Инструкция
Сначала проверьте навыки ребенка в умножении. Если ребенок нетвердо знает таблицу умножения, то с делением у него тоже могут быть проблемы. Тогда при объяснении деления можно разрешить подглядывать в шпаргалку, но таблицу все-таки придется выучить.
Запишите делимое и делитель через разделительную вертикальную черту. Под делителем вы будете записывать ответ - частное, отделив его горизонтальной чертой. Возьмите первую цифру числа 372 и спросите у ребенка, сколько раз число шесть «помещается» в тройке. Правильно, нисколько.
Тогда возьмите уже две цифры - 37. Для наглядности можно выделить их уголком. Снова повторите вопрос – сколько раз число шесть содержится в 37. Чтобы сосчитать быстро, пригодится . Подберите ответ вместе: 6*4 = 24 – совсем непохоже; 6*5 = 30 – близко к 37. Но 37-30 = 7 – шесть «поместится» еще раз. Наконец, 6*6 = 36, 37-36 = 1 – подходит. Первая цифра частного найдена – это 6. Напишите ее под делителем.
Запишите 36 под цифрой 37, подведите чертой. Для наглядности в записи можно использовать знак . Под чертой поставьте остаток – 1. Теперь «спустите» следующую цифру числа, двойку, к единице – получилось 12. Объясните ребенку, что цифры всегда «спускаются» по одной. Опять спросите, сколько «шестерок» содержит 12. Ответ – 2, на этот раз без остатка. Напишите вторую цифру частного рядом с первой. Окончательный результат – 62.
Также подробно рассмотрите случай деления . Например, 167/6 = 27, остаток 5. Скорее всего, ваш отпрыск про простые дроби пока ничего не слышал. Но если он будет задавать вопросы, что делать с остатком дальше, можно объяснить на примере яблок. 167 яблок разделили между шестью людьми. Каждому досталось 27 штук, и пять яблок остались неподеленными. Можно поделить и их, разрезав каждое на шесть долек и раздав поровну. Каждому человеку досталась одна долька от каждого яблока – 1/6. А так как яблок было пять штук, то и долек у каждого оказалось по пять – 5/6. То есть результат можно записать так: 27 5/6.
Деление многозначных чисел легче всего выполнять столбиком. Деление столбиком иначе называют деление уголком .
Перед тем как начать выполнение деления столбиком, рассмотрим подробно саму форму записи деления столбиком. Сначала записываем делимое и справа от него ставим вертикальную черту:
За вертикальной чертой, напротив делимого, пишем делитель и под ним проводим горизонтальную черту:
Под горизонтальной чертой поэтапно будет записываться получающееся в результате вычислений частное:
Под делимым будут записываться промежуточные вычисления:
Полностью форма записи деления столбиком выглядит следующим образом:
Как делить столбиком
Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:
Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:
это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:
В нашем случае число 78 будет неполным делимым , неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.
Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра - 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.
Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:
Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:
Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше.
К получившемуся остатку - 6, сносим следующую цифру делимого - 0. В результате, получилось неполное делимое - 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:
Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное - оно записано под делителем:
Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.
Определяем неполное делимое - это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:
Сносим следующую цифру делимого - 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0: 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:
Сносим следующую цифру делимого - 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:
Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:
Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:
Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.
Определяем неполное делимое - это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:
Сносим следующую цифру делимого - 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:
Сносим следующую цифру делимого - 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток - 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:
Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:
Деление столбиком с остатком
Пусть нам требуется разделить 1340 на 23.
Определяем неполное делимое - это число 134. Записываем в частное 5 и из 134 вычитаем 115. В остатке получилось 19:
Сносим следующую цифру делимого - 0. Определяем, сколько раз 23 содержится в числе 190. Получаем число 8, записываем его в частное, а из 190 вычитаем 184. Получаем остаток 6:
Так как в делимом больше не осталось цифр, деление закончилось. В результате получилось неполное частное 58 и остаток 6:
1340: 23 = 58 (остаток 6)
Осталось рассмотреть пример деления с остатком, когда делимое меньше делителя. Пусть нам требуется разделить 3 на 10. Мы видим, что 10 ни разу не содержится в числе 3, поэтому записываем в частное 0 и из 3 вычитаем 0 (10 · 0 = 0). Проводим горизонтальную черту и записываем остаток - 3:
3: 10 = 0 (остаток 3)
Калькулятор деления столбиком
Данный калькулятор поможет вам выполнить деление столбиком. Просто введите делимое и делитель и нажмите кнопку Вычислить.
Деление с остатком - это деление одного числа на другое, при котором остаток не равен нулю.
Выполнить деление не всегда возможно, так как бывают случаи, когда одно число не делится на другое. Например, число 11 не делится на 3, так как нет такого натурального числа, при умножении которого на 3 получилось бы 11.
Когда деление невозможно выполнить условились делить не всё делимое, а только наибольшую его часть, какая только может разделиться на делитель. В данном примере наибольшая часть делимого, которая может быть разделена на 3 - это 9 (в результате получим 3), оставшаяся меньшая часть делимого - 2 не разделится на 3.
Говоря о делении 11 на 3, 11 по прежнему называется делимым, 3 - делителем, результат деления - число 3, называют неполным частным , а число 2 - остатком от деления . Само деление в этом случае называют делением с остатком.
Неполным частным называют наибольшее число, которое при умножении на делитель даёт произведение, не превосходящее делимого. Разность между делимым и этим произведением называют остатком. Остаток всегда меньше делителя, иначе его тоже можно было бы поделить на делитель.
Деление с остатком можно записывать так:
11: 3 = 3 (остаток 2)
Если при делении одного натурального числа на другое в остатке получается 0, то говорят, что первое число делится на второе нацело. Например, 4 делится на 2 нацело. Число 5 не делится на 2 нацело. Слово нацело обычно опускают для краткости и говорят: такое-то число делится на другое, например: 4 делится на 2, а 5 не делится на 2.
Проверка деления с остатком
Проверить результат деления с остатком можно следующим способом: неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, равное делимому, то деление с остатком сделано верно:
11: 3 = 3 (остаток 2)
Многие числа нельзя разделить нацело, при делении часто присутствует остаток, отличный от нуля. В этой статье мы разберем способы деления натуральных чисел с остатком и подробно рассмотрим их применение на примерах.
Начнем с деления натуральных чисел с остатком в столбик, затем рассмотрим деление с помощью последовательного вычитания. Наконец, закончим разбором метода подбора неполного частного. Приведем алгоритм деления с остатком для наиболее общего случая и покажем, как проводить проверку результата деления натуральных чисел с остатком.
Это один из самых удобных способов деления. Подробно он описан в отдельной статье, посвященной делению натуральных чисел столбиком. Здесь мы не будем приводить всю теорию заново, но сконцентрируемся именно на случае деления с остатком.
Приведем решение примера, так как понять суть метода проще всего на практике.
Пример 1. Как делить натуральные числа с остатком?
Разделим натуральное число 273844 на натуральное число 97 .
Проводим деление столбиком и записываем:
Результат: неполное частное от деления равно 2823 , а остаток равен 13 .
Деление чисел с остатком через последовательное вычитание
Чтобы найти неполное частное и остаток, можно прибегнуть к последовательному вычитанию делителя из делимого. Этот способ не всегда целесообразен, однако в некоторых случаях его очень удобно применять. Вновь обратимся к примеру.
Пример 2. Деление с остатком через последовательное вычитание.
Пусть у нас есть 7 яблок. Нам нужно эти 7 яблок разложить в пакеты по 3 яблока. Иными словами, 7 разделить на 3 .
Возьмем из начального количества яблок 3 штуки и положим в один пакет. У нас останется 7 - 3 = 4 яблока. Теперь, из оставшихся яблок снова отнимаем 3 штуки и кладем уже в другой пакет. Остается 4 - 3 = 1 яблоко.
1 яблоко - это остаток от деления, так как на этом этапе мы уже не можем сформировать еще один пакет с тремя яблоками и деление, по сути, завершено. Результат деления:
7 ÷ 3 = 2 (остаток 1)
Это значит, что число 3 как бы умещается в числе 7 два раза, а единица - остаток, меньший чем 3 .
Рассмотрим еще один пример. На этот раз, приведем только математические выкладки, не прибегая к аналогиям.
Пример 3. Деление с остатком через последовательное вычитание.
Вычислим: 145 ÷ 46 .
Число 99 больше, чем 46 , поэтому продолжаем последовательное вычитание делителя:
Повторяем эту операцию еще раз:
В результате, нам понадобилось последовательно вычесть делитель из делимого 3 раза до того, как мы получили остаток - результат вычитания, который меньше делителя. В нашем случае остатком является число 7 .
145 ÷ 46 = 3 (остаток 7) .
Метод последовательного вычитания непригоден, когда делимое меньше делителя. В таком случае можно сразу записать ответ: неполное частное равно нулю, а остаток равен самому делимому.
Если a < b , то a ÷ b = 0 (остаток a) .
Например:
12 ÷ 36 = 0 (остаток 12) 47 ÷ 88 = 0 (остаток 47)
Также касательно метода последовательного вычитания нужно отметить, что он удобен только в случаях, когда вся операция деления сводится к небольшому количеству вычитаний. Если делимое во много раз больше делителя, использование этого метода будет нецелесообразно и связано с множеством громоздких вычислений.
Метод подбора неполного частного
При делении натуральных чисел с остатком можно вычислить результат методом подбора неполного частного. Покажем, как можно вести процесс подбора, и на чем он основан.
Во-первых, определим, среди каких чисел нужно искать неполное частное. Из самого определения процесса деления понятно, что неполное частное равно нулю, либо является одним из натуральных чисел 1 , 2 , 3 и т.д.
Во-вторых, установим связь между делителем, делимым, неполным частным и остатком. Рассмотрим уравнение d = a - b · c . Здесь d - остаток от деления, a - делимое, b - делитель, с - неполное частное.
В-третьих, не будем забывать, что остаток всегда меньше делителя.
Теперь рассмотрим непосредственно процесс подбора. Делимое a и делитель b известны нам с самого начала. В качестве неполного частного с будем последовательно принимать числа из ряда 0 , 1 , 2 , 3 и т.д. Применяя формулу d = a - b · c и вычисляя полученное значение с делителем, закончим процесс, когда остаток d будет меньше, чем делитель b . Число, взятое за с на этом шаге и будет неполным частным.
Разберем применение этого метода на примере.
Пример 4. Деление с остатком методом подбора
Разделим 267 на 21 .
a = 267 ; b = 21 . Подберем неполное частное.
Используем формулу d = a - b · c и будем последовательно перебирать c , придавая ему значения 0 , 1 , 2 , 3 и т.д.
Если с = 0 , имеем: d = a - b · c = 267 - 21 · 0 = 267 . Число 267 больше, чем 21 , поэтому продолжаем подстановку.
При с = 1 имеем: d = a - b · c = 267 - 21 · 1 = 246 . Т.к. 246 > 21 , снова повторяем процесс.
При с = 2 имеем: d = a - b · c = 267 - 21 · 2 = 267 - 42 = 225 ; 225 > 21 .
При с = 3 имеем: d = a - b · c = 267 - 21 · 3 = 267 - 63 = 204 ; 204 > 21 .
При с = 12 имеем: d = a - b · c = 267 - 21 · 12 = 267 - 252 = 15 ; 15 < 21 .
Алгоритм деления натуральных чисел с остатком
Когда рассмотренные выше методы подбора неполного частного и последовательного вычитания требуют слишком громоздких вычислений, для деления с остатком применяется следующий метод. Рассмотрим алгоритм деления натурального числа a на число b с остатком.
Вспомним, что в случае, когда a < b, неполное частное равно нулю, а остаток равен делимомому a . Мы будем рассматривать случай, когда a > b .
Сформулируем три вопроса и ответим на них:
- Что там известно?
- Что нам нужно найти?
- Как мы будем это делать?
Изначально известными являются делимое и делитель: a и b .
Найти нужно неполное частное c и остаток d .
Приведем формулу, которая задает связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком. a = b · c + d . Именно это соотношение мы и возьмем за основу алгоритма деления натуральных чисел с остатком. Делимое a нужно представить в виде суммы a = b · c + d , тогда мы найдем искомые величины.
Алгоритм деления, благодаря которому мы представим a в виде суммы a = b · c + d очень схож с алгоритмом деления натуральных чисел без остатка. Приведем ниже шаги алгоритма на примере деления числа 899 на 47 .
1. Первым делом смотрим на делимое и делитель. Выясняем и запоминаем, на сколько знаков число в записи делимого больше числа в делителе. В нашем конкретном примере в делимом три знака, а в делителе - два.
Запомним это число.
2. Справа в записи делителя допишем число нулей, определенное разницей между количеством знаков в делимом и делителе. В нашем случае нужно дописать один нуль. Если записанное число больше делимого, то нужно из запомненного в первом пункте числа вычесть единицу.
В нашем примере справа от 47 дописываем нуль. Так как 470 < 899 , запомненное в предыдущем пункте число не нужно уменьшать на единицу. Таким образом, число 1 так и остается у нас в памяти.
3. Справа к цифре 1 приписываем количество нулей, равное числу, определенному в предыдущем пункте. В нашем примере, приписывая к единице один нуль, получаем число 10 . В результате данного действия мы получили рабочую единицу разряда, с которым будем работать дальше.
4. Будем последовательно умножать делитель на 1 , 2 , 3 . . и т.д. единицы рабочего разряда, пока не получим число, которое больше или равно делимому.
Рабочий разряд в нашем примере - десятки. После умножения делителя на одну единицу рабочего разряда, получаем 470 .
470 < 899 , поэтому умножаем на еще одну единицу рабочего разряда. Получаем: 47 · 20 = 940 ; 940 > 899 .
Число, которое мы получили на предпоследнем шаге (470 = 47 · 10) является первым из искомых слагаемых.
5. Найдем разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число больше делителя, то переходим к нахождению второго слагаемого.
Шаги 1 - 5 повторяем, однако в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если снова получаем число, большее, чем делитель, снова по-кругу повторяем пункты 1 - 5 , но уже с новым числом в качестве делимого. Продолжаем, пока полученное здесь число не будет меньше делителя. Переходим к завершающему этапу. Забегая вперед, скажем, что последнее полученное число и будет равно остатку.
Обратимся к примеру. 899 - 470 = 429 , 429 > 47 . Повторяем шаги 1 - 5 алгоритма с числом 429 , взятым в качестве делимого.
1. В записи числа 429 на один знак больше, чем в записи числа 47 . Запоминаем разницу - число 1 .
2. В записи делимого справа дописываем один нуль. Получаем число 470 . Так как 470 > 429 , из запомненного в предыдущем пункте числа 1 вычитаем 1 и получаем 1 - 1 = 0 . Запоминаем 0 .
3. Так как в предыдущем пункте мы получили число 0 и запомнили его, нам не нужно прибавлять ни одного нуля к единице справа. Таким образом, рабочим разрядом являются единицы
4. Последовательно умножим делитель 47 на 1 , 2 , 3 . . и т.д. Не будем приводить подробные выкладки, а обратим внимание на конечный результат: 47 · 9 = 423 < 429 , 47 · 10 = 470 > 429 . Таким образом, второе искомое слагаемое - 47 · 9 = 423 .
5. Разность между 429 и 423 равна числу 6 . Так как 6 < 47 , это третье, и последнее искомое слагаемое. Перейдем к завершающему этапу алгоритма деления столбиком.
6. Целью предыдущих действий было представление делимого в виде суммы нескольких слагаемых. Для нашего примера мы получили 899 = 470 + 423 + 6 . Вспоминаем, что 470 = 47 · 10 , 423 = 47 · 9 . Перепишем равенство:
899 = 47 · 10 + 47 · 9 + 6
Применим распределительное свойство умножения.
899 = 47 · 10 + 47 · 9 + 6 = 47 · (10 + 9) + 6
899 = 47 · 19 + 6 .
Таким образом, мы представили делимое в виде уже данной ранее формулы a = b · c + d .
Искомые неизвестные:неполное частное с = 19 , остаток d = 6 .
Безусловно, при решении практических примеров нет нужды расписывать все действия так подробно. Покажем это:
Пример 5. Деление натуральных чисел с остатком
Разделим числа 42252 и 68 .
Используем алгоритм. Первые пять шагов дают первое слагаемое - число 40800 = 68 · 600 .
Снова повторяем первые пять шагов алгоритма с числом 1452 = 42252 - 40800 и получаем второе слагаемое 1360 = 68 · 20
Третий раз проходим шаги аглоритма, но у же с новым числом 92 = 1452 - 1360 . Третье слагаемое равно 68 = 68 · 1 . Остаток равен 24 = 92 - 68 .
В результате получаем:
42252 = 40800 + 1360 + 68 + 24 = 68 · 600 + 68 · 20 + 68 · 1 + 24 = = 68 · (600 + 20 + 1) + 24 = 68 · 621 + 24
Неполное частное равно 621 , остаток равен 24 .
Деление натуральных чисел с остатком. Проверка результата
Деление натуральных чисел с остатком, особенно при больших числах, довольно трудоемкий и громоздкий процесс. Допустить ошибку в вычислениях может каждый. Именно поэтому, проверка результата деления поможет понять, все ли вы сделали правильно. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком выполняется в два этапа.
На первом этапе проверяем, не получился ли остаток больше делителя. Если нет, то все хорошо. Иначе, можно сделать вывод, что что-то пошло не так.
Важно!
Остаток всегда меньше делителя!
На втором этапе проверяется справедливость равенства a = b · c + d . Если равенство после подстановки значений оказывается верным, то и деление было выполнено без ошибок.
Пример 6. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком.
Проверим, верно ли, что 506 ÷ 28 = 17 (остаток 30) .
Сравниваем остаток и делитель: 30 > 28 .
Значит, деление выполнено неверно.
Пример 7. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком.
Школьник разделил 121 на 13 и получил в результате неполное частное 9 с остатком 5 . Правильно ли он сделал?
Чтобы узнать это, сначала сравниваем остаток и делитель: 5 < 13 .
Первый пункт проверки пройден, переходим ко второму.
Запишем формулу a = b · c + d . a = 121 ; b = 13 ; c = 9 ; d = 5 .
Подставляем значения и сравниваем результаты
13 · 9 + 5 = 117 + 5 = 122 ; 121 ≠ 122
Значит, в вычисления школьника где-то закралась ошибка.
Пример 8. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком.
Студент выполнял лабораторную работу по физике. В ходе выполнения ему понадобилось разделить 5998 на 111 . В результате у него получилось число 54 с остатком 4 . Все ли правильно посчитано?
Проверим! Остаток 4 меньше, чем делитель 111 , поэтому переходим ко второму этапу проверки.
Используем формулу a = b · c + d , где a = 5998 ; b = 111 ; c = 54 ; d = 4 .
После подстановки, имеем:
5998 = 111 · 54 + 4 = 5994 + 4 = 5998 .
Равенство корректно, а значит, и деление выполнено верно.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В этой статье мы разберем деление целых чисел с остатком . Начнем с общего принципа деления целых чисел с остатком, сформулируем и докажем теорему о делимости целых чисел с остатком, проследим связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком. Дальше озвучим правила, по которым проводится деление целых чисел с остатком, и рассмотрим применение этих правил при решении примеров. После этого научимся выполнять проверку результата деления целых чисел с остатком.
Навигация по странице.
Общее представление о делении целых чисел с остатком
Деление целых чисел с остатком мы будем рассматривать как обобщение деления с остатком натуральных чисел . Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел .
Начнем с терминов и обозначений, которые используются при описании.
По аналогии с делением натуральных чисел с остатком будем считать, что результатом деления с остатком двух целых чисел a и b (b не равно нулю) являются два целых числа c и d . Числа a и b называются делимым и делителем соответственно, число d – остатком от деления a на b , а целое число c называется неполным частным (или просто частным , если остаток равен нулю).
Условимся считать, что остаток есть целое неотрицательное число , и его величина не превосходит b , то есть, (подобные цепочки неравенств мы встречали, когда говорили о сравнении трех и большего количества целых чисел).
Если число c является неполным частным, а число d – остатком от деления целого числа a на целое число b , то этот факт мы будем кратко записывать как равенство вида a:b=c (ост. d) .
Отметим, что при делении целого числа a на целое число b остаток может быть равным нулю. В этом случае говорят, что a делится на b без остатка (или нацело ). Таким образом, деление целых чисел без остатка является частным случаем деления целых чисел с остатком.
Также стоит сказать, что при делении нуля на некоторое целое число мы всегда имеем дело с делением без остатка, так как в этом случае частное будет равно нулю (смотрите раздел теории деление нуля на целое число), и остаток также будет равен нулю.
С терминологией и обозначениями определились, теперь разберемся со смыслом деления целых чисел с остатком.
Делению целого отрицательного числа a на целое положительное число b тоже можно придать смысл. Для этого рассмотрим целое отрицательное число как долг . Представим такую ситуацию. Долг, который составляет предметов, должны погасить b человек, внеся одинаковый вклад. Абсолютная величина неполного частного c в этом случае будет определять величину долга каждого из этих людей, а остаток d покажет, какое количество предметов останется после уплаты долга. Приведем пример. Допустим 2 человека должны 7 яблок. Если считать, что каждый из них должен по 4 яблока, то после уплаты долга у них останется 1 яблоко. Этой ситуации отвечает равенство (−7):2=−4 (ост. 1) .
Делению с остатком произвольного целого числа a на целое отрицательное число мы не будем придавать никакого смысла, но оставим за ним право на существование.
Теорема о делимости целых чисел с остатком
Когда мы говорили о делении натуральных чисел с остатком, то выяснили, что делимое a , делитель b , неполное частное c и остаток d связаны между собой равенством a=b·c+d . Для целых чисел a , b , c и d характерна такая же связь. Эта связь утверждается следующей теоремой о делимости с остатком .
Теорема.
Любое целое число a возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число b в виде a=b·q+r , где q и r – некоторые целые числа, причем .
Доказательство.
Сначала докажем возможность представления a=b·q+r .
Если целые числа a и b такие, что a делится на b нацело, то по определению существует такое целое число q , что a=b·q . В этом случае имеет место равенство a=b·q+r при r=0 .
Теперь будем считать, что b
– целое положительное число. Выберем целое число q
таким образом, чтобы произведение b·q
не превышало числа a
, а произведение b·(q+1)
было уже больше, чем a
. То есть, возьмем q
таким, чтобы выполнялись неравенства b·q Осталось доказать возможность представления a=b·q+r
для отрицательных b
.
Так как модуль числа b
в этом случае является положительным числом, то для имеет место представление , где q 1
– некоторое целое число, а r
– целое число, удовлетворяющее условиям . Тогда, приняв q=−q 1
, получаем нужное нам представление a=b·q+r
для отрицательных b
.
Переходим к доказательству единственности.
Предположим, что помимо представления a=b·q+r
, q
и r
– целые числа и , существует еще одно представление a=b·q 1 +r 1
, где q 1
и r 1
– некоторые целые числа, причем q 1 ≠q
и .
После вычитания из левой и правой части первого равенства соответственно левой и правой части второго равенства, получаем 0=b·(q−q 1)+r−r 1
, которое равносильно равенству r−r 1 =b·(q 1 −q)
. Тогда должно быть справедливо и равенство вида Из условий и можно сделать вывод, что . Так как q
и q 1
– целые и q≠q 1
, то , откуда заключаем, что Равенство a=b·c+d
позволяет находить неизвестное делимое a
, если известны делитель b
, неполное частное c
и остаток d
. Рассмотрим пример. Пример.
Чему равно делимое, если при его делении на целое число −21
получилось неполное частное 5
и остаток 12
?
Решение.
Нам требуется вычислить делимое a
, когда известен делитель b=−21
, неполное частное c=5
и остаток d=12
. Обратившись к равенству a=b·c+d
, получаем a=(−21)·5+12
. Соблюдая , сначала проводим умножение целых чисел −21
и 5
по правилу умножения целых чисел с разными знаками , после чего выполняем сложение целых чисел с разными знаками : (−21)·5+12=−105+12=−93
.
Ответ:
−93
.
Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком также выражаются равенствами вида b=(a−d):c
, c=(a−d):b
и d=a−b·c
. Эти равенства позволяют вычислять делитель, неполное частное и остаток соответственно. Нам часто придется находить остаток от деления целого числа a
на целое число b
, когда известны делимое, делитель и неполное частное, используя формулу d=a−b·c
. Чтобы в дальнейшем не возникало вопросов, разберем пример вычисления остатка. Пример.
Найдите остаток от деления целого числа −19
на целое число 3
, если известно, что неполное частное равно −7
.
Решение.
Для вычисления остатка от деления воспользуемся формулой вида d=a−b·c
. Из условия имеем все необходимые данные a=−19
, b=3
, c=−7
. Получаем d=a−b·c=−19−3·(−7)=
−19−(−21)=−19+21=2
(разность −19−(−21)
мы вычисляли по правилу вычитания целого отрицательного числа).
Ответ:
Как мы уже не раз отмечали, целые положительные числа представляют собой натуральные числа. Поэтому деление с остатком целых положительных чисел проводится по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Очень важно уметь с легкостью выполнять деление с остатком натуральных чисел , так как именно оно лежит в основе деления не только целых положительных чисел, но и в основе всех правил деления с остатком произвольных целых чисел. С нашей точки зрения наиболее удобно выполнять деление столбиком , этот способ позволяет получить и неполное частное (или просто частное) и остаток. Рассмотрим пример деления с остатком целых положительных чисел. Пример.
Выполните деление с остатком числа 14 671
на 54
.
Решение.
Выполним деление данных целых положительных чисел столбиком: Неполное частное получилось равным 271
, а остаток равен 37
.
Ответ:
14 671:54=271 (ост. 37)
.
Сформулируем правило, позволяющее выполнять деление с остатком целого положительного числа на целое отрицательное число. Неполное частное от деления целого положительного числа a
на целое отрицательное число b
представляет собой число, противоположное неполному частному от деления a
на модуль числа b
, а остаток от деления a
на b
равен остатку от деления на . Из этого правила следует, что неполное частное от деления целого положительного числа на целое отрицательное число является целым неположительным числом . Переделаем озвученное правило в алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное: Приведем пример использования алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное. Пример.
Выполните деление с остатком целого положительного числа 17
на целое отрицательное число −5
.
Решение.
Воспользуемся алгоритмом деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.
Разделив Число, противоположное числу 3
, - это −3
. Таким образом, искомое неполное частное от деления 17
на −5
равно −3
, а остаток равен 2
.
Ответ:
17
:(−5)=−3 (ост. 2)
. Пример.
Разделите 45
на −15
.
Решение.
Модули делимого и делителя равны 45
и 15
соответственно. Число 45
делится на 15
без остатка, частное при этом равно 3
. Следовательно, целое положительное число 45
делится на целое отрицательное число −15
без остатка, частное при этом равно числу, противоположному 3
, то есть, −3
. Действительно, по правилу деления целых чисел с разными знаками имеем .
Ответ:
45:(−15)=−3
.
Дадим формулировку правила деления с остатком целого отрицательного числа на целое положительное. Чтобы получить неполное частное c
от деления целого отрицательного числа a
на целое положительное число b
нужно взять число, противоположное неполному частному от деления модулей исходных чисел и вычесть из него единицу, после чего остаток d
вычислить по формуле d=a−b·c
. Из данного правила деления с остатком следует, что неполное частное от деления целого отрицательного на целое положительное число является целым отрицательным числом. Из озвученного правила вытекает алгоритм деления с остатком целого отрицательного числа a
на целое положительное b
: Разберем решение примера, в котором воспользуемся записанным алгоритмом деления с остатком. Пример.
Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17
на целое положительное число 5
.
Решение.
Модуль делимого −17
равен 17
, а модуль делителя 5
равен 5
.
Разделив 17
на 5
, получаем неполное частное 3
и остаток 2
.
Число, противоположное 3
, есть −3
. Вычитаем из −3
единицу: −3−1=−4
. Итак, искомое неполное частное равно −4
.
Осталось вычислить остаток. В нашем примере a=−17
, b=5
, c=−4
, тогда d=a−b·c=−17−5·(−4)=
−17−(−20)=−17+20=3
.
Таким образом, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17
на целое положительное число 5
равно −4
, а остаток равен 3
.
Ответ:
(−17):5=−4 (ост. 3)
.
Пример.
Разделите целое отрицательное число −1 404
на целое положительное число 26
.
Решение.
Модуль делимого равен 1 404
, модуль делителя равен 26
.
Разделим 1 404
на 26
столбиком: Так как модуль делимого разделился на модуль делителя без остатка, то исходные целые числа делятся без остатка, причем искомое частное равно числу, противоположному 54
, то есть, −54
.
Ответ:
(−1 404):26=−54
.
Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел. Чтобы получить неполное частное c
от деления целого отрицательного числа a
на целое отрицательное число b
, нужно вычислить неполное частное от деления модулей исходных чисел и прибавить к нему единицу, после этого остаток d
вычислить по формуле d=a−b·c
. Из этого правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел является целым положительным числом. Перепишем озвученное правило в виде алгоритма деления целых отрицательных чисел: Рассмотрим применение алгоритма деления целых отрицательных чисел при решении примера. Пример.
Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17
на целое отрицательное число −5
.
Решение.
Воспользуемся соответствующим алгоритмом деления с остатком.
Модуль делимого равен 17
, модуль делителя равен 5
.
Деление 17
на 5
дает неполное частное 3
и остаток 2
.
К неполному частному 3
прибавляем единицу: 3+1=4
. Следовательно, искомое неполное частное от деления −17
на −5
равно 4
.
Осталось вычислить остаток. В этом примере a=−17
, b=−5
, c=4
, тогда d=a−b·c=−17−(−5)·4=
−17−(−20)=−17+20=3
.
Итак, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17
на целое отрицательное число −5
равно 4
, а остаток равен 3
.
Ответ:
(−17):(−5)=4 (ост. 3)
.
После того, как выполнено деление целых чисел с остатком, полезно выполнить проверку полученного результата. Проверка проводится в два этапа. На первом этапе проверяется, является ли остаток d
неотрицательным числом, а также проверяется выполнение условия . Если все условия первого этапа проверки выполнены, то можно приступать ко второму этапу проверки, в противном случае можно утверждать, что при делении с остатком где-то была допущена ошибка. На втором этапе проверяется справедливость равенства a=b·c+d
. Если это равенство справедливо, то деление с остатком было проведено верно, в противном случае – где-то была допущена ошибка. Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется проверка результата деления целых чисел с остатком. Пример.
При делении числа −521
на −12
было получено неполное частное 44
и остаток 7
, выполните проверку результата.
Решение.
−2
при b=−3
, c=7
, d=1
. Имеем b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20
. Таким образом, равенство a=b·c+d
– неверное (в нашем примере a=−19
).
Следовательно, деление с остатком было проведено неверно.
, а в силу свойств модуля числа - и равенство 
.
. Из полученных неравенств и следует, что равенство вида невозможно при нашем предположении. Поэтому, не существует другого представления числа a
, кроме a=b·q+r
.
Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком
Деление с остатком целых положительных чисел, примеры
Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры
Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры
Проверка результата деления целых чисел с остатком