंकड़ों से संकेत मिलता है कि हमें सही परिणाम मिला (d = 3) और यह साबित कर दिया कि समस्या कथन में संख्याओं की एक श्रृंखला वास्तव में एक बीजगणितीय प्रगति है।

उदाहरण समस्या संख्या 2: प्रगति के दो पदों को जानकर अंतर ज्ञात कीजिए

आइए एक और दिलचस्प समस्या पर विचार करें, जो इस सवाल से उत्पन्न होती है कि अंतर कैसे खोजा जाए। इस मामले में, अंकगणितीय प्रगति सूत्र का उपयोग nवें पद के लिए किया जाना चाहिए। तो, समस्या: श्रृंखला की पहली और पांचवीं संख्या दी गई है, जो बीजीय प्रगति के सभी गुणों से मेल खाती है, उदाहरण के लिए, ये संख्याएं 1 = 8 और 5 = -10 हैं। डी अंतर कैसे खोजें?

इस समस्या का समाधान nवें तत्व के सूत्र के सामान्य रूप को लिखकर शुरू किया जाना चाहिए: a n = a 1 + d * (- 1 + n)। अब आप दो तरीकों से जा सकते हैं: या तो संख्याओं को एक साथ बदलें और उनके साथ काम करें, या d को व्यक्त करें, और फिर विशिष्ट 1 और 5 पर जाएं। हम अंतिम विधि का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है: a 5 = a 1 + d * (- 1 + 5) या a 5 = 4 * d + a 1, जहाँ से यह इस प्रकार है कि d = (a 5 -a 1) / 4। अब आप स्थिति से ज्ञात डेटा को सुरक्षित रूप से प्रतिस्थापित कर सकते हैं और अंतिम उत्तर प्राप्त कर सकते हैं: d = (-10-8) / 4 = -4.5।

ध्यान दें कि इस मामले में प्रगति में अंतर नकारात्मक निकला, यानी संख्याओं का घटता क्रम है। समस्याओं को हल करते समय इस तथ्य पर ध्यान देना आवश्यक है ताकि "+" और "-" संकेतों को भ्रमित न करें। ऊपर दिए गए सभी सूत्र सार्वभौमिक हैं, इसलिए आपको हमेशा उनका पालन करना चाहिए, भले ही संख्याओं के संकेत के साथ संचालन किया जाता है।

समस्या संख्या 3 को हल करने का एक उदाहरण: a1 खोजें, अंतर और तत्व जानने के लिए

आइए समस्या की स्थिति को थोड़ा बदल दें। मान लीजिए कि दो संख्याएँ हैं: अंतर d = 6 और प्रगति का 9वाँ तत्व a 9 = 10. a1 कैसे ज्ञात करें? अंकगणितीय प्रगति सूत्र अपरिवर्तित रहते हैं, हम उनका उपयोग करेंगे। संख्या a 9 के लिए हमारे पास निम्नलिखित व्यंजक हैं: a 1 + d * (9-1) = a 9। जहाँ से हमें श्रंखला का पहला अवयव आसानी से मिल जाता है: a 1 = a 9 -8 * d = 10 - 8 * 6 = -38।

समस्या संख्या 4 को हल करने का एक उदाहरण: a1 खोजें, दो तत्वों को जानते हुए

समस्या का यह रूप पिछले वाले का एक जटिल संस्करण है। सार वही है, 1 की गणना करना आवश्यक है, लेकिन अब अंतर d ज्ञात नहीं है, और इसके बजाय प्रगति का एक और तत्व दिया गया है।

इस प्रकार की समस्या का एक उदाहरण निम्नलिखित है: एक अनुक्रम की पहली संख्या ज्ञात कीजिए जिसके लिए यह ज्ञात है कि यह एक अंकगणितीय प्रगति है, और इसके 15वें और 23वें तत्व क्रमशः 7 और 12 हैं।

शर्त से ज्ञात प्रत्येक तत्व के लिए nवें पद के लिए व्यंजक लिखकर इस समस्या को हल करना आवश्यक है, हमारे पास है: a 15 = d * (15-1) + a 1 और a 23 = d * (23-1) + ए 1. जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे पास दो रेखीय समीकरण 1 और डी के संबंध में हल किया जाना है। आइए इसे करें: दूसरे समीकरण से पहले घटाएं, फिर हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है: एक 23 -ए 15 = 22 * ​​डी - 14 * डी = 8 * डी। अंतिम समीकरण प्राप्त करते समय, 1 के मान छोड़े गए क्योंकि घटाए जाने पर वे रद्द हो जाते हैं। ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करते हुए, हम अंतर पाते हैं: डी = (ए 23 -ए 15) / 8 = (12-7) / 8 = 0.625।

अनुक्रम का पहला पद प्राप्त करने के लिए किसी ज्ञात तत्व के लिए मान d को किसी भी सूत्र में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए: a 15 = 14 * d + a 1, जहां से: a 1 = a 15 -14 * d = 7-14 * 0.625 = -1.75.

आइए परिणाम की जांच करें, इसके लिए हम दूसरी अभिव्यक्ति के माध्यम से 1 पाते हैं: ए 23 = डी * 22 + ए 1 या 1 = ए 23 -डी * 22 = 12 - 0.625 * 22 = -1.75।

समस्या संख्या 5 को हल करने का एक उदाहरण: n तत्वों का योग ज्ञात कीजिए

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस बिंदु तक, समाधान के लिए केवल एक अंकगणितीय प्रगति सूत्र (ग्रेड 9) का उपयोग किया गया था। अब हम एक समस्या देते हैं, जिसके समाधान के लिए आपको दूसरा सूत्र जानने की जरूरत है, जो कि योग S n के लिए है।

संख्याओं -1,1, -2,1, -3,1, ... की निम्नलिखित क्रमबद्ध पंक्ति है, आपको इसके पहले 11 तत्वों के योग की गणना करने की आवश्यकता है।

इस श्रृंखला से देखा जा सकता है कि यह घट रहा है, और 1 = -1.1। इसका अंतर है: d = -2.1 - (-1.1) = -1। अब आइए 11वें पद को परिभाषित करें: a 11 = 10 * d + a 1 = -10 + (-1.1) = -11.1। प्रारंभिक गणना पूरी करने के बाद, आप योग के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, हमारे पास: एस 11 = 11 * (- 1.1 + (- 11.1)) / 2 = -67.1। चूंकि सभी शर्तें थीं ऋणात्मक संख्या, तो उनके योग का एक समान चिन्ह होता है।

समस्या संख्या 6 को हल करने का एक उदाहरण: n से m . तक के तत्वों का योग ज्ञात कीजिए

शायद इस प्रकार की समस्या अधिकांश छात्रों के लिए सबसे कठिन होती है। आइए एक विशिष्ट उदाहरण दें: संख्या 2, 4, 6, 8 ... की एक श्रृंखला दी गई है, आपको 7वें से 13वें पदों का योग ज्ञात करना होगा।

सूत्रों अंकगणितीय प्रगति(ग्रेड 9) ठीक उसी तरह उपयोग किया जाता है जैसे पहले की सभी समस्याओं में होता था। इस समस्या को चरणों में हल करने की अनुशंसा की जाती है:

1. सबसे पहले, मानक सूत्र का उपयोग करके 13 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
2. फिर पहले 6 मदों के लिए इस राशि की गणना करें।
3. उसके बाद, पहली राशि से दूसरा घटाएं।

आइए समाधान के लिए नीचे उतरें। पिछले मामले की तरह, हम प्रारंभिक गणना करेंगे: a 6 = 5 * d + a 1 = 10 + 2 = 12, a 13 = 12 * d + 1 = 24 + 2 = 26।

आइए दो योगों की गणना करें: एस 13 = 13 * (2 + 26) / 2 = 182, एस 6 = 6 * (2 + 12) / 2 = 42। हम अंतर लेते हैं और वांछित उत्तर प्राप्त करते हैं: एस 7-13 = एस 13 - एस 6 = 182-42 = 140। ध्यान दें कि इस मूल्य को प्राप्त करते समय, यह प्रगति के 6 तत्वों का योग था जिसे घटाया गया था, क्योंकि 7 वां पद एस 7-13 के योग में शामिल है।

पेंटिंग और कविता की तरह ही गणित का अपना सौंदर्य है।

रूसी वैज्ञानिक, मैकेनिक एन.ई. ज़ुकोवस्की

गणित में प्रवेश परीक्षाओं में अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा से संबंधित समस्याएं बहुत आम समस्याएं हैं। ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, अंकगणितीय प्रगति के गुणों को अच्छी तरह से जानना और उनके आवेदन में कुछ कौशल होना आवश्यक है।

हम पहले अंकगणितीय प्रगति के मुख्य गुणों को याद करते हैं और सबसे महत्वपूर्ण सूत्र प्रस्तुत करते हैं, इस अवधारणा से संबंधित।

परिभाषा। संख्या क्रम, जिसमें प्रत्येक बाद का पद पिछले एक से समान संख्या से भिन्न होता है, अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। इसके अलावा, संख्याप्रगति में अंतर कहा जाता है।

एक समान्तर श्रेणी के लिए, निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

, (1)

कहाँ पे । सूत्र (1) को अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद के लिए सूत्र कहा जाता है, और सूत्र (2) अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति है: प्रगति का प्रत्येक पद इसके पड़ोसी शब्दों के अंकगणितीय माध्य के साथ मेल खाता है और।

ध्यान दें कि इस गुण के कारण ही मानी गई प्रगति को "अंकगणित" कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र (1) और (2) निम्नानुसार सामान्यीकृत हैं:

(3)

राशि की गणना करने के लिएपहला अंकगणितीय प्रगति के सदस्यआमतौर पर सूत्र लागू किया जाता है

(5) जहां और।

सूत्र को ध्यान में रखते हुए (1), तब सूत्र (5) का तात्पर्य है

अगर हम निरूपित करते हैं, तो

कहाँ पे । चूंकि, तब सूत्र (7) और (8) संगत सूत्रों (5) और (6) का एक सामान्यीकरण हैं।

विशेष रूप से , सूत्र (5) से यह इस प्रकार है, क्या

निम्नलिखित प्रमेय के माध्यम से तैयार की गई अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति, अधिकांश छात्रों के लिए अल्पज्ञात है।

प्रमेय।तो अगर

सबूत।तो अगर

प्रमेय सिद्ध होता है।

उदाहरण के लिए , प्रमेय का उपयोग करना, यह दिखाया जा सकता है कि

आइए "अंकगणितीय प्रगति" विषय पर समस्याओं को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1।चलो और। पाना ।

समाधान।सूत्र (6) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं। तब से और, तब या।

उदाहरण 2।इसे तीन गुना अधिक होने दें, और भागफल में विभाजित करने पर, हमें 2 और शेषफल 8 प्राप्त होता है। निर्धारित करें और।

समाधान।उदाहरण की स्थिति समीकरणों की प्रणाली का तात्पर्य है

चूँकि, और, तब समीकरणों के निकाय (10) से हम प्राप्त करते हैं

समीकरणों की इस प्रणाली का हल है और।

उदाहरण 3.खोजें अगर और।

समाधान।सूत्र (5) के अनुसार, हमारे पास या है। हालांकि, संपत्ति (9) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं।

तब से और तब से, समानता से समीकरण इस प्रकार हैया ।

उदाहरण 4.खोजें अगर।

समाधान।सूत्र (5) से, हमारे पास है

हालाँकि, प्रमेय का उपयोग करके, कोई लिख सकता है

इससे और सूत्र (11) से हम प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 5. दिया गया:। पाना ।

समाधान।तब से। मगर इसलिए।

उदाहरण 6.चलो, और। पाना ।

समाधान।सूत्र (9) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं। इसलिए, यदि, तो या।

चूंकि और, तो यहाँ हमारे पास समीकरणों की प्रणाली है

जिसे हल करने पर हमें मिलता है और।

समीकरण की प्राकृतिक जड़एक ।

उदाहरण 7.खोजें अगर और।

समाधान।चूंकि सूत्र (3) के अनुसार हमारे पास वह है, तो समस्या कथन समीकरणों की प्रणाली को दर्शाता है

यदि आप व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हैंप्रणाली के दूसरे समीकरण में, तो हम प्राप्त करते हैं या।

द्विघात समीकरण की जड़ें हैंतथा ।

आइए दो मामलों पर विचार करें।

1. चलो, फिर। तब से और तब से।

इस मामले में, सूत्र (6) के अनुसार, हमारे पास है

2. यदि, तब, और

उत्तर: और।

उदाहरण 8.ज्ञात हो कि व. पाना ।

समाधान।सूत्र (5) और उदाहरण की स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम लिखते हैं और।

इसलिए समीकरणों की प्रणाली का अनुसरण करता है

यदि हम निकाय के पहले समीकरण को 2 से गुणा करते हैं, और फिर इसे दूसरे समीकरण में जोड़ते हैं, तो हमें प्राप्त होता है

सूत्र (9) के अनुसार, हमारे पास है... इस संबंध में, (12) से यह निम्नानुसार हैया ।

तब से और तब से।

उत्तर: ।

उदाहरण 9.खोजें अगर और।

समाधान।चूंकि, और शर्त से, तब या।

सूत्र (5) से ज्ञात होता है, क्या । तब से।

इसलिये , यहाँ हमारे पास रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है

इसलिए हमें मिलता है और। सूत्र (8) को ध्यान में रखते हुए, हम लिखते हैं।

उदाहरण 10.प्रश्न हल करें।

समाधान।यह दिए गए समीकरण से निम्नानुसार है। मान लीजिए कि,, और। इस मामले में ।

सूत्र (1) के अनुसार आप लिख सकते हैं या।

चूँकि, समीकरण (13) का एक ही उपयुक्त मूल है।

उदाहरण 11.प्रदान किया गया अधिकतम मान ज्ञात कीजिए और।

समाधान।चूंकि, माना जाता है कि अंकगणितीय प्रगति घट रही है। इस संबंध में, व्यंजक अधिकतम मान लेता है जब वह प्रगति के न्यूनतम धनात्मक पद की संख्या होती है।

हम सूत्र (1) और तथ्य का उपयोग करते हैं, जैसा। तब हमें वह मिलता है या।

तब से, या तो ... हालांकि, इस असमानता मेंसबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या, इसीलिए ।

यदि मान, और को सूत्र (6) में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हमें प्राप्त होता है।

उत्तर: ।

उदाहरण 12.उन सभी दो अंकों वाली प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जिन्हें 6 से विभाजित करने पर 5 शेषफल प्राप्त होता है।

समाधान।आइए हम सभी दो अंकों वाली प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से निरूपित करें, अर्थात्। ... इसके बाद, हम समुच्चय के उन तत्वों (संख्याओं) से मिलकर एक उपसमुच्चय की रचना करते हैं, जिसे 6 से विभाजित करने पर शेषफल 5 प्राप्त होता है।

स्थापित करना मुश्किल नहीं है, क्या । स्पष्टतः , कि सेट के तत्वएक अंकगणितीय प्रगति बनाएँ, जिसमें और।

एक सेट की कार्डिनैलिटी (तत्वों की संख्या) स्थापित करने के लिए, हम यह मानते हैं। चूँकि और, तब सूत्र (1) से यह अनुसरण करता है या। सूत्र (5) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

समस्याओं को हल करने के उपरोक्त उदाहरण किसी भी तरह से संपूर्ण होने का दावा नहीं कर सकते हैं। यह लेख किसी दिए गए विषय पर विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए आधुनिक तरीकों के विश्लेषण के आधार पर लिखा गया है। अंकगणितीय प्रगति से जुड़ी समस्याओं को हल करने के तरीकों के गहन अध्ययन के लिए, अनुशंसित साहित्य की सूची का उल्लेख करना उचित है।

1. तकनीकी कॉलेजों के आवेदकों के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह / एड। एम.आई. स्कैनवी। - एम।: शांति और शिक्षा, 2013 .-- 608 पी।

2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: स्कूल पाठ्यक्रम के अतिरिक्त खंड। - एम।: लेनांद / उर्स, 2014 .-- 216 पी।

3. मेडिन्स्की एम.एम. प्रश्नों और अभ्यासों में प्रारंभिक गणित का पूरा पाठ्यक्रम। पुस्तक 2: संख्या क्रम और प्रगति। - एम।: एडिथस, 2015 .-- 208 पी।

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गणित और भौतिकी में कई विषयों की समझ संख्याओं की श्रृंखला के गुणों के ज्ञान से जुड़ी है। 9 वीं कक्षा के छात्र, "बीजगणित" विषय का अध्ययन करते समय, संख्याओं के महत्वपूर्ण अनुक्रमों में से एक पर विचार करते हैं - अंकगणितीय प्रगति। यहाँ अंकगणितीय प्रगति (ग्रेड 9) के मूल सूत्र दिए गए हैं, साथ ही समस्याओं को हल करने के लिए उनके उपयोग के उदाहरण भी दिए गए हैं।

बीजीय या अंकगणितीय प्रगति

इस लेख में चर्चा की जाने वाली संख्या श्रृंखला को दो अलग-अलग तरीकों से कहा जाता है, इस पैराग्राफ के शीर्षक में प्रस्तुत किया गया है। तो, गणित में, एक अंकगणितीय प्रगति को एक संख्यात्मक श्रृंखला के रूप में समझा जाता है जिसमें एक दूसरे के बगल में खड़ी कोई भी दो संख्या समान मात्रा से भिन्न होती है, जिसे अंतर कहा जाता है। ऐसी पंक्ति में संख्याओं को आमतौर पर कम पूर्णांक सूचकांक वाले अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए, a1, a2, a3, और इसी तरह, जहां सूचकांक पंक्ति तत्व की संख्या को इंगित करता है।

ऊपर दी गई अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, हम निम्नलिखित समानता लिख ​​सकते हैं: a2-a1 = ... = an-an-1 = d, यहां d एक बीजीय प्रगति का अंतर है और n कोई पूर्णांक है। यदि d> 0, तो हम उम्मीद कर सकते हैं कि श्रृंखला का प्रत्येक बाद वाला सदस्य पिछले वाले से बड़ा होगा, इस मामले में वे बढ़ती प्रगति की बात करते हैं। अगर डी

अंकगणितीय प्रगति सूत्र (ग्रेड 9 स्कूल)

विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला, चूंकि यह आदेश दिया गया है और एक निश्चित गणितीय कानून का पालन करता है, इसमें दो गुण हैं जो इसके उपयोग के लिए महत्वपूर्ण हैं:

सबसे पहले, केवल दो संख्याओं a1 और d को जानकर, आप अनुक्रम के किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं। यह इस सूत्र का उपयोग करके किया जाता है: a = a1 + (n-1) * d।

दूसरे, पहले के n पदों के योग की गणना करने के लिए, उन्हें क्रम में जोड़ना आवश्यक नहीं है, क्योंकि आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: Sn = n * (a + a1) / 2।

पहला सूत्र समझना आसान है, क्योंकि यह इस तथ्य का प्रत्यक्ष परिणाम है कि विचाराधीन श्रृंखला का प्रत्येक सदस्य अपने पड़ोसी से समान अंतर से भिन्न होता है।

अंकगणितीय प्रगति का दूसरा सूत्र प्राप्त किया जा सकता है यदि हम इस तथ्य पर ध्यान दें कि योग a1 + a, a2 + an-1, a3 + an-2, और इसी तरह के योग के बराबर हो जाता है। वास्तव में, चूँकि a2 = d + a1, an-2 = -2 * d + an, a3 = 2 * d + a1, और an-1 = -d + a, इन व्यंजकों को संगत योगों में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि वे एक ही हो जाएगा। दूसरे सूत्र में कारक n/2 (Sn के लिए) इस तथ्य के कारण प्रकट होता है कि ai + 1 + an-i जैसे n / 2 योग हैं, यहाँ i 0 से n / 2- एक तक का पूर्णांक है।

जीवित ऐतिहासिक साक्ष्यों के अनुसार, Sn के योग का सूत्र सबसे पहले कार्ल गॉस (प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ) द्वारा प्राप्त किया गया था, जब उन्हें एक स्कूल शिक्षक द्वारा पहली 100 संख्याओं को जोड़ने का काम सौंपा गया था।

उदाहरण समस्या # 1: अंतर खोजें

जिन समस्याओं में प्रश्न इस प्रकार प्रस्तुत किया गया है: अंकगणितीय प्रगति सूत्रों को जानना, डी (डी) कैसे खोजना है, यह सबसे सरल है जो केवल इस विषय के लिए हो सकता है।

आइए एक उदाहरण दें: दिए गए संख्यात्मक अनुक्रम -5, -2, 1, 4, ..., इसके अंतर को निर्धारित करना आवश्यक है, अर्थात डी।

ऐसा करने के लिए नाशपाती खोलना जितना आसान है: आपको दो तत्वों को लेने और छोटे को बड़े से घटाना होगा। इस मामले में, हमारे पास है: d = -2 - (-5) = 3।

प्राप्त उत्तर के बारे में सुनिश्चित होने के लिए, शेष अंतरों की जांच करने की अनुशंसा की जाती है, क्योंकि प्रस्तुत अनुक्रम बीजीय प्रगति की स्थिति को पूरा नहीं कर सकता है। हमारे पास है: 1 - (- 2) = 3 और 4 - 1 = 3। इन आंकड़ों से संकेत मिलता है कि हमें सही परिणाम मिला (d = 3) और यह साबित कर दिया कि समस्या कथन में संख्याओं की एक श्रृंखला वास्तव में एक बीजगणितीय प्रगति है।

उदाहरण समस्या संख्या 2: प्रगति के दो पदों को जानकर अंतर ज्ञात कीजिए

आइए एक और दिलचस्प समस्या पर विचार करें, जो इस सवाल से उत्पन्न होती है कि अंतर कैसे खोजा जाए। इस मामले में, अंकगणितीय प्रगति सूत्र का उपयोग nवें पद के लिए किया जाना चाहिए। तो, समस्या: एक श्रृंखला की पहली और पांचवीं संख्या दी गई है जो बीजगणितीय प्रगति के सभी गुणों से मेल खाती है, उदाहरण के लिए, ये संख्याएं a1 = 8 और a5 = -10 हैं। डी अंतर कैसे खोजें?

इस समस्या का समाधान nवें तत्व के सूत्र के सामान्य रूप को लिखकर शुरू किया जाना चाहिए: a = a1 + d * (- 1 + n)। अब आप दो तरीकों से जा सकते हैं: या तो संख्याओं को एक साथ बदलें और उनके साथ काम करें, या d व्यक्त करें, और फिर विशिष्ट a1 और a5 पर जाएं। आइए अंतिम विधि का उपयोग करें, हमें मिलता है: a5 = a1 + d * (- 1 + 5) या a5 = 4 * d + a1, जहां से यह निम्नानुसार है कि d = (a5-a1) / 4। अब आप स्थिति से ज्ञात डेटा को सुरक्षित रूप से प्रतिस्थापित कर सकते हैं और अंतिम उत्तर प्राप्त कर सकते हैं: d = (-10-8) / 4 = -4.5।

ध्यान दें कि इस मामले में प्रगति में अंतर नकारात्मक निकला, यानी संख्याओं का घटता क्रम है। समस्याओं को हल करते समय इस तथ्य पर ध्यान देना आवश्यक है ताकि "+" और "-" संकेतों को भ्रमित न करें। ऊपर दिए गए सभी सूत्र सार्वभौमिक हैं, इसलिए आपको हमेशा उनका पालन करना चाहिए, भले ही संख्याओं के संकेत के साथ संचालन किया जाता है।

समस्या संख्या 3 को हल करने का एक उदाहरण: a1 खोजें, अंतर और तत्व जानने के लिए

आइए समस्या की स्थिति को थोड़ा बदल दें। मान लीजिए कि दो संख्याएँ हैं: अंतर d = 6 और प्रगति का 9वाँ तत्व a9 = 10. a1 कैसे ज्ञात करें? अंकगणितीय प्रगति सूत्र अपरिवर्तित रहते हैं, हम उनका उपयोग करेंगे। संख्या a9 के लिए हमारे पास निम्नलिखित व्यंजक है: a1 + d * (9-1) = a9। जहाँ से हमें श्रंखला का पहला अवयव आसानी से मिल जाता है: a1 = a9-8 * d = 10 - 8 * 6 = -38।

समस्या संख्या 4 को हल करने का एक उदाहरण: a1 खोजें, दो तत्वों को जानते हुए

समस्या का यह रूप पिछले वाले का एक जटिल संस्करण है। सार वही है, a1 की गणना करना आवश्यक है, लेकिन अब अंतर d ज्ञात नहीं है, और इसके बजाय प्रगति का एक और तत्व दिया गया है।

इस प्रकार की समस्या का एक उदाहरण निम्नलिखित है: एक अनुक्रम की पहली संख्या ज्ञात कीजिए जिसके लिए यह ज्ञात है कि यह एक अंकगणितीय प्रगति है, और इसके 15वें और 23वें तत्व क्रमशः 7 और 12 हैं।

शर्त से ज्ञात प्रत्येक तत्व के लिए nवें पद के लिए व्यंजक लिखकर इस समस्या को हल करना आवश्यक है, हमारे पास है: a15 = d * (15-1) + a1 और a23 = d * (23-1) + a1। जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें दो रैखिक समीकरण मिले हैं जिन्हें a1 और d के लिए हल करने की आवश्यकता है। आइए इसे करते हैं: पहले को दूसरे समीकरण से घटाएं, फिर हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है: a23-a15 = 22 * ​​d - 14 * d = 8 * d। अंतिम समीकरण प्राप्त करते समय, a1 के मान छोड़े गए क्योंकि घटाए जाने पर वे रद्द हो जाते हैं। ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करते हुए, हम अंतर पाते हैं: d = (a23-a15) / 8 = (12-7) / 8 = 0.625।

अनुक्रम में पहला पद प्राप्त करने के लिए किसी ज्ञात तत्व के लिए मान d को किसी भी सूत्र में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए: a15 = 14 * d + a1, जहां से: a1 = a15-14 * d = 7-14 * 0.625 = -1.75।

आइए परिणाम की जांच करें, इसके लिए हम दूसरी अभिव्यक्ति के माध्यम से a1 पाते हैं: a23 = d * 22 + a1 या a1 = a23-d * 22 = 12 - 0.625 * 22 = -1.75।

समस्या संख्या 5 को हल करने का एक उदाहरण: n तत्वों का योग ज्ञात कीजिए

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस बिंदु तक, समाधान के लिए केवल एक अंकगणितीय प्रगति सूत्र (ग्रेड 9) का उपयोग किया गया था। अब हम एक समस्या प्रस्तुत करते हैं जिसके समाधान के लिए आपको दूसरा सूत्र जानने की आवश्यकता है, जो कि योग Sn के लिए है।

संख्याओं -1,1, -2,1, -3,1, ... की निम्नलिखित क्रमबद्ध पंक्ति है, आपको इसके पहले 11 तत्वों के योग की गणना करने की आवश्यकता है।

इस श्रृंखला से देखा जा सकता है कि यह घट रहा है, और a1 = -1.1। इसका अंतर है: d = -2.1 - (-1.1) = -1। अब 11वें पद को परिभाषित करते हैं: a11 = 10 * d + a1 = -10 + (-1.1) = -11.1। प्रारंभिक गणना पूरी करने के बाद, आप योग के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, हमारे पास: S11 = 11 * (- 1.1 + (- 11.1)) / 2 = -67.1। चूँकि सभी पद ऋणात्मक संख्याएँ थे, इसलिए उनके योग का संगत चिन्ह होता है।

समस्या संख्या 6 को हल करने का एक उदाहरण: n से m . तक के तत्वों का योग ज्ञात कीजिए

शायद इस प्रकार की समस्या अधिकांश छात्रों के लिए सबसे कठिन होती है। आइए एक विशिष्ट उदाहरण दें: संख्या 2, 4, 6, 8 ... की एक श्रृंखला दी गई है, आपको 7वें से 13वें पदों का योग ज्ञात करना होगा।

अंकगणितीय प्रगति सूत्र (ग्रेड 9) ठीक उसी तरह उपयोग किए जाते हैं जैसे पहले की सभी समस्याओं में। इस समस्या को चरणों में हल करने की अनुशंसा की जाती है:

सबसे पहले, मानक सूत्र का उपयोग करके 13 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

फिर पहले 6 मदों के लिए इस राशि की गणना करें।

उसके बाद, पहली राशि से दूसरा घटाएं।

आइए समाधान के लिए नीचे उतरें। पिछले मामले की तरह, हम प्रारंभिक गणना करेंगे: a6 = 5 * d + a1 = 10 + 2 = 12, a13 = 12 * d + a1 = 24 + 2 = 26।

आइए दो योगों की गणना करें: S13 = 13 * (2 + 26) / 2 = 182, S6 = 6 * (2 + 12) / 2 = 42। हम अंतर लेते हैं और वांछित उत्तर प्राप्त करते हैं: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140। ध्यान दें कि यह मान प्राप्त करते समय, यह प्रगति के 6 तत्वों का योग था जिसे घटाया गया था, क्योंकि 7वाँ पद S7-13 के योग में शामिल है।

कक्षा: 9

पाठ का प्रकार: नई सामग्री सीखने का पाठ।

पाठ का उद्देश्य: अनुक्रमों के प्रकारों में से एक के रूप में अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा का गठन, nवें पद के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति, अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की विशेषता संपत्ति से परिचित होना। समस्याओं को सुलझा रहा।

पाठ मकसद:

• शिक्षात्मक- अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा का परिचय दें; एन-वें सदस्य सूत्र; अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के पास विशेषता संपत्ति।
• विकसित होना- गणितीय अवधारणाओं की तुलना करने, समानताएं और अंतर खोजने, निरीक्षण करने की क्षमता, नोटिस पैटर्न, सादृश्य द्वारा तर्क करने की क्षमता विकसित करना; किसी वास्तविक स्थिति के गणितीय मॉडल के निर्माण और व्याख्या करने की क्षमता बनाने के लिए।
• शिक्षात्मक- गणित और इसके अनुप्रयोगों, गतिविधि, संवाद करने की क्षमता में रुचि को बढ़ावा देने में योगदान करने के लिए, यकीनन उनके विचारों की रक्षा करना।

उपकरण: कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, प्रस्तुति (परिशिष्ट 1)

पाठ्यपुस्तकें: बीजगणित 9, यू.एन. मकर्यचेव, एनजी मिंड्युक, के.एन. नेशकोव, एस.बी. सुवोरोव, एस.ए. तेल्याकोवस्की द्वारा संपादित, जेएससी "मॉस्को पाठ्यपुस्तकें", 2010

शिक्षण योजना:

1. संगठनात्मक क्षण, समस्या कथन
2. ज्ञान अद्यतन, मौखिक कार्य
3. नई सामग्री सीखना
4. प्राथमिक एंकरिंग
5. पाठ सारांश
6. होम वर्क

सामग्री के साथ काम करने की स्पष्टता और सुविधा बढ़ाने के लिए, पाठ एक प्रस्तुति के साथ है। हालांकि, इसकी आवश्यकता नहीं है और वही पाठ उन कक्षाओं में पढ़ाया जा सकता है जो मल्टीमीडिया उपकरणों से लैस नहीं हैं। इसके लिए आवश्यक डेटा को बोर्ड पर या टेबल और पोस्टर के रूप में तैयार किया जा सकता है।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण, समस्या विवरण।

अभिवादन।

आज के पाठ का विषय अंकगणितीय प्रगति है। इस पाठ में, हम सीखेंगे कि एक अंकगणितीय प्रगति क्या है, इसका सामान्य रूप क्या है, यह पता लगाएं कि अंकगणितीय प्रगति को अन्य अनुक्रमों से कैसे अलग किया जाए और उन समस्याओं को हल किया जाए जहां अंकगणितीय प्रगति के गुणों का उपयोग किया जाता है।

द्वितीय. ज्ञान अद्यतन, मौखिक कार्य।

अनुक्रम () सूत्र द्वारा दिया गया है: =। इस क्रम के सदस्य की संख्या क्या है यदि यह 144 के बराबर है? 225? एक सौ? क्या इस क्रम के 48 सदस्य हैं? 49? 168?

यह अनुक्रम () के बारे में जाना जाता है कि, ... अनुक्रमण की इस पद्धति का नाम क्या है? इस क्रम के प्रथम चार पद ज्ञात कीजिए।

यह उस क्रम () के बारे में जाना जाता है। अनुक्रमण की इस पद्धति का नाम क्या है? खोजें अगर?

III. नई सामग्री सीखना।

प्रगति मूल्यों का एक क्रम है, जिनमें से प्रत्येक एक निश्चित है, संपूर्ण प्रगति के लिए सामान्य है, पिछले एक पर निर्भरता है। यह शब्द अब काफी हद तक पुराना हो चुका है और केवल "अंकगणितीय प्रगति" और "ज्यामितीय प्रगति" के संयोजन में पाया जाता है।

शब्द "प्रगति" लैटिन मूल का है (प्रगति, जिसका अर्थ है "आगे बढ़ना") और रोमन लेखक बोथियस (6 वीं शताब्दी) द्वारा पेश किया गया था। गणित में यह शब्द ऐसे कानून के अनुसार निर्मित संख्याओं के किसी भी क्रम को संदर्भित करता था जो इस क्रम को एक दिशा में अनिश्चित काल तक जारी रखने की अनुमति देता है। वर्तमान में, मूल रूप से व्यापक अर्थों में "प्रगति" शब्द का प्रयोग नहीं किया जाता है। दो महत्वपूर्ण विशेष प्रकार की प्रगति - अंकगणित और ज्यामितीय - ने अपना नाम बरकरार रखा है।

संख्याओं के अनुक्रम पर विचार करें:

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

पहले क्रम में तीसरा पद क्या है? बाद के सदस्य? पिछला सदस्य? दूसरे और पहले शब्दों में क्या अंतर है? तीसरे और दूसरे सदस्य? चौथा और तीसरा?

यदि अनुक्रम उसी नियम के अनुसार बनाया गया है, तो निष्कर्ष निकालें कि पहले अनुक्रम के छठे और पांचवें सदस्यों के बीच क्या अंतर होगा? सातवें और छठे के बीच?

प्रत्येक क्रम में अगले दो पदों के नाम लिखिए। आप ऐसा क्यों सोचते हैं?

(छात्र उत्तर)

इन अनुक्रमों में कौन सी संपत्ति समान है? इस संपत्ति को बताएं।

(छात्र उत्तर)

इस संपत्ति के साथ संख्यात्मक अनुक्रमों को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। छात्रों को अपने लिए एक परिभाषा तैयार करने का प्रयास करने के लिए आमंत्रित करें।

एक अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा: एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या में जोड़ा जाता है:

(- अंकगणितीय प्रगति, यदि, कुछ संख्या कहाँ है।

संख्या डी, यह दर्शाता है कि अनुक्रम का अगला सदस्य पिछले एक से कितना भिन्न है, इसे प्रगति का अंतर कहा जाता है:।

आइए अनुक्रमों पर एक और नज़र डालें और मतभेदों के बारे में बात करें। प्रत्येक अनुक्रम में क्या विशेषताएं हैं और वे किससे जुड़े हैं?

यदि अंकगणितीय प्रगति में अंतर सकारात्मक है, तो प्रगति बढ़ रही है: 2, 6, 10, 14, 18,:। (

यदि एक समान्तर श्रेणी में अंतर ऋणात्मक है (, तो प्रगति घट रही है: 11, 8, 5, 2, -1,:. (

यदि अंतर शून्य () के बराबर है और प्रगति के सभी सदस्य समान संख्या के बराबर हैं, तो अनुक्रम को स्थिर कहा जाता है: 5, 5, 5, 5,:।

अंकगणितीय प्रगति कैसे सेट करें? निम्नलिखित समस्या पर विचार करें।

कार्य। 1 जनवरी को गोदाम में 50 टन कोयला था। महीने भर से हर दिन 3 टन कोयले से भरा ट्रक गोदाम में आता है। 30 तारीख को गोदाम में कितना कोयला होगा, अगर इस दौरान गोदाम से कोयले की खपत नहीं हुई।

यदि हम प्रत्येक संख्या के गोदाम में कोयले की मात्रा लिखते हैं, तो हमें एक अंकगणितीय प्रगति प्राप्त होती है। इस समस्या को हल कैसे करें? क्या आपको वास्तव में महीने के प्रत्येक दिन कोयले की मात्रा की गणना करनी है? क्या इसके बिना करने का कोई तरीका है? हम ध्यान दें कि 30 तारीख तक कोयले के साथ 29 ट्रक गोदाम में पहुंचेंगे। इस प्रकार 30 तारीख को गोदाम में 50+329=137 टन कोयला होगा।

इस प्रकार, अंकगणितीय प्रगति और अंतर के केवल पहले सदस्य को जानने के बाद, हम अनुक्रम के किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं। क्या हमेशा ऐसा ही होता है?

आइए विश्लेषण करें कि अनुक्रम का प्रत्येक पद पहले पद और अंतर पर कैसे निर्भर करता है:

इस प्रकार, हमने समांतर श्रेणी के n-वें पद के लिए सूत्र प्राप्त किया है।

उदाहरण 1। अनुक्रम () एक अंकगणितीय प्रगति है। खोजें अगर और।

आइए nवें पद के लिए सूत्र का उपयोग करें ,

उत्तर : 260.

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें:

अंकगणितीय प्रगति में, पदों को भी अधिलेखित कर दिया गया था: 3,:, 7,:, 13: क्या खोई हुई संख्याओं को पुनर्स्थापित करना संभव है?

छात्रों द्वारा पहले प्रगति में अंतर की गणना करने और फिर प्रगति के अज्ञात सदस्यों को खोजने की अधिक संभावना है। फिर आप उन्हें अनुक्रम के अज्ञात सदस्य, पिछले और अगले के बीच संबंध खोजने के लिए कह सकते हैं।

समाधान:आइए इस तथ्य का लाभ उठाएं कि एक अंकगणितीय प्रगति में आसन्न पदों के बीच का अंतर स्थिर है। आज्ञा देना अनुक्रम के आवश्यक सदस्य बनें। फिर

.

टिप्पणी। यह संपत्तिअंकगणितीय प्रगति इसकी विशेषता संपत्ति है। इसका मतलब यह है कि किसी भी अंकगणितीय प्रगति में, दूसरे से शुरू होने वाला प्रत्येक पद पिछले और बाद के अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है ( ... इसके विपरीत, कोई भी अनुक्रम जिसमें प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और अगले के अंकगणितीय माध्य के बराबर है, एक अंकगणितीय प्रगति है।

चतुर्थ। प्राथमिक एंकरिंग।

• नंबर 575 एबी - मौखिक रूप से
• नंबर 576 एवीडी - मौखिक रूप से
• नंबर 577b - स्वतंत्र रूप से सत्यापन के साथ

अनुक्रम (एक अंकगणितीय प्रगति है। खोजें if and

आइए nवें पद के लिए सूत्र का उपयोग करें,

उत्तर: -24.2।

समांतर श्रेणी -8 के 23वें और nवें पद ज्ञात कीजिए; -6.5; :

समाधान:समांतर श्रेणी का पहला पद -8 है। आइए अंकगणितीय प्रगति का अंतर ज्ञात करें, इसके लिए अनुक्रम के अगले सदस्य से पिछले एक को घटाना आवश्यक है: -6.5 - (- 8) = 1.5।

आइए nवें पद के लिए सूत्र का उपयोग करें:

समांतर श्रेणी () का पहला पद ज्ञात कीजिए यदि .

आइए याद करते हैं हमारे पाठ की शुरुआत, दोस्तों। क्या आपने आज के पाठ में कुछ नया सीखने का प्रबंधन किया, कोई खोज की? और उस पाठ के लक्ष्य क्या थे जो हमने अपने लिए निर्धारित किए थे? क्या आपको लगता है कि हम अपने लक्ष्यों को प्राप्त करने में सफल रहे हैं?

होम वर्क।

खंड 25, संख्या 578 ए, संख्या 580 बी, संख्या 582, संख्या 586 ए, संख्या 601 ए।

मजबूत शिक्षार्थी रचनात्मक गतिविधि: साबित करें कि अंकगणितीय प्रगति में किसी भी संख्या के लिए जैसे कि क समानता रखती है तथा .

ट्यूटोरियल दोस्तों के लिए धन्यवाद। आपने आज अच्छा काम किया।