Логические операции И и ИЛИ
Логика высказываний позволяет строить составные высказывания . Они создаются из нескольких простых высказываний путем соединения их друг с другом с помощью логических операций НЕ , И , ИЛИ и др.
Логическая операция И
Определение истинности или ложности составного высказывания зависит от того, являются ли истинными или ложными простые высказывания, входящие в его состав, а также от той логической операции, которая их связывает.
Логическая операция И
Составное высказывание А И В , образованное в результате объединения двух простых высказываний А и B логической операцией И , истинно тогда и только тогда, когда А и В одновременно истинны.
Логическая операция И
Пример 1:
Проанализируем высказывание «Число 456 трехзначное и четное».
Данное высказывание является составным, поскольку оно содержит два простых высказывания:
«Число 456 трехзначное» (высказывание А ) и «Число 456 четное» (высказывание В ).
Высказывания А и В соединены вместе логической операцией И , в результате получено составное высказывание
А И B. Высказывание А истинно, высказывание В истинно. Поэтому высказывание А И B истинно: (А И B ) = 1.
Логическая операция И
Пример 2:
Высказывание А : «Геракл - герой древнегреческой мифологии». Истинно , А = 1.
Высказывание В : «Геракл - сын бога Зевса». Истинно , B = 1.
Высказывание А И В : «Геракл - герой древнегреческой мифологии И сын бога Зевса». Истинно , (А И В ) = 1.
Логическая операция И
Операцию И называют логическим умножением
И :
Логическая операция И
Представим таблицу истинности для логической операции И :
Логическая операция И
Если хотя бы одно из простых высказываний, связанных операцией И , будет ложным, то и составное высказывание будет ложным.
И используют следующие обозначения: A И B , A AND B , A · B , A * B , A ∧ B , A & B .
Логическая операция Или
Составное высказывание А ИЛИ В , образованное в результате объединения двух простых высказываний А и B логической операцией ИЛИ , ложно тогда и только тогда, когда А и В одновременно ложны
Логическая операция Или
Пример 3:
Проанализируем высказывание «Семиклассники изучают философию или астрономию» .
Данное составное высказывание образовано из двух простых высказываний: «Семиклассники изучают философию» (высказывание А ), «Семиклассники изучают астрономию» (высказывание В ), которые связаны логической операцией ИЛИ . В результате получилось составное высказывание А ИЛИ B. Высказывание А ложно, высказывание В ложно. Поэтому высказывание А ИЛИ B ложно: (А ИЛИ B ) = 0.
Логическая операция Или
Пример 4:
Высказывание А : «Франциск Скорина - белорусский первопечатник». Истинно, А = 1.
Высказывание В : «Стефан Баторий - турецкий султан». Ложно, B = 0.
Логическая операция Или
Пример 4:
Высказывание «Франциск Скорина - белорусский первопечатник, ИЛИ Стефан Баторий - турецкий султан» будет истинным , (А ИЛИ В ) = 1.
Логическая операция Или
Операцию И называют логическим умножением . Равенства 1 · 1 = 1, 1 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 0 · 0 = 0, верные для обычного умножения, верны и для логического умножения.
Логическая операция Или
Таблица истинности для логической операции ИЛИ имеет следующий вид:
А
В
А ИЛИ В
Логическая операция Или
Операцию ИЛИ называют логическим сложением . Равенства 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0, верные для обычного сложения, верны и для логического сложения.
Для записи логической операции ИЛИ можно использовать следующие выражения: A ИЛИ B , A OR B , A + B , A ∨ B , A | B .
Логическая операция Или
Если в логическом выражении присутствует несколько логических операций, то важно определить порядок их выполнения.
Наивысшим приоритетом обладает операция НЕ . Логическая операция И , т. е. логическое умножение, выполняется раньше операции ИЛИ - логического сложения
Логическая операция Или
Для изменения порядка выполнения логических операций используют скобки: в этом случае сначала выполняются операции в скобках, а затем - все остальные.
Логические операции И и ИЛИ подчиняются переместительному закону:
A И B = B И A ;
A ИЛИ B = B ИЛИ A .
Логическая операция Или
- Чтобы определить значение составного логического выражения, иногда достаточно знать значение только одного простого высказывания.
- Так, если в составном высказывании с операцией И значение хотя бы одного простого высказывания является ложным, то и значение составного высказывания будет ложным.
- Если в составном высказывании с операцией ИЛИ значение хотя бы одного простого будет истинным, то и значение составного высказывания будет истинным
Логическая операция Или
Пример 5:
Высказывание А :
«Сейчас на улице идет дождь».
Высказывание В :
Высказывание А И B будет ложным, если мы увидели, что на улице нет дождя (независимо от того, что обещал прогноз погоды).
Логическая операция Или
Пример 5:
Высказывание А :
«Прогноз погоды обещает дожди».
«Сейчас на улице идет дождь».
Высказывание В :
Высказывание А ИЛИ B будет истинным, если прогноз погоды обещал дождь (независимо от того, какую погоду мы наблюдаем сейчас).
Упражнения
Определите, истинными или ложными являются нижеприведенные составные высказывания.
- Мяч круглый, ИЛИ Земля плоская. Кролики - домашние животные, И баобаб растет в Беловежской пуще. Клавиатура - устройство ввода информации, ИЛИ винчестер - устройство вывода информации. М. Ю. Лермонтов написал стихотворение «Парус», И И. А. Крылов написал басню «Квартет». Сосна - хвойное дерево, И кедр - не хвойное дерево. Процессор - устройство обработки информации в компьютере, ИЛИ наушники - не устройство ввода информации. Континенты и острова - это большие участки суши.
- Мяч круглый, ИЛИ Земля плоская.
- Кролики - домашние животные, И баобаб растет в Беловежской пуще.
- Клавиатура - устройство ввода информации, ИЛИ винчестер - устройство вывода информации.
- М. Ю. Лермонтов написал стихотворение «Парус», И И. А. Крылов написал басню «Квартет».
- Сосна - хвойное дерево, И кедр - не хвойное дерево.
- Процессор - устройство обработки информации в компьютере, ИЛИ наушники - не устройство ввода информации.
- Континенты и острова - это большие участки суши.
Домашнее задание
1 слайд
Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций: МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка Высказывание Вид дизъюнкции Витя сидит на северной или восточной трибуне стадиона Строгая Студент едет в электричке или читает книгу Нестрогая Оля любит писать сочинения или решать логические задачи Нестрогая Сережа учится в школе или окончил ее Строгая Завтра дождь будет или не будет (третьего не дано) Строгая Давайте бороться за чистоту. Чистота достигается так: или не сорить, или часто убирать Нестрогая Земля движется по круговой или эллиптической орбите Строгая Числа можно складывать или перемножать Нестрогая МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
2 слайд
образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или». Союз «или» может использоваться: в неисключающем (объединительном) смысле - операция называется нестрогой дизъюнкцией; в исключающем (разделительном) смысле - операция называется строгой дизъюнкцией. МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
3 слайд
Графическая иллюстрация конъюнкции с помощью диаграмм Эйлера - Венна: A - множество отличников в классе; B - множество спортсменов в классе; A B - множество отличников, занимающихся спортом. МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка B А МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
4 слайд
Таблица истинности конъюнкции: МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно. A B A ۸ B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
5 слайд
Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и». Обозначение конъюнкции: A И B; A ۸ B; A & B; A B; A AND B. МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка А = «10 делится на 2» В = «10 делится на 5» , A ۸ B = «10 делится на 2 и на 5». МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
6 слайд
Графическая иллюстрация инверсии с помощью диаграмм Эйлера - Венна: А - множество отличников; Ā - множество неотличников. МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка А Ā МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
7 слайд
Истинность высказывания, имеющего форму Ā (вне зависимости от его содержания), определяется по специальной таблице истинности. Таблица истинности инверсии (неА): МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное - истинным. А Ā 0 1 1 0 МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
8 слайд
Образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что…». Обозначение инверсии: НЕ А; ¬ A; Ā; NOT А. МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка А = Дождя не будет Ā = Неверно, что дождя не будет. (Дождь будет.) МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
9 слайд
Способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний. Истинное высказывание в логике обозначается - 1, ложное – 0 Высказывания обозначаются буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д. МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
10 слайд
Логическое отрицание (инверсия) Логическое умножение (конъюнкция) Логическое сложение (дизъюнкция) Логическое следование (импликация) Логическое равенство (эквивалентность) МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
11 слайд
образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «…тогда и только тогда, когда...». Обозначение эквивалентности: A B; A B; A ~ B. МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90°. Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает. МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
12 слайд
Графическая иллюстрация импликации с помощью диаграмм Эйлера - Венна: (A=0) (B=0) (A=0) (B=1) (A=1) (B=1) МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка B А МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
13 слайд
Таблица истинности импликации: МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (Из истины не может следовать ложь). A B A B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
14 слайд
образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...». Обозначение импликации: A B; A B. МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка E = Если клятва дана, то она должна выполняться. P = Если число делится на 9, то оно делится на 3. МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
15 слайд
Графическая иллюстрация дизъюнкции с помощью диаграмм Эйлера - Венна: A - множество отличников в классе; B - множество спортсменов в классе; A B - множество учеников класса, которые являются отличниками или спортсменами. МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка B А МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
Логические величины, операции, выражения ГБОУ СПО «НТСТиСО» Баландина Татьяна Александровна Преподаватель дисциплин профессионального цикла
2 слайд
Описание слайда:
Основные понятия Слово логика означает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления. Сам термин "логика" происходит от древнегреческого «logos», означающего "слово, мысль, понятие, рассуждение, закон". Формальная логика - наука о формах и законах мышления. Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Логика как наука позволяет строить формальные модели окружающего мира, отвлекаясь от содержательной стороны. Основными формами мышления являются понятия, суждения и умозаключения. Понятие - это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, отличающие его от других. Например, компьютер, человек, ученики. Суждения - это форма мышления, в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его признаком, отношения между предметами или факт существования предмета и которая может быть либо истинной, либо ложной.
3 слайд
Описание слайда:
Логические выражения и логические операции Логическое выражение - это символическая запись, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками). В булевой алгебре простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, значение которых равно 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно. Обозначаются логические переменные буквами латинского алфавита. Существуют разные варианты обозначения истинности и ложности переменных: Истина 1 Ложь 0 Связки "НЕ", "И", "ИЛИ" заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.
4 слайд
Описание слайда:
Логическое отрицание (инверсия) Нетрудно заметить, что значения истинности высказываний А и В находятся в определенной связи: если А истинно, то В ложно, и наоборот. Операция, с помощью которой из высказывания А получается высказывание В, называется логическим отрицанием и само высказывание В называется отрицанием высказывания А и обозначается. Таким образом, отрицанием некоторого высказывания А называется такое высказывание, которое истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно. Отрицание высказывания А обозначим. Определение отрицания может быть записано с помощью так называемой таблицы истинности:
5 слайд
Описание слайда:
Логическое умножение (конъюнкция) Если два высказывания соединены союзом "И", то полученное сложное высказывание обычно считается истинным тогда и только тогда, когда истинны оба составляющие его высказывания. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза "И" сложное высказывание также считается ложным. Таким образом, конъюнкцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В. Конъюнкцию высказываний А и В мы обозначим: A & B. Знак & - амперсант - читается как английское "and" (помните Procter & Gamble или Wash & Go?). Часто встречается обозначение А Λ В.
6 слайд
Описание слайда:
Логическое сложение (дизъюнкция) Если два высказывания соединены союзом "ИЛИ", то полученное сложное высказывание обычно считается истинным, когда истинно, хотя бы одно из составляющих высказываний. Дизъюнкцией называется такое новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний. Дизъюнкцию высказываний А и В мы обозначим символом А V В и будем читать: А или В. Определение дизъюнкции может быть записано в виде таблицы истинности:
7 слайд
Описание слайда:
Логическое следование (импликация) Импликацией называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно и В ложно. Запишем это определение в виде таблицы истинности:
8 слайд
Описание слайда:
Логическое тождество (эквиваленция) Эквиваленцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны. Отметим, что высказывание типа "А, если и только если В" можно заменить высказыванием "Если А, то В и, если В, то А" (обдумайте это на досуге и обратите внимание на символ). Следовательно, функцию эквиваленции можно заменить комбинацией функций импликации и конъюнкции. Запишем таблицу истинности для эквиваленции:
9 слайд
Описание слайда:
Построение таблиц истинности для логических функций Логическая функция - это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль. Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют булевой функцией суждений f(a, b). Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор аргументов, а в правой части - соответствующие значения логической функции. При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций. Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке: 1. инверсия; 2. конъюнкция; 3. дизъюнкция; 4. импликация и эквивалентность. Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются круглые скобки.
Слайд 2
История логики
Логика– наука о формах правильного мышления (рассуждения). Термин происходит от греческого слова «логос», что значит рассуждение. Логика-древняя наука, появившаяся приблизительно в 4 веке н.э. На востоке логика развивалась в Китае и в Индии. В Европе развитие логики происходит из Древней Греции.
Слайд 3
Основателем логики принято считать греческого философа Аристотеля. Аристотель первым систематизировал доступные знания о логике, обосновал формы и правила логического мышления. Результаты своих исследований он описал в цикле сочинений под общим названием «Органон»
Слайд 4
Рассуждая о чем-то, человек производит высказывания (суждения). Высказывание- это утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Пример: 1) На улице идет дождь. 2) Луна – спутник Земли. Приведенные примеры являются простыми высказываниями. Сложные высказывания составляются из простых высказываний, соединенных логическими связками: «и», «или», «не» и т.д.
Слайд 5
Умозаключение – это процесс получения нового высказывания в результате анализа данных высказываний.
Слайд 6
В 19 веке в математической науке возникает новый раздел – алгебра логики. Алгебра логики оперирует с логическими величинами, которые могут принимать всего два значения: истина или ложь.
Слайд 7
Джорж Буль впервые применил алгебраические методы для решения традиционных логических задач, которые до этого решались методами рассуждений, согласно логике Аристотеля. В алгебре логики логические величины обозначаются буквами: a, b, x и т.д.
Слайд 8
Логические операции
Слайд 9
Слайд 10
Пример: Шахматы
Есть 4 друга: Антон, Виктор, Семен и Дмитрий. Относительно их умение играть в шахматы, справедливы следующие высказывания: Семен играет в шахматы Если Виктор не играет в шахматы, то играет Семен и Дмитрий Если Антон или Виктор играет, то Семен не играет. Преобразуем эти высказывания к алгебраической форме. Введем логические переменные для обозначения четырех простых высказываний: А = «Антон играет в шахматы» В = «Виктор играет в шахматы» С= «Семен играет в шахматы» D = «Дмитрий играет в шахматы»
Презентация на тему "Алгебра высказываний" по информатике в формате powerpoint. В данной презентации для школьников 10-11 класса рассказывается о логических операциях и логических переменных, об основных законах алгебры высказываний. Автор презентации: Сергеев Евгений Викторович.
Фрагменты из презентации
Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание
Логические переменные
- Логические переменные – простые высказывания, содержащие только одну мысль.
- Обозначаются буквами латинского алфавита: A, B, C…
- Логические переменные могут принимать лишь два значения: «ИСТИНА» (1) или «ЛОЖЬ» (0)
- В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: «ИСТИНА» (1) или «ЛОЖЬ» (0)
- В алгебре высказываний над логическими переменными (над высказываниями) можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые высказывания
Составные высказывания
- Высказывания, состоящие из нескольких простых суждений и содержащие в себе более, чем одну простую мысль, называются логическими функциями Обозначаются F(A,B,C…)
- Также могут принимать значения «ИСТИНА» или «ЛОЖЬ» в зависимости от того, какие значения имеют входящие в их состав логические переменные и от действий над ними
Логические операции
- Конъюнкция (логическое умножение, «И»)
- Дизъюнкция (логическое сложение, «ИЛИ»)
- Инверсия (логическое отрицание, «НЕ»)
- Импликация (логическое следование, «Если А, то В»)
- Эквивалентность (логическое равенство, «А тогда и только тогда, когда В»)
Конъюнкция
- Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «И» называется операцией логического умножения, или конъюнкцией
- Логическая функция, полученная в результате конъюнкции, истинна тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него логические переменные
Дизъюнкция
- Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» называется операцией логического сложения, или дизъюнкцией
- Логическая функция, полученная в результате дизъюнкции, истинна тогда, когда истинна хотя бы одна из входящих в него логических переменных
Инверсия
- Присоединение частицы «НЕ» к высказыванию называется операцией логического отрицания, или инверсией
- Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным, а ложное – истинным
Импликация
- Объединение двух высказываний, из которых первое является условием, а второе – следствием из него, называется импликацией (логическим следованием)
- Импликация ложна тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно
Пример:
- Если выучишь материал, то сдашь зачет
- Это высказывание ложно только тогда, когда материал выучен, а зачет не сдан, т.к. сдать зачет можно и случайно, например если попался единственный знакомый вопрос или удалось воспользоваться шпаргалкой
Эквивалентность
Эквивалентность – это логическая операция, объединяющая два простых высказывания в одно составное и которое является истиннымтогда и только тогда, когдаоба исходных высказывания одновременно либо истинны, либо ложны.
Порядок действий
- Действия в скобках
- Отрицание
- Конъюнкция
- Дизъюнкция
- Импликация
- Эквивалентность