- Kaks üksteisega risti asetsevat koordinaatjoont, mis lõikuvad punktis O - võrdluse alguspunkt, vorm ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, mida nimetatakse ka Descartes'i koordinaatsüsteemiks.
- Kutsutakse tasapinda, millel koordinaatsüsteem on valitud koordinaattasand. Koordinaadi sirgeid nimetatakse koordinaatteljed. Horisontaalne telg on abstsisstelg (Ox), vertikaaltelg on ordinaattelg (Oy).
- Koordinaatide teljed jagavad koordinaattasandi neljaks osaks – neljandikku. Kvartalite järjekorranumbreid loetakse tavaliselt vastupäeva.
- Iga punkt koordinaattasandil on määratud selle koordinaatidega - abstsiss ja ordinaat. Näiteks, A(3; 4). Loe: punkt A koordinaatidega 3 ja 4. Siin 3 on abstsiss, 4 on ordinaat.
I. Punkti A(3; 4) ülesehitus.
Abstsiss 3 näitab, et loenduse algusest - punktid O tuleb nihutada paremale 3 ühiku segment ja pange see siis üles 4 ühiku segment ja pane punkt.
See on asja mõte A(3; 4).
Punkti B(-2; 5) ehitus.
Nullist liigume vasakule 2 üks segment ja seejärel üles 5 üksikud segmendid.
Teeme sellele lõpu IN.
Tavaliselt võetakse ühiku segment 1 rakk.
II. Koostage punktid xOy koordinaattasandil:
A (-3; 1);B(-1;-2);
C(-2:4);D (2; 3);
F(6:4);K(4; 0)
III. Määrake konstrueeritud punktide koordinaadid: A, B, C, D, F, K.
A(-4; 3);IN 20);
C(3; 4);D (6; 5);
F (0; -3);K (5; -2).
Matemaatika on üsna keeruline teadus. Seda õppides tuleb lisaks näidete ja ülesannete lahendamisele ka töötada erinevate kujundite ja isegi tasapindadega. Üks matemaatikas enim kasutatavaid on koordinaatide süsteem tasapinnal. Lapsi on õpetatud sellega õigesti töötama rohkem kui aasta. Seetõttu on oluline teada, mis see on ja kuidas sellega õigesti töötada.
Mõelgem välja, mis see süsteem on, milliseid toiminguid saab selle abiga teha, samuti selgitame välja selle peamised omadused ja omadused.
Mõiste definitsioon
Koordinaattasand on tasapind, millel on määratud konkreetne koordinaatsüsteem. Selline tasapind on määratletud kahe sirgjoonega, mis ristuvad täisnurga all. Nende sirgete lõikepunktis on koordinaatide alguspunkt. Iga punkt koordinaattasandil on määratud arvupaariga, mida nimetatakse koordinaatideks.
Koolimatemaatika kursusel peavad kooliõpilased tegema üsna tihedat koostööd koordinaatide süsteemiga - konstrueerima sellele kujundeid ja punkte, määrama, millisele tasapinnale konkreetne koordinaat kuulub, samuti määrama punkti koordinaadid ja need kirjutama või nimetama. Seetõttu räägime üksikasjalikumalt kõigist koordinaatide omadustest. Kuid kõigepealt puudutame loomise ajalugu ja seejärel räägime sellest, kuidas töötada koordinaattasandil.
Ajalooline viide
Ideed koordinaatsüsteemi loomise kohta eksisteerisid juba Ptolemaiose ajal. Juba siis mõtlesid astronoomid ja matemaatikud, kuidas õppida tasapinnal punkti asukohta määrama. Kahjuks polnud tol ajal meile teadaolevat koordinaatsüsteemi ja teadlased pidid kasutama muid süsteeme.
Algselt määrasid nad punktid laius- ja pikkuskraadide abil. Pikka aega oli see üks enim kasutatud meetodeid selle või teise teabe kaardile kandmiseks. Kuid 1637. aastal lõi Rene Descartes oma koordinaatide süsteemi, mis sai hiljem nime "Cartesiuse" järgi.
Juba 17. sajandi lõpus. Mõistet “koordinaattasand” on matemaatika maailmas laialdaselt kasutatud. Hoolimata asjaolust, et selle süsteemi loomisest on möödunud mitu sajandit, kasutatakse seda endiselt laialdaselt matemaatikas ja isegi elus.
Näited koordinaattasandist
Enne teooriast rääkimist toome mõned visuaalsed näited koordinaattasandist, et saaksite seda ette kujutada. Koordinaatsüsteemi kasutatakse peamiselt males. Tahvlil on igal ruudul oma koordinaadid – üks koordinaat on tähestikuline, teine digitaalne. Selle abil saate määrata konkreetse nupu asukoha laual.
Teine kõige silmatorkavam näide on armastatud mäng “Battleship”. Pidage meeles, kuidas mängides nimetate koordinaadi, näiteks B3, näidates nii täpselt, kuhu sihite. Samal ajal määrate laevade paigutamisel punktid koordinaattasandil.
Seda koordinaatide süsteemi kasutatakse laialdaselt mitte ainult matemaatikas ja loogikamängudes, vaid ka sõjanduses, astronoomias, füüsikas ja paljudes teistes teadustes.
Koordinaatide teljed
Nagu juba mainitud, on koordinaatsüsteemis kaks telge. Räägime neist veidi, kuna neil on märkimisväärne tähtsus.
Esimene telg on abstsiss – horisontaalne. Seda tähistatakse kui ( Ox). Teine telg on ordinaat, mis kulgeb vertikaalselt läbi võrdluspunkti ja on tähistatud kui ( Oy). Just need kaks telge moodustavad koordinaatsüsteemi, jagades tasapinna neljaks veerandiks. Algpunkt asub nende kahe telje ristumispunktis ja võtab väärtuse 0 . Ainult siis, kui tasapinna moodustavad kaks risti lõikuvat telge, millel on võrdluspunkt, on see koordinaattasapind.
Pange tähele ka seda, et igal teljel on oma suund. Tavaliselt on koordinaatsüsteemi koostamisel tavaks näidata telje suunda noole kujul. Lisaks märgitakse koordinaattasandi konstrueerimisel iga telg.
Kvartalid
Nüüd ütleme paar sõna sellise kontseptsiooni kohta nagu koordinaattasandi veerandid. Lennuk on kahe teljega jagatud neljaks veerandiks. Igal neist on oma number ja lennukid on nummerdatud vastupäeva.
Igal kvartalil on oma eripärad. Niisiis, esimesel veerandil on abstsiss ja ordinaat positiivne, teisel veerandil on abstsiss negatiivne, ordinaat on positiivne, kolmandas on nii abstsiss kui ka ordinaat negatiivsed, neljandas on abstsiss positiivne ja ordinaat negatiivne .
Neid funktsioone meeles pidades saate hõlpsasti kindlaks teha, millisesse kvartalisse konkreetne punkt kuulub. Lisaks võib see teave olla teile kasulik, kui peate tegema arvutusi Descartes'i süsteemi abil.
Töö koordinaattasandiga
Kui oleme mõistnud tasapinna mõistet ja rääkinud selle veeranditest, saame liikuda edasi sellise probleemi juurde nagu selle süsteemiga töötamine ning rääkida ka sellest, kuidas sellele panna punkte ja kujundite koordinaate. Koordinaatide tasapinnal pole see nii keeruline, kui esmapilgul võib tunduda.
Esiteks on süsteem ise üles ehitatud, sellele kantakse kõik olulised tähised. Seejärel töötame otse punktide või kujunditega. Veelgi enam, isegi kujundite konstrueerimisel joonistatakse kõigepealt tasapinnale punktid ja seejärel joonistatakse joonised.
Reeglid lennuki ehitamiseks
Kui otsustate hakata paberile kujundeid ja punkte märkima, on teil vaja koordinaattasandit. Sellele kantakse punktide koordinaadid. Koordinaattasandi konstrueerimiseks on vaja ainult joonlauda ja pliiatsit või pliiatsit. Kõigepealt joonistatakse horisontaalne x-telg, seejärel vertikaaltelg. Oluline on meeles pidada, et teljed ristuvad täisnurga all.
Järgmine kohustuslik punkt on märgistuse paigaldamine. Igal teljel mõlemas suunas on üksuse segmendid tähistatud ja märgistatud. Seda tehakse selleks, et saaksite seejärel lennukiga maksimaalselt mugavalt töötada.
Märkige punkt
Nüüd räägime sellest, kuidas joonistada punktide koordinaate koordinaattasandil. Need on põhitõed, mida peate teadma erinevate kujundite edukaks paigutamiseks tasapinnale ja isegi võrrandite märgistamiseks.
Punktide koostamisel peaksite meeles pidama, kuidas nende koordinaadid on õigesti kirjutatud. Nii et tavaliselt kirjutatakse punkti määramisel sulgudesse kaks numbrit. Esimene number tähistab punkti koordinaati piki abstsisstellge, teine - piki ordinaattelge.
Punkt tuleks üles ehitada nii. Esimene märk teljel Ox määratud punkt, seejärel märkige punkt teljel Oy. Järgmiseks tõmmake nendest tähistest väljamõeldud jooned ja leidke koht, kus need ristuvad – see on antud punkt.
Kõik, mida pead tegema, on see ära märkida ja allkirjastada. Nagu näete, on kõik üsna lihtne ega vaja erilisi oskusi.
Asetage kujund
Liigume nüüd edasi koordinaattasandil kujundite konstrueerimise küsimuse juurde. Koordinaattasandil mistahes kujundi konstrueerimiseks peaksite teadma, kuidas sellele punkte paigutada. Kui teate, kuidas seda teha, pole figuuri lennukile asetamine nii keeruline.
Kõigepealt vajate joonise punktide koordinaate. Just nende järgi rakendame teie poolt valitud koordinaatsüsteemile, vaatleme ristküliku, kolmnurga ja ringi rakendamist.
Alustame ristkülikuga. Seda on üsna lihtne rakendada. Kõigepealt märgitakse tasapinnale neli punkti, mis tähistavad ristküliku nurki. Seejärel ühendatakse kõik punktid üksteisega järjestikku.
Kolmnurga joonistamine ei erine. Ainus asi on see, et sellel on kolm nurka, mis tähendab, et tasapinnale on märgitud kolm punkti, mis näitavad selle tippe.
Ringi puhul peaksite teadma kahe punkti koordinaate. Esimene punkt on ringi keskpunkt, teine punkt, mis näitab selle raadiust. Need kaks punkti on joonistatud tasapinnale. Seejärel võtke kompass ja mõõtke kahe punkti vaheline kaugus. Kompassi punkt asetatakse keskpunkti tähistavasse punkti ja kirjeldatakse ringi.
Nagu näha, pole siin ka midagi keerulist, peaasi, et joonlaud ja sirkel on alati käepärast.
Nüüd teate, kuidas joonistada kujundite koordinaate. Selle tegemine koordinaattasandil pole nii keeruline, kui esmapilgul võib tunduda.
järeldused
Niisiis, oleme vaatlenud üht kõige huvitavamat ja põhilisemat matemaatika mõistet, millega iga koolilaps peab tegelema.
Oleme välja selgitanud, et koordinaattasand on kahe telje lõikepunktist moodustunud tasapind. Selle abil saate määrata punktide koordinaate ja joonistada sellele kujundeid. Lennuk on jagatud neljandikku, millest igaühel on oma omadused.
Peamine oskus, mida koordinaattasandiga töötades arendada, on oskus sellele antud punkte õigesti joonistada. Selleks peaksite teadma telgede õiget asukohta, kvartalite iseärasusi, samuti reegleid, mille järgi punktide koordinaadid määratakse.
Loodame, et meie esitatud teave oli juurdepääsetav ja arusaadav ning ka teile kasulik ning aitas teil seda teemat paremini mõista.
Las see antakse võrrand kahe muutujaga F(x; y). Olete juba tutvunud selliste võrrandite analüütilise lahendamise viisidega. Paljusid selliste võrrandite lahendusi saab esitada graafiku kujul.
Võrrandi graafik F(x; y) on punktide hulk koordinaattasandil xOy, mille koordinaadid vastavad võrrandile.
Kahe muutujaga võrrandite graafiku tegemiseks väljendage kõigepealt võrrandis y muutuja muutuja x kaudu.
Kindlasti teate juba, kuidas koostada erinevaid kahe muutujaga võrrandigraafikuid: ax + b = c – sirge, yx = k – hüperbool, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – ring, mille raadius on on võrdne R ja kese on punktis O(a; b).
Näide 1.
Joonistage võrrand x 2 – 9y 2 = 0.
Lahendus.
Faktoriseerime võrrandi vasaku külje.
(x – 3y) (x+ 3y) = 0, see tähendab, y = x/3 või y = -x/3.
Vastus: Joonis 1.
Erilise koha hõivavad kujundite määratlemine tasapinnal absoluutväärtuse märki sisaldavate võrranditega, millel peatume üksikasjalikult. Vaatleme kujuga |y| võrrandite graafikute koostamise etappe = f(x) ja |y| = |f(x)|.
Esimene võrrand on samaväärne süsteemiga
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) või y = -f(x).
See tähendab, et selle graafik koosneb kahe funktsiooni graafikutest: y = f(x) ja y = -f(x), kus f(x) ≥ 0.
Teise võrrandi joonistamiseks joonistage kaks funktsiooni: y = f(x) ja y = -f(x).
Näide 2.
Joonistage võrrand |y| = 2 + x.
Lahendus.
Antud võrrand on samaväärne süsteemiga
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 või y = -x - 2.
Me ehitame palju punkte.
Vastus: Joonis 2.
Näide 3.
Joonistage võrrand |y – x| = 1.
Lahendus.
Kui y ≥ x, siis y = x + 1, kui y ≤ x, siis y = x – 1.
Vastus: Joonis 3.
Moodulimärgi all muutujat sisaldavate võrrandite graafikute koostamisel on mugav ja ratsionaalne kasutada pindala meetod, mis põhineb koordinaattasandi jagamisel osadeks, milles iga submodulaarne avaldis säilitab oma märgi.
Näide 4.
Joonistage võrrand x + |x| + y + |y| = 2.
Lahendus.
Selles näites sõltub iga alammooduli avaldise märk koordinaatkvadrandist.
1) Esimeses koordinaatide veerandis x ≥ 0 ja y ≥ 0. Pärast mooduli laiendamist näeb antud võrrand välja selline:
2x + 2y = 2 ja pärast lihtsustamist x + y = 1.
2) Teisel veerandil, kus x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) III kvartalis x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) Neljandas kvartalis, kui x ≥ 0 ja y< 0 получим, что x = 1.
Joonistame selle võrrandi kvartalite kaupa.
Vastus: Joonis 4.
Näide 5.
Joonestage punktide hulk, mille koordinaadid rahuldavad võrdsust |x – 1| + |y – 1| = 1.
Lahendus.
Submodulaarsete avaldiste nullid x = 1 ja y = 1 jagavad koordinaattasandi neljaks piirkonnaks. Jaotame moodulid piirkondade kaupa. Korraldame selle tabeli kujul.
| Piirkond |
Submodulaarne väljendusmärk |
Saadud võrrand pärast mooduli laiendamist |
| I | x ≥ 1 ja y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | x< 1 и y ≥ 1 | -x + y = 1 |
| III | x< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 ja y< 1 | x – y = 1 |
Vastus: Joonis 5.
Koordinaatide tasapinnal saab määrata kujundeid ja ebavõrdsused.
Ebavõrdsuse graafik kahe muutujaga on kõigi koordinaattasandi punktide hulk, mille koordinaadid on selle võrratuse lahendid.
Mõelgem algoritm kahe muutujaga võrratuste lahendamise mudeli koostamiseks:
- Kirjutage üles võrrandile vastav võrrand.
- Joonistage 1. sammu võrrand.
- Valige suvaline punkt ühel pooltasandil. Kontrollige, kas valitud punkti koordinaadid vastavad sellele ebavõrdsusele.
- Joonistage graafiliselt ebavõrdsuse kõigi lahendite hulk.
Vaatleme esmalt ebavõrdsust ax + bx + c > 0. Võrrand ax + bx + c = 0 defineerib sirge, mis jagab tasapinna kaheks pooltasandiks. Igas neist säilitab funktsioon f(x) = ax + bx + c oma märgi. Selle märgi määramiseks piisab, kui võtta mis tahes pooltasandisse kuuluv punkt ja arvutada selles punktis funktsiooni väärtus. Kui funktsiooni märk langeb kokku ebavõrdsuse märgiga, siis on see pooltasand ebavõrdsuse lahendus.
Vaatame näiteid kahe muutujaga enamlevinud ebavõrdsuste graafilistest lahendustest.
1) ax + bx + c ≥ 0. Joonis 6.
2)
|x| ≤ a, a > 0. Joonis 7.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Joonis 8.
4) y ≥ x 2. Joonis 9.
5)
xy ≤ 1. Joonis 10. 
Kui teil on küsimusi või soovite matemaatilist modelleerimist harjutada kahe muutuja võrratuste kõigi lahenduste komplektide joonistamist tasapinnalisel mudelil, võite tasuta 25-minutiline õppetund online juhendajaga pärast . Edasiseks koostööks õpetajaga on teil võimalus valida endale sobiv
Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas joonistada joonist koordinaattasandile?
Juhendajalt abi saamiseks -.
Esimene tund on tasuta!
blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.
Nimetatakse järjestatud süsteemi kahest või kolmest ristuvast teljest, mis on üksteisega risti ja millel on ühine alguspunkt (koordinaatide alguspunkt) ja ühine pikkusühik. ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem .
Üldine Descartes'i koordinaatsüsteem (afiinne koordinaatsüsteem) ei pruugi tingimata sisaldada risti asetsevaid telgi. Prantsuse matemaatiku Rene Descartes'i (1596-1662) auks on nimetatud just selline koordinaatsüsteem, kus kõigil telgedel mõõdetakse ühtne pikkusühik ja teljed on sirged.
Ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem tasapinnal on kaks telge ja ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem ruumis - kolm telge. Iga punkt tasapinnal või ruumis on määratletud järjestatud koordinaatide komplektiga – arvud, mis vastavad koordinaatsüsteemi pikkusühikule.
Pange tähele, et nagu definitsioonist järeldub, on sirgel, st ühes dimensioonis, Descartes'i koordinaatsüsteem. Descartes'i koordinaatide kasutuselevõtt sirgel on üks viise, kuidas sirge mis tahes punkti seostatakse täpselt määratletud reaalarvuga, see tähendab koordinaadiga.
Rene Descartes’i töödes esile kerkinud koordinaatmeetod tähistas kogu matemaatika revolutsioonilist ümberstruktureerimist. Tekkis võimalus tõlgendada algebralisi võrrandeid (või võrratusi) geomeetriliste kujutiste (graafikute) kujul ja vastupidi, otsida lahendusi geomeetrilistele ülesannetele analüütiliste valemite ja võrrandisüsteemide abil. Jah, ebavõrdsus z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy ja asub sellest tasapinnast 3 ühiku võrra kõrgemal.
Descartes'i koordinaatsüsteemi kasutades vastab punkti kuuluvus antud kõveral sellele, et arvud x Ja y täitma mõnda võrrandit. Seega ringjoone punkti koordinaadid, mille keskpunkt on antud punktis ( a; b) täidavad võrrandit (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem tasapinnal
Tasapinnal moodustuvad kaks risti asetsevat telge, millel on ühine algus ja sama mõõtkava Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem tasapinnal . Ühte neist telgedest nimetatakse teljeks Ox, või x-telg , teine - telg Oy, või y-telg . Neid telgi nimetatakse ka koordinaattelgedeks. Tähistagem poolt Mx Ja My vastavalt suvalise punkti projektsioon M teljel Ox Ja Oy. Kuidas saada prognoose? Lähme punktist läbi M Ox. See sirgjoon lõikub teljega Ox punktis Mx. Lähme punktist läbi M teljega risti asetsev sirgjoon Oy. See sirgjoon lõikub teljega Oy punktis My. See on näidatud alloleval pildil.
x Ja y punktid M me kutsume vastavalt suunatud segmentide väärtusi OMx Ja OMy. Nende suunatud segmentide väärtused arvutatakse vastavalt järgmiselt x = x0 - 0 Ja y = y0 - 0 . Descartes'i koordinaadid x Ja y punktid M abstsiss Ja ordinaat . Asjaolu, et punkt M on koordinaadid x Ja y, on tähistatud järgmiselt: M(x, y) .
Koordinaatide teljed jagavad tasapinna neljaks kvadrand , mille numeratsioon on näidatud alloleval joonisel. See näitab ka punktide koordinaatide märkide paigutust sõltuvalt nende asukohast konkreetses kvadrandis.
Lisaks ristkülikukujulistele koordinaatidele tasapinnal arvestatakse sageli ka polaarkoordinaatide süsteemi. Ühest koordinaatsüsteemist teise ülemineku meetodi kohta - õppetunnis polaarkoordinaatide süsteem .
Ristkülikukujuline Descartes'i koordinaatsüsteem ruumis
Descartes'i koordinaadid ruumis tuuakse sisse täielikus analoogias tasandi ristkoordinaatidega.
Kolm ruumis üksteisega risti olevat telge (koordinaattelge), millel on ühine algus O ja sama skaalaühikuga nad moodustavad Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ruumis .
Ühte neist telgedest nimetatakse teljeks Ox, või x-telg , teine - telg Oy, või y-telg , kolmas - telg Oz, või telg kohaldada . Lase Mx, My Mz- suvalise punkti projektsioonid M ruumi teljel Ox , Oy Ja Oz vastavalt.
Lähme punktist läbi M OxOx punktis Mx. Lähme punktist läbi M teljega risti olev tasapind Oy. See tasapind lõikub teljega Oy punktis My. Lähme punktist läbi M teljega risti olev tasapind Oz. See tasapind lõikub teljega Oz punktis Mz.
Descartes'i ristkülikukujulised koordinaadid x , y Ja z punktid M me kutsume vastavalt suunatud segmentide väärtusi OMx, OMy Ja OMz. Nende suunatud segmentide väärtused arvutatakse vastavalt järgmiselt x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Ja z = z0 - 0 .
Descartes'i koordinaadid x , y Ja z punktid M kutsutakse vastavalt abstsiss , ordinaat Ja kohaldada .
Paarides võetud koordinaatide teljed asuvad koordinaattasanditel xOy , yOz Ja zOx .
Ülesanded Descartes'i koordinaatsüsteemi punktide kohta
Näide 1.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Leidke nende punktide projektsioonide koordinaadid abstsissteljele.
Lahendus. Nagu selle õppetunni teoreetilisest osast tuleneb, asub punkti projektsioon abstsissteljele abstsissteljel endal, see tähendab teljel Ox, ja seetõttu on selle abstsiss võrdne punkti enda abstsissiga ja ordinaat (koordinaat teljel Oy, mille x-telg lõikub punktis 0), mis on võrdne nulliga. Seega saame nende x-telje punktide järgmised koordinaadid:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
Näide 2. Descartes'i koordinaatsüsteemis antakse punktid tasapinnal
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Leidke nende punktide projektsioonide koordinaadid ordinaatteljel.
Lahendus. Nagu selle õppetunni teoreetilisest osast tuleneb, asub punkti projektsioon ordinaatteljele ordinaatteljel endal, see tähendab teljel. Oy, ja seetõttu on selle ordinaat võrdne punkti enda ordinaatiga ja abstsiss (koordinaat teljel Ox, mille ordinaattelg lõikub punktis 0), mis on võrdne nulliga. Seega saame nende punktide koordinaadid ordinaatteljel järgmised:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
Näide 3. Descartes'i koordinaatsüsteemis antakse punktid tasapinnal
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Ox .
Ox Ox Ox, on antud punktiga sama abstsiss ja ordinaat, mis on absoluutväärtuselt võrdne antud punkti ordinaadiga ja märgilt vastupidine. Seega saame nende punktide suhtes sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid telje suhtes Ox :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Lahendage ülesanded ise Descartes'i koordinaatsüsteemi abil ja seejärel vaadake lahendusi
Näide 4. Määrake, millistes kvadrantides (veerandid, kvadrantidega joonistamine - lõigu "Ristkülikukujuline ristkülikukujuline koordinaatsüsteem tasapinnal" lõpus) võib punkt paikneda M(x; y) , Kui
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Näide 5. Descartes'i koordinaatsüsteemis antakse punktid tasapinnal
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Leidke nende punktidega sümmeetriliste punktide koordinaadid telje suhtes Oy .
Jätkame koos probleemide lahendamist
Näide 6. Descartes'i koordinaatsüsteemis antakse punktid tasapinnal
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Leidke nende punktidega sümmeetriliste punktide koordinaadid telje suhtes Oy .
Lahendus. Pöörake 180 kraadi ümber telje Oy suundsegment teljest Oy kuni selle punktini. Joonisel, kus on näidatud tasapinna kvadrandid, näeme, et antud punkt on telje suhtes sümmeetriline Oy, on antud punktiga sama ordinaat ja abstsiss, mis on absoluutväärtuses võrdne antud punkti abstsissiga ja vastandmärgiga. Seega saame nende punktide suhtes sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid telje suhtes Oy :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Näide 7. Descartes'i koordinaatsüsteemis antakse punktid tasapinnal
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Leia nende punktidega sümmeetriliste punktide koordinaadid lähtepunkti suhtes.
Lahendus. Suunatud segmenti pöörame lähtepunktist antud punkti 180 kraadi ümber alguspunkti. Joonisel, kus on näidatud tasandi kvadrandid, näeme, et punkti, mis on koordinaatide alguspunkti suhtes sümmeetriline antud punktiga, on abstsiss ja ordinaat, mis on absoluutväärtuses võrdne antud punkti abstsissi ja ordinaadiga, kuid märgiga vastand. Seega saame nende punktide suhtes sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid lähtepunkti suhtes:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Näide 8.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Leidke nende punktide projektsioonide koordinaadid:
1) lennukis Oxy ;
2) lennukis Oxz ;
3) lennukisse Oyz ;
4) abstsissteljel;
5) ordinaatteljel;
6) rakendusteljel.
1) Punkti projekteerimine tasapinnale Oxy asub sellel tasapinnal ja seetõttu on selle abstsiss ja ordinaat võrdne antud punkti abstsissi ja ordinaatiga ning rakendus võrdub nulliga. Nii saame nende punktide projektsioonide järgmised koordinaadid Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Punkti projekteerimine tasapinnale Oxz asub sellel tasapinnal ja seetõttu on selle abstsiss ja aplikaat võrdne antud punkti abstsissi ja aplikatsiooniga ning ordinaat on võrdne nulliga. Nii saame nende punktide projektsioonide järgmised koordinaadid Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Punkti projektsioon tasapinnale Oyz asub sellel tasapinnal ja seetõttu on selle ordinaat ja aplikaat võrdne antud punkti ordinaat ja aplikaat ning abstsiss võrdne nulliga. Nii saame nende punktide projektsioonide järgmised koordinaadid Oyz :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Nagu selle õppetunni teoreetilisest osast tuleneb, asub punkti projektsioon abstsissteljele abstsissteljel endal, st teljel Ox, ja seetõttu on selle abstsiss võrdne punkti enda abstsissiga ning projektsiooni ordinaat ja aplikaat on võrdsed nulliga (kuna ordinaat- ja rakendustelg lõikuvad abstsissiga punktis 0). Nende punktide projektsioonide abstsissteljele saame järgmised koordinaadid:
Ax(4;0;0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) Punkti projektsioon ordinaatteljel asub ordinaatteljel endal ehk teljel Oy, ja seetõttu on selle ordinaat võrdne punkti enda ordinaatiga ning projektsiooni abstsiss ja aplikaat on võrdsed nulliga (kuna abstsiss- ja rakendustelg lõikuvad ordinaatteljega punktis 0). Saame nende punktide projektsioonide koordinaadid ordinaatteljele järgmised:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) Punkti projektsioon rakendusteljele asub rakendusteljel endal, see tähendab teljel Oz, ja seetõttu on selle rakendus võrdne punkti enda aplikatsiooniga ning projektsiooni abstsiss ja ordinaat on võrdsed nulliga (kuna abstsiss- ja ordinaatteljed lõikuvad rakendusteljega punktis 0). Saame nende punktide projektsioonide koordinaadid rakendusteljele:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz(0; 0; 0).
Näide 9. Descartes'i koordinaatsüsteemis on punktid antud ruumis
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Leidke nende punktide suhtes sümmeetriliste punktide koordinaadid:
1) lennuk Oxy ;
2) lennukid Oxz ;
3) lennukid Oyz ;
4) abstsissteljed;
5) ordinaatteljed;
6) rakendada teljed;
7) koordinaatide päritolu.
1) "Teisaldage" punkt teisel pool telge Oxy Oxy, millel on abstsiss ja ordinaat, mis on võrdne antud punkti abstsissi ja ordinaatiga, ning rakendus, mis on suuruselt võrdne antud punkti aplikaadiga, kuid vastandmärgiga. Seega saame tasandi suhtes andmetega sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) “Liigutage” punkt teisel pool telge Oxz samale kaugusele. Koordinaadiruumi kujutaval joonisel näeme, et punkt on telje suhtes sümmeetriline antud punktiga Oxz, millel on abstsiss ja aplikatsioon, mis on võrdne antud punkti abstsissli ja aplikatsiooniga, ning ordinaat, mis on suuruselt võrdne antud punkti ordinaadiga, kuid vastandmärgiga. Seega saame tasandi suhtes andmetega sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Liigutage" punkt teisel pool telge Oyz samale kaugusele. Koordinaadiruumi kujutaval joonisel näeme, et punkt on telje suhtes sümmeetriline antud punktiga Oyz, on ordinaat ja aplikaat, mis on võrdsed antud punkti ordinaat ja aplikaat, ning abstsiss, mis on väärtuselt võrdne antud punkti abstsissiga, kuid vastandmärgiga. Seega saame tasandi suhtes andmetega sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Analoogiliselt tasapinna sümmeetriliste punktide ja tasandite suhtes andmete suhtes sümmeetriliste ruumipunktidega märgime, et sümmeetria korral Descartes'i koordinaatsüsteemi mõne telje suhtes ruumis on koordinaat teljel tasandite suhtes. mille sümmeetria on antud, säilitab oma märgi ja ülejäänud kahe telje koordinaadid on absoluutväärtuses samad kui antud punkti koordinaadid, kuid märgilt vastupidised.
4) Abstsiss säilitab oma märgi, kuid ordinaat ja aplikaat muudavad märke. Seega saame abstsisstelje suhtes andmetega sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Ordinaat säilitab oma märgi, kuid abstsiss ja aplikaat muudavad märke. Seega saame järgmised koordinaadid, mis on ordinaattelje suhtes andmetega sümmeetrilised:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Aplikatsioon säilitab oma märgi, kuid abstsiss ja ordinaat muudavad märke. Seega saame rakenduse telje suhtes andmetega sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Analoogiliselt sümmeetriaga tasapinna punktide korral on koordinaatide alguspunkti suhtes sümmeetria korral kõik antud punktiga sümmeetrilise punkti koordinaadid absoluutväärtuses võrdsed antud punkti koordinaatidega, kuid nende vastandmärgis. Seega saame lähtepunkti suhtes andmetega sümmeetriliste punktide järgmised koordinaadid.
Tasapinna ristkülikukujuline koordinaatsüsteem on määratletud kahe vastastikku risti asetseva sirgega. Sirgeid jooni nimetatakse koordinaattelgedeks (või koordinaattelgedeks). Nende joonte lõikepunkti nimetatakse alguspunktiks ja seda tähistatakse tähega O.
Tavaliselt on üks joontest horisontaalne, teine vertikaalne. Horisontaalne joon on tähistatud kui x-telg (või Ox) ja seda nimetatakse abstsissteljeks, vertikaaljoon on y-telg (Oy), mida nimetatakse ordinaatteljeks. Kogu koordinaatsüsteem on tähistatud xOy.
Punkt O jagab iga telje kaheks poolteljeks, millest ühte peetakse positiivseks (tähistatud noolega), teist negatiivseks.
Tasapinna igale punktile F on määratud arvupaar (x;y) – selle koordinaadid.
X-koordinaati nimetatakse abstsissiks. See on võrdne Härgiga, võetud vastava märgiga.
Y-koordinaati nimetatakse ordinaadiks ja see on võrdne kaugusega punktist F Oy teljeni (sobiva märgiga).
Telgede kaugusi mõõdetakse tavaliselt (kuid mitte alati) samas pikkusühikus.
Y-teljest paremal asuvatel punktidel on positiivsed abstsissid. Punktidel, mis asuvad ordinaatteljest vasakul, on negatiivsed abstsissid. Iga Oy teljel asuva punkti x koordinaat on null.
Positiivse ordinaadiga punktid asuvad x-telje kohal ja negatiivse ordinaadiga punktid allpool. Kui punkt asub Ox-teljel, on selle y-koordinaat null.
Koordinaatide teljed jagavad tasapinna neljaks osaks, mida nimetatakse koordinaatveeranditeks (või koordinaatnurkadeks või kvadrantideks).
1 koordinaatveerand asub xOy koordinaattasandi paremas ülanurgas. Mõlemad esimeses kvartalis paiknevate punktide koordinaadid on positiivsed.
Üleminek ühest veerandist teise toimub vastupäeva.
2 koordinaatveerand asub vasakus ülanurgas. Teisel veerandil paiknevatel punktidel on negatiivne abstsiss ja positiivne ordinaat.
3 koordinaatveerand asub xOy tasandi vasakpoolses alumises kvadrandis. III koordinaatnurga alla kuuluvate punktide mõlemad koordinaadid on negatiivsed.
4 koordinaatveerand on koordinaattasandi alumine parem nurk. Igal punktil IV kvartalist on positiivne esimene koordinaat ja negatiivne teine.
Näide punktide asukohast ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis:
