Идея метода. Выбирается уравнение, в котором одна из переменных наиболее просто выражается через остальные переменные. Полученное выражение этой переменной подставляется в оставшиеся уравнения системы.
- b) Комбинирование с другими методами.
Идея метода . Если метод прямой подстановки не применим на начальном этапе решения, то используются равносильные преобразования систем (почленное сложение, вычитание, умножение, деление), а затем проводят непосредственно прямую подстановку.
2) Метод независимого решения одного из уравнений.
Идея метода . Если в системе содержится уравнение, в котором находятся взаимно обратные выражения, то вводится новая переменная и относительно её решается уравнение. Затем система распадается на несколько более простых систем.
Решить систему уравнений
Рассмотрим первое уравнение системы:
Сделав замену , где t ≠ 0, получаем
Откуда t 1 = 4, t 2 = 1/4.
Возвращаясь к старым переменным, рассмотрим два случая.
Корнями уравнения 4у 2 – 15у – 4 = 0 являются у 1 = 4, у 2 = — 1/4 .
Корнями уравнения 4х 2 + 15х – 4 = 0 являются х 1 = — 4, х 2 = 1/4 .
3)Сведение системы к объединению более простых систем.
- a ) Разложение на множители способом вынесения общего множителя.
Идея метода. Если в одном из уравнений есть общий множитель, то это уравнение раскладывают на множители и, учитывая равенство выражения нулю, переходят к решению более простых систем.
- b ) Разложение на множители через решение однородного уравнения .
Идея метода. Если одно из уравнений представляет собой однородное уравнение (, то решив его относительно одной из переменных, раскладываем на множители, например: a(x-x 1)(x-x 2) и, учитывая равенство выражения нулю, переходим к решению более простых систем.
Решим первую систему
- c ) Использование однородности.
Идея метода. Если в системе есть выражение, представляющее собой произведение переменных величин, то применяя метод алгебраического сложения, получают однородное уравнение, а затем используют метод разложение на множители через решение однородного уравнения.
4) Метод алгебраического сложения.
Идея метода. В одном из уравнений избавляемся от одной из неизвестных, для этого уравниваем модули коэффициентов при одной из переменных, затем производим или почленное сложение уравнений, или вычитание.
5) Метод умножения уравнений.
Идея метода. Если нет таких пар (х;у), при которых обе части одного из уравнений обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить произведением обоих уравнений системы.
Решим второе уравнение системы.
Пусть = t, тогда 4t 3 + t 2 -12t -12 = 0. Применяя следствие из теоремы о корнях многочлена, имеем t 1 = 2.
Р(2) = 4∙2 3 + 2 2 — 12∙2 – 12 = 32 + 4 — 24 — 12 = 0. Понизим степень многочлена, используя метод неопределенных коэффициентов.
4t 3 + t 2 -12t -12 = (t – 2) (at 2 + bt + c).
4t 3 +t 2 -12t -12 = at 3 + bt 2 + ct — 2at 2 -2bt — 2c.
4t 3 + t 2 — 12t -12 = at 3 + (b – 2a) t 2 + (c -2b) t — 2c.
Получаем уравнение 4t 2 + 9t + 6 = 0, которое не имеет корней, так как D = 9 2 — 4∙4∙6 = -15<0.
Возвращаясь к переменной у, имеем = 2, откуда у = 4.
Ответ. (1;4).
6) Метод деления уравнений.
Идея метода. Если нет таких пар (х; у), при которых обе части одного из уравнений обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить уравнением, которое получается при делении одного уравнения системы на другое.
7) Метод введения новых переменных.
Идея метода. Некоторые выражения от исходных переменных принимаются за новые переменные, что приводит к более простой, чем первоначальная, системе от этих переменных. После того как новые переменные будут найдены, нужно найти значения исходных переменных.
Возвращаясь к старым переменным, имеем:
Решаем первую систему.
8) Применение теоремы Виета .
Идея метода. Если система составлена так, одно из уравнений представлено в виде суммы, а второе — в виде произведения некоторых чисел, которые являются корнями некоторого квадратного уравнения, то применяя теорему Виета составляем квадратное уравнение и решаем его.
Ответ. (1;4), (4;1).
Для решения симметричных систем применяется подстановка: х + у = а; ху = в. При решении симметричных систем используются следующие преобразования:
х 2 + у 2 = (х + у) 2 – 2ху = а 2 – 2в; х 3 + у 3 = (х + у)(х 2 – ху + у 2) = а(а 2 -3в);
х 2 у + ху 2 = ху (х + у) = ав; (х +1)∙(у +1) = ху +х +у+1 =а + в +1;
Ответ. (1;1), (1;2), (2;1).
10) «Граничные задачи».
Идея метода. Решение системы получаются путем логических рассуждений, связанных со структурой области определения или множества значений функций, исследование знака дискриминанта квадратного уравнения.
Особенность этой системы в том, что число переменных в ней больше числа уравнений. Для нелинейных систем такая особенность часто является признаком «граничной задачи». Исходя из вида уравнений, попытаемся найти множество значений функции, которая встречается и в первом, и во втором уравнении системы. Так как х 2 + 4 ≥ 4, то из первого уравнения следует, что
Ответ (0;4;4), (0;-4;-4).
11) Графический метод.
Идея метода . Строят графики функций в одной системе координат и находят координаты точек их пересечения.
1) Переписав первое уравнение систем в виде у = х 2 , приходим к выводу: графиком уравнения является парабола.
2) Переписав второе уравнение систем в виде у =2/х 2 , приходим к выводу: графиком уравнения является гипербола.
3) Парабола и гипербола пересекаются в точке А. Точка пересечения только одна, поскольку правая ветвь параболы служит графиком возрастающей функции, а правая ветвь гиперболы — убывающей. Судя по построенной геометрической модели точка А имеет координаты (1;2). Проверка показывает, что пара (1;2) является решением обоих уравнений системы.
Давайте разберемся, как же решать системы уравнений способом подстановки?
1) Выразим из первого или второго уравнения системы неизвестное х или у (как нам удобнее);
2) Подставим в другое уравнение (в то, из которого не выражали неизвестное) вместо неизвестного х или у (если выражали х , подставляем вместо х ; если выражали у , подставляем вместо у ) полученное выражение;
3) Решаем уравнение, которое получили. Находим х или у;
4) Подставляем полученное значение неизвестного и находим второе неизвестное.
Правило записано . Теперь давайте попробуем применить его при решении системы уравнений.
Пример 1 .
Внимательно посмотрим на систему уравнений. Замечаем, что из первого уравнения легче выразить у .
Выражаем у :
–2у = 11 – 3х
у = (11 – 3х)/(–2)
у = –5,5 + 1,5х
Теперь аккуратно подставим во второе уравнение вместо у выражение –5,5 + 1,5х.
Получим: 4х – 5(–5,5 + 1,5х) = 3
Решаем это уравнение:
4х + 27,5 – 7,5х = 3
–3,5х = 3 – 27,5
–3,5х = –24,5
х = –24,5/(–3,5)
Подставляем в выражение у = – 5,5 + 1,5х вместо х значение, которое мы нашли. Получаем:
у = – 5,5+ 1,5 · 7 = –5,5 + 10,5 = 5.
Ответ: (7; 5)
Интересно, а если выразить из первого уравнения не у , а х , измениться ли ответ?
Давайте попробуем выразить х из первого уравнения.
х = (11 + 2у)/3
Подставим вместо х во второе уравнение выражение (11 +2у)/3, получим уравнение с одним неизвестным и решим его.
4(11 + 2у)/3 – 5у = 3, умножим обе части уравнения на 3, получим
4(11 + 2у) – 15у=9
44 + 8у – 15у = 9
–7у = 9 – 44
у = –35/(–7)
Находим переменную х, подставляя 5 в выражение х = (11 +2у)/3.
х = (11 +2·5)/3 = (11+10)/3 = 21/3 = 7
Ответ: (7; 5)
Как видите, ответ получился такой же . Если вы будете внимательны и аккуратны, то независимо от того, какую переменную вы выражаете – х или у , ответ получите правильный.
Довольно часто ученики спрашивают: «Есть ли еще другие способы решения систем, кроме сложения и подстановки? »
Есть некоторое видоизменение способа подстановки – способ сравнивания неизвестных .
1) Надо из каждого уравнения системы выразить одно и то же неизвестное через второе.
2) Полученные неизвестные сравнивают, получают уравнение с одним неизвестным.
3) Находят значение одного неизвестного.
4) Подставляют полученное значение неизвестного и находят второе неизвестное.
Пример 2 . Решить систему уравнений
Из двух уравнений выразим переменную х через у .
Получим из первого уравнения х = (13 – 6у) / 5, а из второго х = (–1 – 18у) / 7.
Сравнивая эти выражения, получаем уравнение с одним неизвестным и решаем его:
(13 – 6у) / 5 = (–1 – 18у) / 7
7 (13 – 6у) = 5 (–1 – 18у)
91 – 42у = –5 – 90у
–42у + 90у = –5 – 91
у = – 96 / 48
Неизвестное х найдем подставив значение у в одно из выражений для х .
(13 – 6(– 2)) / 5= (13+12) / 5 = 25/5 = 5
Ответ: (5; –2).
Думаю, что и у вас все получиться. Если остались вопросы, приходите ко мне на уроки .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы .
Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin{cases}3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end{cases}\)
А вот \(x=1\); \(y=-2\) - не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin{cases}1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end{cases}\)
Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо "\(x=3\); \(y=-1\)" пишут так: \((3;-1)\).
Как решить систему линейных уравнений?
Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:
- Способ подстановки.
-
\(\begin{cases}13x+9y=17\\12x-2y=26\end{cases}\)
Во втором уравнении каждое слагаемое - четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).
\(\begin{cases}13x+9y=17\\6x-y=13\end{cases}\)
Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.
\(\begin{cases}13x+9y=17\\y=6x-13\end{cases}\)
Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.
\(\begin{cases}13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end{cases}\)
Первое уравнение превратилась в обычное . Решаем его.
Сначала раскроем скобки.
\(\begin{cases}13x+54x-117=17\\y=6x-13\end{cases}\)
Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.
\(\begin{cases}67x=134\\y=6x-13\end{cases}\)
Поделим обе части первого уравнения на \(67\).
\(\begin{cases}x=2\\y=6x-13\end{cases}\)
Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).
\(\begin{cases}x=2\\y=12-13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\)
Запишем ответ.
Статья знакомит с таким понятием, как определение системы уравнений и ее решением. Будут рассмотрены часто встречающиеся случаи решений систем. Приведенные примеры помогут подробно пояснить решение.
Определение системы уравнений
Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.
Например, возьмем два уравнения 2 · x + y = − 3 и x = 5 , после чего объединим фигурной скобкой такого плана:
2 · x + y = - 3 , x = 5 .
Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.
Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.
Определение 1
Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.
Основные виды систем уравнений
Видов уравнений достаточно много, как систем уравнений. Для того, чтобы было удобно решать и изучать их, подразделяют на группы по определенным характеристикам. Это поможет в рассмотрении систем уравнений отдельных видов.
Для начала уравнения классифицируются по количеству уравнений. Если уравнение одно, то оно является обычным уравнением, если их более, тогда имеем дело с системой, состоящей из двух или более уравнений.
Другая классификация затрагивает число переменных. Когда количество переменных 1 , говорят, что имеем дело с системой уравнений с одной неизвестной, когда 2 – с двумя переменными. Рассмотрим пример
x + y = 5 , 2 · x - 3 · y = 1
Очевидно, что система уравнений включает в себя две переменные х и у.
При записи таких уравнений считается число всех переменных, имеющихся в записи. Их наличие в каждом уравнении необязательно. Хотя бы одно уравнение должно иметь одну переменную. Рассмотрим пример системы уравнений
2 x = 11 , x - 3 · z 2 = 0 , 2 7 · x + y - z = - 3
Данная система имеет 3 переменные х, у, z . Первое уравнение имеет явный х и неявные у и z . Неявные переменные – это переменные, имеющие 0 в коэффициенте. Второе уравнение имеет х и z , а у неявная переменная. Иначе это можно записать таким образом
2 x + 0 · y + 0 · z = 11
А другое уравнение x + 0 · y − 3 · z = 0 .
Третья классификация уравнений – это вид. В школе проходят простые уравнения и системы уравнений, начиная с систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Имеется в виду, что система включает в себя 2 линейных уравнения. Для примера рассмотрим
2 · x - y = 1 , x + 2 · y = - 1 и - 3 · x + y = 0 . 5 , x + 2 2 3 · y = 0
Это основные простейшие линейные уравнения. Далее можно столкнуться с системами, содержащими 3 и более неизвестных.
В 9 классе решают уравнения с двумя переменными и нелинейные. В целых уравнениях повышается степень для увеличения сложности. Такие системы называют системами нелинейных уравнений с определенным количеством уравнений и неизвестных. Рассмотрим примеры таких систем
x 2 - 4 · x · y = 1 , x - y = 2 и x = y 3 x · y = - 5
Обе системы с двумя переменными и обе являются нелинейными.
При решении можно встретить дробно-рациональные уравнения. Например
x + y = 3 , 1 x + 1 y = 2 5
Могут называть просто системой уравнений без уточнения, каких именно. Редко уточняют сам вид системы.
Старшие классы переходят к изучению иррациональных, тригонометрических и показательных уравнений. Например,
x + y - x · y = 5 , 2 · x · y = 3 , x + y = 5 · π 2 , sin x + cos 2 y = - 1 , y - log 3 x = 1 , x y = 3 12 .
Высшие учебные заведения изучают и исследуют решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Левая часть таких уравнений содержит многочлены с первой степенью, а правая – некоторые числа. Отличие от школьных в том, что количество переменных и количество уравнений может быть произвольным, чаще всего несовпадающим.
Решение систем уравнений
Определение 2Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара переменных, которая при подстановке обращает каждое уравнение в верное числовое неравенство, то есть является решением для каждого уравнения данной системы.
К примеру, пара значений х = 5 и у = 2 являются решением системы уравнений x + y = 7 , x - y = 3 . Потому как при подстановке уравнения обращаются в верные числовые неравенства 5 + 2 = 7 и 5 − 2 = 3 . Если подставить пару х = 3 и у = 0 , тогда система не будет решена, так как подстановка не даст верное уравнение, а именно, мы получим 3 + 0 = 7 .
Сформулируем определение для систем, содержащих одну и более переменных.
Определение 3
Решение системы уравнений с одной переменной – это значение переменной, которая является корнем уравнений системы, значит, все уравнения будут обращены в верные числовые равенства.
Рассмотрим на примере системы уравнений с одной переменной t
t 2 = 4 , 5 · (t + 2) = 0
Число - 2 – решение уравнения, так как (− 2) · 2 = 4 , и 5 · (− 2 + 2) = 0 являются верными числовыми равенствами. При t = 1 система не решена, так как при подстановке получим два неверных равенства 12 = 4 и 5 · (1 + 2) = 0 .
Определение 4
Решение системы с тремя и более переменными называют тройку, четверку и далее значений соответственно, которые обращают все уравнения системы в верные равенства.
Если имеем значения переменных х = 1 , у = 2 , z = 0 , то подставив их в систему уравнений 2 · x = 2 , 5 · y = 10 , x + y + z = 3 , получим 2 · 1 = 2 , 5 · 2 = 10 и 1 + 2 + 0 = 3 . Значит, эти числовые неравенства верные. А значения (1 , 0 , 5) не будут решением, так как, подставив значения, второе из них будет неверное, как и третье: 5 · 0 = 10 , 1 + 0 + 5 = 3 .
Системы уравнений могут не иметь решений вовсе или иметь бесконечное множество. В этом можно убедиться при углубленном изучении данной тематики. Можно прийти к выводу, что системы уравнений – это пересечение множеств решений всех ее уравнений. Раскроем несколько определений:
Определение 5
Несовместной называют систему уравнений, когда она не имеет решений, в противном случае ее называют совместной .
Определение 6
Неопределенной называют систему, когда она имеет бесконечное множество решений, а определенной при конечном числе решений либо при их отсутствии.
Такие термины редко применяются в школе, так как рассчитаны для программ высших учебных заведений. Знакомство с равносильными системами углубит имеющиеся знания по решению систем уравнений.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Разберем два вида решения систем уравнения:
1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.
Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки
нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.
Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания)
нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.
Решением системы являются точки пересечения графиков функции.
Рассмотрим подробно на примерах решение систем.
Пример №1:
Решим методом подстановки
Решение системы уравнений методом подстановки2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)
1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y
2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1
3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)
Пример №2:
Решим методом почленного сложения (вычитания).
Решение системы уравнений методом сложения3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)
1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)
Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.